お勉強しようUz〕 数学 ベクトル

2017/2-2013/2 Yuji.W

微分演算子の合成

_ grad,div,curl の合成 ナブラ nabla _〔物理定数

◇ベクトル<A> 単位ベクトル<xu> 縦ベクトル<t x) 内積* 外積#
微分;x 
時間微分' 積分$ 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x)

ナブラ

◎ 微分演算子 ∇

■ 次の演算子をベクトルのように扱う。

 nabla ∇=<;x , ;y , ;z> 座標軸を回転しても、その値が変わらない

 ∇f=<grad(f)> ∇*<A>=div<A> ∇#<A>=<curl<A>>

■ 演算子 <A>*∇=Ax*(;x)+Ay*(;y)+Az*(;z)

 (<A>*∇)f=Ax*f;x+Ay*f;y+Az*f;z=<A>*grad(f) _

 (<A>*∇)<B>
=<(<A>*∇)Bx , (<A>*∇)By , (<A>*∇)Bz> 
_

{わかりにくい記法だ!こいつが、ナブラをわかりにくくしている!2013/7}

■ 任意の方向の単位ベクトル <nu>

 <nu>*<grad(f)>=(<n>方向への変化の割合)

 <nu>*<grad(f)>=<nu>*<∇f>=(<nu>*∇)f  と表す

演算子の合成

◎ grad,div,curl の合成

■ ∇=<;x , ;y , ;z> <grad(f)>=∇f=<f;x , f;y ,f;z>

 div<A>=∇*<A>=Ax;x+Ay;y+Az;z

 <curl<A>>=∇#<A>=<Az;y-Ay;z , Ax;z-Az;x , Ay;x-Ax;y>

 △f=f;;x+f;;y+f;;z

■ 3つの演算子の合成は、次の5つに限られる

スカラー関数 f(x,y,z) に対して、

 f ⇒ <grad(f)> ⇒ div<grad(f)>=△ @

           ⇒ <curl<grad(f)>>=0? A

ベクトル関数 <A(x,y,z)> に対して

 <A> ⇒ div<A> ⇒ <grad(div<A>)> B Dと関係がある

     ⇒ <curl<A>> ⇒ div<curl<A>>=0? C

             ⇒ <curl<curl<A>>> D Bと関係がある

演算子の合成.2次元

■ 2次元関数 f(x,y) 標高をプロットした地図のようなもの

<A(x,y)>=<Ax(x,y) , Ay(x,y) ,0> を考える。

 <grad(f)>=<f;x , f;y ,0> 山頂を目指すベクトル

 div<A>=Ax;x+Ay;y

 <curl<A>>=<zu>*(Ay;x-Ax;y) z成分のみ{わかってなかった!2014/3}

 ※ Ay;x z軸の正の方向に対して右回り Ax;y 左回り

@ div<grad(f)>=div<f;x , f;y ,0>=f;;x+f;;y=△f(x,y) _

A <curl<grad(f)>>=<curl<f;x , f;y ,0>>=<zu>*(f;y;x-f;x;y)=0 _

 山頂を目指すベクトルに、渦はできない{!}

B <grad(div<A>)>
=<grad(Ax;x+Ay;y)>
=<(Ax;x+Ay;y);x , (Ax;x+Ay;y);y , 0>
=<Ax;;x+Ay;x;y , Ax;x;y+Ay;;y , 0> 

C div<curl<A>>=div[<zu>*(Ay;x-Ax;y)]=(Ay;x-Ax;y);z=0 _

 渦の発散はない{!}

D <curl<curl<A>>>
=<curl<zu>*(Ay;x-Ax;y)>
=<(Ay;x-Ax;y);y , -(Ay;x-Ax;y);x , 0>
=<Ay;x;y-Ax;;y , -Ay;;x+Ax;x;y , 0>

 <curl<curl<A>>>+△<A>
=<Ay;x;y-Ax;;y , -Ay;;x+Ax;x;y , 0>+<Ax;;x+Ax;;y , Ay;;x+Ay;;y ,0>
=<Ay;x;y+Ax;;x , Ax;x;y+Ay;;y , 0>
=<(Ax;x+Ay;y);x , (Ax;x+Ay;y);y , 0>
=<grad(div<A>)> Bになった{!}

{2次元を考える事でいろいろな事がわかる!2014/3}

<grad()>

div<>

<curl<>>

<grad()>*

-

.

-

div<>*

-

0

<curl<>>*

0

-

.

演算子の合成.3次元

■ <curl<grad(f)>>のz成分=(f;y);x-(f;x);y=f;x;y-f;x;y=0

他の成分も同様になるから <curl<grad(f)>>=0

■ div<curl<A>>
=(Az;y-Ay;z);x+(…);y+(…);z
=(Az;x;y-Ay;z;x)+(Ax;y;z-Az;x;y)+(Ay;z;x-Ax;y;z)
=0 回転場に発散はない

{別解} ガウスの発散定理とストークスの定理により、

 $$${div<curl<A>>*dx*dy*dz}[領域]
=$${<curl<A>>*<dS>}[閉曲面]=${<A>*<ds>}[閉曲線]=0

 任意のある位置、任意の大きさで成り立つから、

 div<curl<A>>=0

◇ ベクトルのz成分 <A>:z

■ <curl<curl<A>>> の z成分を考えて、

 <curl<curl<A>>>:z
=(Ax;z-Az;x);x-(Az;y-Ay;z);y
=Ax;x;z-Az;;x-Az;;y+Ay;y;z
=Ax;x;z+Ay;y;z-(Az;;x+Az;;y) @

 (△<A>):z=△Az=Az;;x+Az;;y+Az;;z A

 @+A=Ax;x;z+Ay;y;z+Az;;z=(Ax;x+Ay;y+Az;z);z=<grad(div<A>)>:z

 <curl<curl<A>>>:z+(△<A>):z=<grad(div<A>)>:z

他の成分でも成り立つから、

 <curl<curl<A>>>+△<A>=<grad(div<A>)> _

● <A>#(<B>#<C>)=(<A>*<C>)*<B>-(<A>*<B>)*<C>

{別解} ∇ を使って、

 <curl<curl<A>>>
=∇#<∇#<A>>
=(∇*<A>)*∇-(∇*∇)*<A>
=∇(∇*<A>)-△<A>
=<grad(div<A>)>-△<A>

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