数学　ベクトル　2018/4-2013/2　Yuji.W

☆ ベクトル.関数存在の定理 ☆

◎ ヘルムホルツの定理　ベクトル　grad　curl　rot ★_

〓　関数存在の定理　〓 .

@ Helmholtz theorem

■ 無限遠で発散しないベクトル <X> は、次の2つのベクトルの和で表すことができる。

　<X>=-<grad(f)>+<curl<S>>　※ 符号は任意

grad=G　div=D　curl=C　と表せば　<X>=-<Gf>+<C<S>>

■ 任意のスカラー関数に対して　CG=0　だから、

　<CGf>=0　<Gf> は渦なしの場

また　任意のベクトルに対して　DC=0　だから、

　<DC<S>>=0　<C<S>> は発散なしの場

⇒　無限遠で発散しないベクトル <X> は　渦なしの場と発散なしの場に分けることができる。

渦なしの場は、スカラー関数 f を使って　-<Gf>　と表せ、

発散なしの場は、ベクトル関数 <S> を使って　<C<S>>　と表せる。

■ 任意の定数 c に対して　<grad(c)>=0　であるから、

　<grad(f)>=<grad(f+c)>

　f に任意の定数を加えてよいという自由度がある

また、任意のスカラー関数 h に対して、

　<curl<grad(h)>>=0　であるから、

　<curl<S>>=<curl(<S>+<grad(h)>)>

　<S> に 任意のスカラー関数 h の傾きを加えてよいという自由度がある