お勉強しようUz〕 数学 ベクトル

2017/2-2013/2 Yuji.W

☆ベクトル.関数存在の定理

_ ヘルムホルツの定理 ベクトル grad curl rot

● div<curl<A>>=0 <curl<grad(f)>>=0

 <curl<curl<A>>>=<grad(div<A>)-△<A> _

★10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) ★微分;x 時間微分' 積分$ ★ベクトル<A> 単位ベクトル<Au> 座標単位ベクトル<xu> 縦ベクトル<A) 内積* 外積#〔物理定数

{復習}grad,div,curl.2変数関数

『grad,div,curl.2変数関数』 2016/2

◆ 2変数スカラー関数 f(x,y) 平面上のベクトル <A(x,y)>

■【 grad,div,curlの意味と定義 】

 山の頂上へ向かうベクトルの変化の割合と方向
=<xu>*[f(x,y);x]+<yu>*[f(x,y);y]
=<grad[f(x,y)]>

 単位面積当たりの流束(長方形から出て行く<A>の量)の極限
=Ax;x+Ay;y
=div<A>

 単位面積当たりのz軸に対する循環の極限
=単位面積当たりの(xy平面上の長方形の周りの線積分)の極限
=Ay;x-Ax;y
=<curl<A>>のz成分

■【 微分演算子の合成 】

@ div<grad[f(x,y)]>
=山の頂上へ向かうベクトルの変化の割合と方向の流束
=どれだけ傾斜が増していくか
=f;;x+f;;y
=△f

A <curl<grad[f(x,y)]>>のz成分
=山の頂上へ向かうベクトルのz軸に対する循環
=f;y;x-f;x;y
=0

B <grad(div<A>)>=<xu>*(Ax;;x+Ay;x;y)+<yu>*(Ax;x;y+Ay;;y)

C div<curl<A>>=循環の流束=Ay;x;z-Ax;y;z=0

D <curl<curl<A>>>=<xu>*(Ay;x;y-Ax;;y)-<yu>*(Ay;;x-Ax;x;y)

 △<A(x,y)>=<xu>*(Ax;;x+Ax;;y)+<yu>*(Ay;;x+Ay;;y)

 <curl<curl<A>>>+△<A>=<grad(div<A>)>

関数存在の定理

● div<curl<A>>=0 <curl<grad(f)>>=0

 <curl<curl<A>>>=<grad(div<A>)-△<A>

「関数存在の定理 Helmholtz theorem」 2013/2

■ 任意のベクトル <X> は、次の2つのベクトルの和で表すことができる。

 <X>=-<grad(φ)>+<curl<A>>

※ 符号は任意

■ div<B>=0 を満たす、任意のベクトル <B> を考える。

 <B>=-<grad(φ)>+<curl<A>>

 0=div<B>=-div<grad(φ)>>+div<curl<A>=-div<grad(φ)>>

div<grad(φ)>>=0 でなくてはならない。初めから grad(φ)=0 を選んで、

 <B>=<curl<A>> とすることができる。

■ <curl<E>>=0 を満たす、任意のベクトル <E> を考える。

 <E>=-<grad(φ)>+<curl<A>>

 0=curl<E>=-<curl<grad(φ)>>+<curl<curl<A>>>=<curl<curl<A>>>

<curl<curl<A>>>=0 でなくてはならない。初めから <curl<A>>=0 を選んで、

 <E>=-<grad(φ)> とすることができる。

お勉強しようUz〕 数学 ベクトル 関数存在の定理

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