お勉強しようUz〕 数学 ベクトル

2017/2-2013/2 Yuji.W

ベクトルの公式

_ grad,div,curl  ナブラ ファインマン記法 nabla _

★10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) ★微分;x 時間微分' 積分$ ★ベクトル<A> 単位ベクトル<Au> 座標単位ベクトル<xu> 縦ベクトル<A) 内積* 外積#〔物理定数

☆微分演算子☆

■微分演算子

 nabla ∇=<;x , ;y , ;z>  ベクトル扱い

 (<A>*∇)=(Ax*;x+Ay*;y+Az*;z)  スカラー扱い

 Laplacian △=(;;x+;;y+;;z)  スカラー扱い

■∇f=<grad(f)> ∇*<A>=div<A> ∇#<A>=<curl<A>>

 (<A>*∇)f=Ax*(f;x)+Ay*(f;y)+Az*(f;z)=<A>*grad(f)

 (<A>*∇)<B>=< (<A>*∇)Bx , (<A>*∇)By , (<A>*∇)Bz >

 △f=f;;x+f;;y+f;;z △<A>=<△Ax , △Ay , △Az>

■<r>=<x(t),y(t),z(t)> 関数 f=f(<r>)

 f;t=(f;x)*(x;t)+(f;y)*(y;t)+(f;z)*(z;t)=(<r>'*∇)f

※ 演算子をベクトルのように扱えるというのは、座標軸を回転しても、その値が変わらないということである。

{わかりにくい記法だ!こいつが、ナブラをわかりにくくしている!2013/7}

■任意の方向の単位ベクトル <nu>

 <nu>*<grad(f)>=(<n>方向への変化の割合)

 <nu>*<grad(f)>=<nu>*<∇f>=(<nu>*∇)f  と表す

☆ファインマン記法☆

▲ファインマン記法

 関数 f だけに作用する∇ |f/ 関数 <A> だけに作用する∇ |A/

※ |f/ も |A/ もベクトル扱いの演算子

「ベクトル3重積」

■<A>#<B#C>=(<A>*<C>)*<B>-(<A>*<B>)*<C> ⇒

 <A>#<B#C>+(<A>*<B>)*<C>=(<A>*<C>)*<B> 

■|f/(f*g)=<∇f>*g=<grad(f)>*g 

■|f/*<f*<A>>=<∇f>*<A>=<grad(f)>*<A> 

 |A/*<f*<A>>=f*(∇*<A>)=f*div<A> 

 |f/#<f*<A>>=<∇f>#<A>=<grad(f)>#<A> 

 |A/#<f*<A>>=f*(∇#<A>)=f*<curl<A>> 

●<A>#<B#C>+(<A>*<B>)*<C>=(<A>*<C>)*<B>

■<B>#(<|A/#<A>)+(<B>*|A/)*<A>=(<A>*<B>)*|A/ ⇒

 <B>#<curl<A>>+(<B>*∇)<A>=|A/(<A>*<B>) ⇒

 |A/(<A>*<B>)=<B>#<curl<A>>+(<B>*∇)<A> 

同様に |B/(<A>*<B>)=<A>#<curl<B>>+(<A>*∇)<B> 

■|A/*<A#B>=<B>*(|A/#<A>)=<B>*<curl<A>> 

 |B/*<A#B>=-|B/*<B#A>=-<A>*(|B/#<B>)=-<A>*<curl<B>> 

■|A/#<A#B>
=(|A/*<B>)*<A>-(|A/*<A>)*<B>
=(<B>*∇)<A>-div<A>*<B> 

同様に |B/#<A#B>=-|B/#<B#A>=-(<A>*∇)<B>+div<B>*<A> 

☆f*g f*<A>☆

◎ f*g や f*<A> について

「ファインマン記法」関数 f だけに作用する∇ |f/

■|f/(f*g)=<∇f>*g=<grad(f)>*g 

■|f/*<f*<A>>=<∇f>*<A>=<grad(f)>*<A> 

 |A/*<f*<A>>=f*(∇*<A>)=f*div<A> 

 |f/#<f*<A>>=<∇f>#<A>=<grad(f)>#<A> 

 |A/#<f*<A>>=f*(∇#<A>)=f*<curl<A>> 

◆スカラー関数でも、ベクトル関数でも f,g

 ∇(f*g)=|f/(f*h)+|g/(f*g)  f*g 積は、内積でも外積でも

■<grad(f*g)>
=∇(f*g)
=|f/(f*g)+|g/(f*g)
=(∇f)*g+f*(∇g)
=<grad(f)>*g+f*<grad(g)> 

■div<f*<A>>
=∇*<f*<A>>
=|f/*<f*<A>>+|A/*<f*<A>>
=<∇f>*<A>+f*(∇*<A>)
=<grad(f)>*<A>+f*div<A> 

{証明} div<f*<A>>
=[f*Ax];x+[f*Ay];y+[f*Az];z
={(f;x)*Ax+(f;y)*Ay+(f;z)*Az}+f*{(Ax);x+(Ay);y+(Az);z}
=<grad(f)>*<A>+f*div<A>

■<curl<f*<A>>
=<∇#<f*<A>>
=|f/#<f*<A>>+|A/#<f*<A>>
=<∇f>#<A>+f*<∇#<A>>
=<grad(f)>#<A>+f*<curl<A>> 

{証明} <curl<f*<A>>:z
=(f*Ay);x-(f*Ax)y;
=[(f;x)*Ay-(f;y)*Az]+f*(Ay;x-Ax;y)
=[<grad(f)>#<A>]:z+f*<curl<A>>:z

他の成分でも成り立つから <curl<f*<A>>=<grad(f)>#<A>+f*<curl<A>>

※ f=定数 のとき、

 <grad(f*g)>=f*<grad(g)>

 div<f*<A>>=f*div<A>
 <curl<f*<A>>=f*<curl<A>> {当たり前!}

■Δ(f*g)
=(Δf)*g+2*<∇f>*<∇g>+f*(Δg)
=(Δf)*g+2*<grad(f)>*<grad(g)>+f*(Δg) 

{証明} <grad(f*g)>=<grad(f)>*g+f*<grad(g)>

 Δ(f*g)
=div<<grad(f*g)>>
=div[<grad(f)>*g+f*<grad(g)>]
=div<grad(f)>*g++<grad(f)>*<grad(g)>
+<grad(f)>*<grad(g)>]+f*div<grad(g)>]
=(Δf)*g+2*<grad(f)>*<grad(g)>+f*(Δg) 』

■div<f*<grad(g)>>
=∇<f*<∇g>>
=<∇f>*<∇g>+f*(Δg)
=<grad(f)>*<grad(g)>+f*(Δg) 

{証明} div<f*<grad(g)>>
=div<f*(g;x) , f*(g;y) , f*(g;z)>
=[(f;x)*(g;x)+(f;y)*(g;y)+(f;z)*(g;z)]+f*[g;;x+g;;y+g;;z]
=<grad(f)>*<grad(g)>+f*(Δg) 』

☆<A>*<B> <A>#<B>☆

◎ <A>*<B> や <A#B> について ファインマン記法を使う

「ファインマン記法」関数 f だけに作用する∇ |f/

■|A/(<A>*<B>)=<B>#<curl<A>>+(<B>*∇)<A> 

 |B/(<A>*<B>)=<A>#<curl<B>>+(<A>*∇)<B> 

■|A/*<A#B>=<B>*<curl<A>> 

 |B/*<A#B>=-<A>*<curl<B>> 

■|A/#<A#B>=(<B>*∇)<A>-div<A>*<B> 

 |B/#<A#B>=-(<A>*∇)<B>+div<B>*<A> 

◆スカラー関数でも、ベクトル関数でも f,g

 ∇(f*g)=|f/(f*h)+|g/(f*g)  f*g 積は、内積でも外積でも

■<grad(<A>*<B>)>
=<∇(<A>*<B>)>
=|A/(<A>*<B>)+|B/(<A>*<B>)
=(<B>*∇)<A>+(<A>*∇)<B>+<B>#<curl<A>>+<A>#<curl<B>> 

※ (<A>*∇)<B>=< (<A>*∇)Bx , (<A>*∇)By , (<A>*∇)Bz >

{証明} z成分を考えよう。

 <grad(<A>*<B>)>:z
=(Ax*Bx+Ay*By+Az*Bz);z
=[(Ax;z)*Bx+(Ay;z)*By+(Az;z)*Bz]+[Ax*(Bx;z)+Ay*(By;z)+Az*(Bz;z)]

 ((<B>*∇)<A>):z=(<B>*∇)Az=Bx*(Az;x)+By*(Az;y)+Bz*(Az;z) …@

 ((<A>*∇)<B>):z=(<A>*∇)Bz=Ax*(Bz;x)+Ay*(Bz;y)+Az*(Bz;z) …A

 (<B>#<curl<A>>):z
=Bx*<curl<A>>:y-By*<curl<A>>:x
=Bx*(Ax;z)-Bx*(Az;x)-By*(Az;y)+By*(Ay;z) …B

 (<A>#<curl<B>>):z=Ax*(Bx;z)-Ax*(Bz;x)-Ay*(Bz;y)+Ay*(By;z) …C

 @+A+B+C
=Bx*(Az;x)+By*(Az;y)+Bz*(Az;z)+Ax*(Bz;x)+Ay*(Bz;y)+Az*(Bz;z)
+Bx*(Ax;z)-Bx*(Az;x)-By*(Az;y)+By*(Ay;z)
+Ax*(Bx;z)-Ax*(Bz;x)-Ay*(Bz;y)+Ay*(By;z)
=Bz*(Az;z)+Az*(Bz;z)+Bx*(Ax;z)+By*(Ay;z)+Ax*(Bx;z)+Ay*(By;z)
=[(Ax;z)*Bx+(Ay;z)*By+(Az;z)*Bz]+[Ax*(Bx;z)+Ay*(By;z)+Az*(Bz;z)]
=<grad(<A>*<B>)>:z

他の成分でも成り立つ。 』

■<A>=<B> のとき、

 左辺=<grad(<A>*<A>)>=<grad(A^2)>
 右辺=2*(<A>*∇)<A>+2*<A>#<curl<A>>

 (1/2)*<grad(A^2)>=(<A>*∇)<A>+<A>#<curl<A>> 

 (<A>*∇)<A>=<curl<A>>#<A>+(1/2)*<grad(A^2)> 

■div<A#B>
=∇*<A#B>
=|A/*<A#B>+|B/*<A#B>
=<B>*<curl<A>>-<A>*<curl<B>> 

※ ∇*<A#B>=<B>*(∇#<A>)=<B>*<curl<A>> とはならない{!}

{証明} <A#B>=< Ay*Bz-Az*By , Az*Bx-Ax*Bz , Ax*By-Ay*Bx >

 div<A#B>
=(Ay*Bz-Az*By);x+(Az*Bx-Ax*Bz);y+(Ax*By-Ay*Bx);z
=Ay;x*Bz-Az;x*By+Az;y*Bx-Ax;y*Bz+Ax;z*By-Ay;z*Bx
+Ay*Bz;x-Az*By;x+Az*Bx;y-Ax*Bz;y+Ax*By;z-Ay*Bx;z
=(Az;y-Ay;z)*Bx+(Ax;z-Az;x)*By+(Ay;x-Ax;y)*Bz
-[Ax*(Bz;y-By;z)+Ay*(Bx;z-Bz;x)+Az*(By;x-Bx;y)]
=<B>*<curl<A>>-<A>*<curl<B>> 』

■<A> と <B> とが、xy平面にあるとき、

 <A#B>=<<A>#<B>> ∝ <zu>

 <curl<zu>> は、xy平面にあるから <curl<A#B>> もxy平面にある。

一般化して、

 <curl<A#B>> は、<A> と <B> とが作る平面上にある 

■<curl<A#B>>
=∇#<A#B>
=|A/#<A#B>+|B/#<A#B>
=(<B>*∇)<A>-div<A>*<B>-(<A>*∇)<B>+div<B>*<A>
=(<B>*∇)<A>-(<A>*∇)<B>+div<B>*<A>-div<A>*<B> 

{証明} z軸成分を考えると、

 <curl<A#B>>:z
=(<A#B>:y);x-(<A#B>:x);y
=(Az*Bx-Ax*Bz);x-(Ay*Bz-Az*By);y
=Az*(Bx;x+By;y)-Ax*Bz;x-Ay*Bz;y
+Az;x*Bx+Az;y*By-(Ax;x+Ay;y)*Bz …@

 (<A>*∇)Bz=Ax*(Bz;x)+Ay*(Bz;y)+Az*(Bz;z) …A

 div<A>*Bz=(Ax;x+Ay;y+Az;z)*Bz …B

 (<B>*∇)Az=Bx*(Az;x)+By*(Az;y)+Bz*(Az;z) …C

 div<B>*Az=(Bx;x+By;y+Bz;z)*Az …D

 @+A+B
=Az*(Bx;x+By;y)-Ax*Bz;x-Ay*Bz;y
+Az;x*Bx+Az;y*By-(Ax;x+Ay;y)*Bz
+Ax*(Bz;x)+Ay*(Bz;y)+Az*(Bz;z)
+(Ax;x+Ay;y+Az;z)*Bz
=Az*(Bx;x+By;y+Bz;z)+(Bx*Az;x+By*Az;y+Bz*Az;z)
=C+D

どの成分でも成り立つから、
 <curl<A#B>>
=(<B>*∇)<A>-(<A>*∇)<B>+div<B>*<A>-div<A>*<B> 』

{実際に自分で証明すると、理解力が深まり、計算力も増す!2013/8}

☆まとめ☆

「ベクトル公式集」

◆∇=<;x , ;y , ;z>

 <grad(f)>=<∇f> div<A>=∇*<A> <curl<A>>=<∇#<A>>

 (<A>*∇)f=Ax*(f;x)+Ay*(f;y)+Az*(f;z)=<A>*grad(f)

 (<A>*∇)<B>=< (<A>*∇)Bx , (<A>*∇)By , (<A>*∇)Bz >
=<<A>*grad(Bx) , <A>*grad(By) , <A>*grad(Bz)>

 (<A>*∇)<A>=<<A>*grad(Ax) , <A>*grad(Ay) , <A>*grad(Az)>

 △f=f;;x+f;;y+f;;z △<A>=<△Ax , △Ay , △Az>

■<grad(f*g)>=<grad(f)>*g+f*<grad(g)> 

 <grad(<A>*<B>)>
=(<B>*∇)<A>+(<A>*∇)<B>+<B>#<curl<A>>+<A>#<curl<B>> 

<A>=<B> のとき、

 (1/2)*<grad(A^2)>=(<A>*∇)<A>+<A>#<curl<A>> 

 (<A>*∇)<A>=<curl<A>>#<A>+(1/2)*<grad(A^2)> 

■div<f*<A>>=<grad(f)>*<A>+f*div<A> 

 div<f*<grad(g)>>=<grad(f)>*<grad(g)>+f*(Δg) 

 div<A#B>=<B>*<curl<A>>-<A>*<curl<B>> 

■<curl<f*<A>>=<grad(f)>#<A>+f*<curl<A>> 

 <curl<A#B>>
=(<B>*∇)<A>-(<A>*∇)<B>+div<B>*<A>-div<A>*<B> 

■Δ(f*g)=(Δf)*g+2*<grad(f)>*<grad(g)>+f*(Δg) 

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