uz公式 grad div curl △

☆ 関数の積の微分 ☆

☆ お勉強しよう | 数学　 Python 2022.6-2013.2　Yuji.W

〇ナブラ　傾き　発散　回転　ラプラシアン　★　

【数学】2*3=6　6/2=3　3^2=9　1000=10^3=Ten(3)　〔22.6〕　000　py-　0table
微分 ;　偏微分 :　積分 $　ネイピア数 e　虚数単位 i　e^(i*x)=expi(x)　
ベクトル <A>　縦ベクトル <A)　単位ベクトル <Au>　内積 *　外積 #

〓　ナブラ　〓　積 *　内積 *　外積 #　22.6

▢ ナブラ nabla ∇=<(:x) (:y) (:z)>

▷ スカラー関数に対して　∇f=<f:x f:y f:z>=<grad(f)>

内積のような　∇*<A>=Ax:x+Ay:y+Az:z=div<A>

外積のような　∇#<A>=<Az:y-Ay:z Ax:z-Az:x Ay:x-Ax:y>=<curl<A>>

▷ <A>*∇=Ax*(:x)+Ay*(:y)+Az*(:z)　1つの微分演算子とみなす

スカラー関数に対して、

(<A>*∇)f=Ax*(f:x)+Ay*(f:y)+Az*(f:z)=<A>*(∇f)=<A>*<grad(f)>

ベクトル関数に対して、

(<A>*∇)
=<<A>*<grad(Bx)> <A>*<grad(By)> <A>*<grad(Bz)>>

〓　関数の積の微分　〓　積 *　内積 *　外積 #　

▢ 任意のスカラー関数 f(x,y,z) , g(x,y,z)　任意のベクトル関数 <A(x,y,z)>

▷ (<grad(f*g)> x成分)=(f*g):x=(f:x)*g+f*(g:x)

<grad(f*g)>
=<f:x f:y f:z>*g+f*<g:x g:y g:z>
=<grad(f)>*g+f*<grad(g)>

≫　<grad(f*g)>=<grad(f)>*g+f*<grad(g)>　★

▷ div<f*<A>>
=(f*Ax):x+(f*Ay):y+(f*Az):z
=[(f:x)*Ax+(f:y)*Ay+(f:z)*Az]+f*(Ax:x+Ay:y+Az:z)
=<grad(f)>*<A>+f*div<A>

≫　div<f*<A>>=<grad(f)>*<A>+f*div<A>　★

▷ (<curl<f*<A>> z成分)
=(f*Ay):x-(f*Ax):y
=[(f:x)*Ay+f*(Ay:x)]-[(f:y)*Ax+f*(Ax:y)]
=[(f:x)*Ay-(f:y)*Ax]+f*(Ay:x-Ax:y)

ここで　外積 # として、

(<grad(f)>#<A> z成分)
=(<f:x f:y f:z>#<Ax Ay Az> z成分)
=(f:x)*Ay-(f:y)*Ax

<curl<f*<A>>=<grad(f)>#<A>+f*<curl<A>>　★

▷ (f*g):x=(f:x)*g+f*(g:x)

　(f*g)::x=[(f:x)*g+f*(g:x)]:x=(f::x)*g+2*(f:x)*(g:x)+f*(g::x)

同様に　(f*g)::y=(f::y)*g+2*(f:y)*(g:y)+f*(g::y)

　(f*g)::z=(f::z)*g+2*(f:z)*(g:z)+f*(g::z)

△(f*g)
=(f*g)::x+(f*g)::y+(f*g)::z
=(f::x+f::y+f::z)*g+2*[(f:x)*(g:x)+(f:y)*(g:y)+(f:z)*(g:z)]
+f*(g::x+g::y+g::z)
=(△f)*g+2*<grad(f)>*<grad(g)>+f*(△g)

≫　△(f*g)=(△f)*g+2*<grad(f)>*<grad(g)>+f*(△g)　★

{別解} <grad(f*g)>=<grad(f)>*g+f*<grad(g)>

● div<f*<A>>=<grad(f)>*<A>+f*<div<A>> ●　だったから、

div[<grad(f)>*g]
=[div<grad(f)>]*g+<grad(f)>*<grad(g)>
=△(f*g)+<grad(f)>*<grad(g)>

また　div[f*<grad(g)>]=<grad(f)>*<grad(g)>+f*△g

△(f*g)=div<grad(f*g)>=(△f)*g+2*<grad(f)>*<grad(g)>+f*(△g)　★

=== まとめ ===　

<grad(f*g)>=<grad(f)>*g+f*<grad(g)>

div<f*<A>>=<grad(f)>*<A>+f*div<A>

<curl<f*<A>>=<grad(f)>#<A>+f*<curl<A>>

△(f*g)=(△f)*g+2*<grad(f)>*<grad(g)>+f*(△g)

〓　関数の積の微分 ∇ で表す　〓　積 *　内積 *　外積 #　

▢ ナブラ ∇=<(:x) (:y) (:z)> を使って表す

∇f=<f:x f:y f:z>　∇*<A>=Ax:x+Ay:y+Az:z

▷ <grad(f*g)>=<grad(f)>*g+f*<grad(g)>

　∇(f*g)=∇f*g+f*∇g　★　

▷ div<f*<A>>=<grad(f)>*<A>+f*div<A>

∇*<f*<A>>=∇f*<A>+f*(∇*<A>)　★

▷ <curl<f*<A>>=<grad(f)>#<A>+f*<curl<A>>

∇#<f*<A>=∇f#<A>+f*(∇#<A>)　★

▷ △(f*g)=(△f)*g+2*<grad(f)>*<grad(g)>+f*(△g)

　∇(f*g)=∇f*g+f*∇g

　△(f*g)
=∇[∇(f*g)]
=∇(∇f*g)+∇(f*∇g)
=(∇∇f)*g+2*∇f*∇g+f*(∇∇g)
=△f*g+2*∇f*∇g+f*△g　★　

{ナブラを使うと便利なのはわかった!22.6}

=== まとめ ===　

∇(f*g)=∇f*g+f*∇g　∇*<f*<A>>=∇f*<A>+f*(∇*<A>)

∇#<f*<A>=∇f#<A>+f*(∇#<A>)

　△(f*g)=(∇∇f)*g+2*∇f*∇g+f*(∇∇g)=△f*g+2*∇f*∇g+f*△g

〓　ベクトルの積の微分　〓　積 *　内積 *　外積 #　

▢ 任意のベクトル関数 <A(x,y,z)> , <B(x,y,z)>

▷ <grad(<A>*)>
=<grad(Ax*Bx+Ay*By+Az*Bz)>
=<grad(Ax*Bx)>+<grad(Ay*By)>+<grad(Az*Bz)>

● <grad(f*g)>=<grad(f)>*g+f*<grad(g)> ●

<grad(Ax*Bx)>=<grad(Ax)>*Bx+Ax*<grad(Bx)>

(<grad(<A>*)> z成分)
=(Ax*Bx+Ay*By+Az*Bz):z
=[(Ax:z)*Bx+(Ay:z)*By+(Az:z)*Bz]+[Ax*(Bx:z)+Ay*(By:z)+Az*(Bz:z)]
=(<A>:z)*+<A>*(:z)

≫　(<grad(<A>*)> z成分)=(<A>:z)*+<A>*(:z)　★

▷ <grad(A^2)>=<grad(<A>*<A>)>

(<grad(A^2)> z成分)=(<A>:z)*<A>+<A>*(<A>:z)=2*<A>*(<A>:z)　★

▷ div(<A>#)
=(Ay*Bz-Az*By):x+(Az*Bx-Ax*Bz):y+(Ax*By-Ay*Bx):z

ここで、

　(Ay*Bz-Az*By):x=(Ay:x)*Bz+Ay*(Bz:x)-(Az:x)*By-Az*(By:x)
　(Az*Bx-Ax*Bz):y=(Az:y)*Bx+Az*(Bx:y)-(Ax:y)*Bz-Ax*(Bz:y)
　(Ax*By-Ay*Bx):z=(Ax:z)*By+Ax*(By:z)-(Ay:z)*Bx-Ay*(Bx:z)

div(<A>#)
=(Az:y-Ay:z)*Bx+(Ax:z-Az:x)*By+(Ay:x-Ax:y)*Bz
-Ax*(Bz:y-By:z)-Ay*(Bx:z-Bz:x)-Az*(By:x-Bx:y)
=<curl<A>>*-<A>*<curl>

≫　div(<A>#)=<curl<A>>*-<A>*<curl>　★

▷ <curl(<A>#)>=<curl<Ay*Bz-Az*By Az*Bx-Ax*Bz Ax*By-Ay*Bx>

(<curl(<A>#)> z成分)=(Az*Bx-Ax*Bz):x-(Ay*Bz-Az*By):y

ここで、

　(Az*Bx-Ax*Bz):x=(Az:x)*Bx+Az*(Bx:x)-(Ax:x)*Bz-Ax*(Bz:x)
　-(Ay*Bz-Az*By):y=-(Ay:y)*Bz-Ay*(Bz:y)+(Az:y)*By+Az*(By:y)

⇒　(<curl(<A>#)> z成分)
=[(Az:x)*Bx+(Az:y)*By]-(Ax:x+Ay:y)*Bz
-[Ax*(Bz:x)+Ay*(Bz:y)]+Az*(Bx:x+By:y)
=[(Az:x)*Bx+(Az:y)*By+(Az:z)*Bz]-(Ax:x+Ay:y+Az:z)*Bz
-[Ax*(Bz:x)+Ay*(Bz:y)+Az*(Bz:z]+Az*(Bx:x+By:y+Bz:z)
=<grad(Az)>*-div<A>*Bz-<A>*<grad(Bz)>+Az*div
=<grad(Az)>*-<A>*<grad(Bz)>+Az*div-div<A>*Bz

≫　(<curl(<A>#)> z成分)
=<grad(Az)>*-<A>*<grad(Bz)>+Az*div-div<A>*Bz　★

=== まとめ ===　

(<grad(<A>*)> z成分)=(<A>:z)*+<A>*(:z)

(<grad(A^2)> z成分)=2*<A>*(<A>:z)

div(<A>#)=<curl<A>>*-<A>*<curl>

(<curl(<A>#)> z成分)
=<grad(Az)>*-<A>*<grad(Bz)>+Az*div-div<A>*Bz

〓　ナブラ ∇ の利用　〓　積 *　内積 *　外積 #　

▷ (1/2)*(<grad(A^2)> z成分)=<A>*(<A>:z)=Ax*(Ax:z)+Ay*(Ay:z)+Az*(Az:z)

(<curl<A>>#<A> z成分)
=(Az:y-Ay:z)*Ay-(Ax:z-Az:x)*Ax
=[Ax*(Az:x)+Ay*(Az:y)]-[Ax*(Ax:z)+Ay*(Ay:z)]
=[Ax*(Az:x)+Ay*(Az:y)+Az*(Az:z)]-[Ax*(Ax:z)+Ay*(Ay:z)+Az*(Az:z)]
=((<A>*∇)<A> z成分)-(1/2)*(<grad(A^2)> z成分)

(<curl<A>>#<A> z成分)+(1/2)*(<grad(A^2)> z成分)=((<A>*∇)<A> z成分)

<curl<A>>#<A>+(1/2)*<grad(A^2)>=(<A>*∇)<A>　★

〓　関数の積の微分ナブラ　〓　積 *　内積 *　外積 #　22.6

▢ 任意のスカラー関数 f(x,y,z) , g(x,y,z)　任意のベクトル関数 <A(x,y,z)> , <B(x,y,z)>

ナブラ nabla ∇=<(:x) (:y) (:z)>

▷ <grad(f*g)>=<grad(f)>*g+f*<grad(g)>

div<f*<A>>=<grad(f)>*<A>+f*div<A>

<curl<f*<A>>=<grad(f)>#<A>+f*<curl<A>>

△(f*g)=(△f)*g+2*<grad(f)>*<grad(g)>+f*(△g)

▷ (<grad(<A>*)> z成分)=(<A>:z)*+<A>*(:z)

(<grad(A^2)> z成分)=2*<A>*(<A>:z)

div(<A>#)=<curl<A>>*-<A>*<curl>

(<curl(<A>#)> z成分)
=<grad(Az)>*-<A>*<grad(Bz)>+Az*div-div<A>*Bz

▷ <curl<A>>#<A>+(1/2)*<grad(A^2)>=(<A>*∇)<A>

☆ お勉強しよう　since2011　Yuji.W