お勉強しようUz〕 数学 ベクトル

2017/2-2013/7 Yuji.W

☆ベクトル☆

_ ベクトルとは ベクトルを使う上での注意点 ベクトルを使う利点 _〔物理定数

★10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) ★微分;x 時間微分' 積分$ ★ベクトル<A> 単位ベクトル<Au> 座標単位ベクトル<xu> 縦ベクトル<A) 内積* 外積#

☆ベクトルとは☆

◎ 以下、平面上のベクトル(2次元ベクトル)を考える。3次元に拡張するのは簡単。
{ベクトルに関しては、間違って教えられた事、誤解があると思う。そこを解消しないと、混乱することになる!}

■【 ベクトルとは 】

大きさと方向を考えた量をベクトルと言う。物理学では、位置、速度、力などを表すのにベクトルを使う。電場、磁場は、単位電荷当たりに働く力のことだから、もちろん、ベクトルで表すことができる。

■【 ベクトルに対する誤解 】

以下、誤解、間違いである。

@ ベクトルは、その大きさと方向を変えなければ、自由に平行移動してよい。

A [ベクトルとが等しい]⇔[成分が等しい]

B 1つのベクトルを別の座標で表すと、成分が変わるから、ベクトルも変わり、等号で結ぶことはできない。

■【 ベクトルは自由に平行移動してよいのか 】

「ベクトルは自由に平行移動してよい」と教わった。そうではない。例えば、力をベクトルで表すと、力は、力がかかる位置が重要なのであって、位置が変われば、物理現象は変わる。力を自由に平行移動しても同じになるという意味ではない。あくまで、別の位置にあっても、大きさと方向が等しい力は、等しいとは言えるが、「自由に平行移動してよい」わけではない。 _

■【 ベクトルが等しいとは 】

2つのベクトル <A>,<B> があって、その大きさと方向が等しいとき

 <A>=<B> と表す _

あくまで、大きさと方向のみを問題にしているだけで、他の特性は違っていてよい。{他の特性と言っても、あまりないかもしれない!}

また、座標系に依らず、大きさと方向が等しければ <A>=<B> と表す事ができる。例えば デカルト座標(x,y) と 90°傾いたデカルト座標(X,Y) を考えてみよう。

その座標単位ベクトル <xu>,<yu> <Xu>,<Yu>

デカルト座標(x,y)で 点P(3,1) の位置を表すベクトル <P>

 <P>=<xu>*3+<yu>*1

同じ位置を90°傾いたデカルト座標(X,Y)で表したベクトル <Q>

 <Q>=<Xu>*1-<Yu>*3

2つのベクトルは、成分は異なるが、同じ位置を表していて、大きさと方向は等しいから、

 <P>=<Q> と書ける。

成分が違っていても、1つのベクトルを表しているから、等式が使える。 _

■【 成分まで等しくなるとき 】

成分まで等しくなるのは、かなり限定されたときのみである。

デカルト座標で2つのベクトル <A>,<B>

 <A>=<xu>*Ax+<yu>*Ay=<Ax Ay> <B>=<xu>*Bx+<yu>*By=<Bx By>

 <A>=<B> のとき Ax=Bx & Ay=By となる。

{これは正しい。こういう風に習った。だが、これは、かなり限定された場合のみである。そこをしっかり教えてくれないから、混乱することになる。!2017/2}

■【 1つの座標系で表せばいいのか 】

1つの座標系で表しても [ベクトルが等しい]⇔[成分が等しい] とはならない事がある。

デカルト座標で (2,0)にある大きさ 10、x軸方向を向いているベクトル <A>
 (0,3)にある大きさ 10、x軸方向を向いているベクトル <B>

円座標(r,a)では、その座標単位ベクトルの方向は、位置によって変わる。

(2,0)では <ru>=<xu> & <au>=<yu>
(0,3)では <ru>=<yu> & <au>=-<xu> だから、

 <A>=<ru>*10 <B>=-<au>*10

<A>と<B>の大きさと方向は等しいから、どちらの座標系でも <A>=<B> と書ける。ただし、円座標(r,a)では、その成分は等しくならない。

円座標(r,a)の座標単位ベクトル <ru>,<au>は、本当は、その位置を明示しなければいけない。デカルト座標で表すと、

 <ru(2,0)>=<xu> & <au(2,0)>=<yu>
 <ru(0,3)>=<yu> & <au(0,3)>=-<xu> など。

ただし、面倒くさいので、位置は明示しないで、暗黙の了解で扱うのである。

※ デカルト座標単位ベクトルは、どの位置であっても、大きさと方向は変わらない。したがって [ベクトルが等しい]⇔[成分が等しい] と言える。

{以上、間違って教えられた、または、間違って教わってしまった事が、その後、ベクトルに対して混乱する原因となったと思う!50年かかってやっと理解できた!2017/2}

『ベクトル』

ベクトル 大きさと方向を考えた量

■ 2つのベクトル <A>,<B> の大きさと方向が等しいとき <A>=<B>

成分が違っていても、大きさと方向が等しい2つのベクトルは、等しいと言える。

☆斜めに傾いた座標での運動方程式☆

◎ ベクトルを使う意義を、運動方程式を例にとって考えてみる

◇ 時間微分 '

◆ 1質点 xy平面上の運動

2次元デカルト座標xy系で 質点の位置 <x y> 質点にかかる力 <Fx Fy>

30°斜めに傾いた座標XY系で <X Y> <FX FY>

※ x≠X y≠Y Fx≠FX Fy≠FY

位置ベクトルの関係 

 x=X*root3/2-Y/2 y=X/2+Y*root3/2
 X=x*root3/2+y/2 Y=-x/2+y*root3/2

力の関係 {盲点!}

 Fx=FX*root3/2-FY/2 Fy=FX/2+FY*root3/2
 FX=Fx*root3/2+Fy/2 FY=-Fx/2+Fy*root3/2

xy系で運動方程式が成り立つとして <Fx Fy>=m*<x y>''

 Fx=m*x'' & Fy=m*y''

XY系の量に直すと、

 FX*root3/2-FY/2=m*(X''*root3/2-Y''/2)
 FX/2+FY*root3/2=m*(X''/2+Y''*root3/2)

FY を消去すると、

 FX*3/2+FX/2=m*[(X''*3/2-Y''*root3/2)+(X''/2+Y''*root3/2)]

 2*FX=2*m*X''

 FX=m*X''

同様に FY=m*Y''

まとめて <FX FY>=m*<X Y>''

すなわち、

xy系で運動方程式 <Fx Fy>=m*<x y>'' が成り立つとき、30°斜めに傾いた座標XY系でも <FX FY>=m*<X Y>'' が成り立つ。

■ 同様な事は、傾く角度に依る事なく成り立つ。したがって、次の事が言える。

ある特定の座標系で <A>=<B> となれば、別の任意の傾いた座標系でも成り立つ。物事を考えるのに最も都合のよい(計算が楽な)座標系で考えて、ある式が成り立てば、それは、任意の傾いた座標系でも言える。 _ベクトルを使う意味がここにある。

x≠X y≠Y Fx≠FX Fy≠FY ではあるが、

 <x y>=<X Y> & <Fx Fy>=<FX FY>

{やっと理解できた。40年間わかってなかった!ファインマンの本は、こういう事をしっかり書いてあるので、わかりやすい!2013/9,2015/5,2016/1,2017/2}

☆平行移動してずれた座標での運動方程式☆

◎ デカルト座標を平行移動し、ずれた座標軸での、運動方程式を考えよう。

◆ 質点(質量m) 点Pで、質点に働く力 <F> 質点の位置 <r>=<x,y,z>

元の座標 x系 x軸の方向に h だけ平行移動した、新しいデカルト座標X系

 X=x-h Y=y Z=z  質点の位置 <R>=<X,Y,Z>_X

h は定数でなくてよい。ただし、x系、X系とも、等速直線運動をするとしたいので、h は時間の1次関数である。 h''=0

<F>をx系で表した成分 <Fx,Fy,Fz>_x

 X系で表した成分 <FX,FY,FZ>_X

x系、X系の座標軸単位ベクトルの方向は変わらないから、

 Fx=FX Fy=FY Fz=FX

x系での運動方程式 <F>=m*<r>''

 Fx=m*x'' Fy=m*y'' Fz=m*z''

■ X系での運動方程式を調べよう。

 m*X''=m*(x-h)''=m*x''-m*h''=m*x''=Fx=FX

同様に m*Y''=m*y''=Fy=FY m*Z''=FZ

まとめて m*X''=FX m*Y''=FY m*Z''=FZ

すなわち m*(<R>_X)''=<FX,FY,FZ>

したがって、どの系でも 運動方程式 m*<r>''=<F>

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