☆お勉強しようUz☆ 数学.数列

2016/9-2012/5 Yuji.W

バーゼル問題

◎ 無限級数 バーゼル問題

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数.

☆バーゼル問題 Basel problem☆

■バーゼル問題

 SB=1+1/4+1/9+1/16+1/25+1/36+1/49+…=Pi^2/6~1.644934 ★

 Se=1/4+1/16+1/36+1/64…=Pi^2/24~0.411

 So=1+1/9+1/25+1/49+…=Pi^2/8~1.234

 Se+So=Pi^2/24+Pi^2/8=4*Pi^2/24=Pi^2/6

■問題提起 1644 Pietro Mengoli イタリア

解決 1735 Leonhard Euler スイス(スイスの Basel で生まれた) オイラーの公式を発見した

■次のような級数の和を3つ定義すると、
 SB=1+1/4+1/9+1/16+1/25+1/36+1/49+…
 S1=1+1/(2*3)+1/(3*4)+1/(4*5)+…
 S2=1+1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+…=0.5+S1

 S1<SB<S2

ここで、S1=1+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+…=1.5 だから、

 1.5<SB<2 ★

また、SB は項が増えるにつれ増加するから、ある値に収束することがわかる。

■SB を求めよう。

 sin(x)=x-x^3/3!+x^5/5!-x^6/6!+… マクローリン展開

 sin(x)/x=1-x^2/3!+x^4/5!-x^5/6!+… @

式@は、x の ∞次式と見なすことができる。

x=(整数)*Pi のとき sin(x)=0 同時に sin(x)/x=0 ⇒

式@は、[x-(整数)*Pi] で、因数分解できる。すなわち、

 {1+x/[(整数)*Pi]} で、因数分解できる。

 sin(x)/x ∝ (1+x/Pi)*(1-x/Pi)*[1-x/(2Pi)]*[1+x/(2Pi)]*…

定数項を比べれば、比例定数は 1 であるから、次のように=で結べる。

 sin(x)/x=(1+x/Pi)*(1-x/Pi)*[1-x/(2Pi)]*[1+x/(2Pi)]*…

 sin(x)/x
=(1+x/Pi)*(1-x/Pi)*[1-x/(2Pi)]*[1+x/(2Pi)]*…
=[1-x^2/(Pi)^2]*[1-x^2/(4*Pi^2)]*[1-x^2/(9*Pi^2)]*…
=1-[1+1/4+1/9+…]*x^2/Pi^2+(x^4 の項)+… A

@とAの x^2 の項を比べて、

 1/6=[1+1/4+1/9+…]/Pi^2

 SB=1+1/4+1/9+…=Pi^2/6 』

■Se
=1/4+1/16+1/36+1/64…
=(1/4)*(1+1/4+1/9+1/16+1/25+…)
=(1/4)*SB
=Pi^2/24

 So=1+1/9+1/25+1/49+…=SB-Se=Pi^2/8

{たまたま証明を見つけた感じだなあ!2013/9}

{別解}フーリエ級数展開して求めることもできる。

☆☆

■1+1/3^4+1/5^4+1/7^4+…=Pi^4/96~1.01

■1+1/2^4+1/3^4+…=Pi^4/90~1.08

{注}1+1/16+1/81~1.075

  無限級数.バーゼル問題  

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