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◎ 無限級数 バーゼル問題 |
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◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数- ★. |
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■バーゼル問題 SB=1+1/4+1/9+1/16+1/25+1/36+1/49+…=Pi^2/6~1.644934 ★ Se=1/4+1/16+1/36+1/64…=Pi^2/24~0.411 So=1+1/9+1/25+1/49+…=Pi^2/8~1.234 Se+So=Pi^2/24+Pi^2/8=4*Pi^2/24=Pi^2/6 ■問題提起 1644 Pietro Mengoli イタリア 解決 1735 Leonhard Euler スイス(スイスの Basel で生まれた) オイラーの公式を発見した ■次のような級数の和を3つ定義すると、 S1<SB<S2 ここで、S1=1+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+…=1.5 だから、 1.5<SB<2 ★ また、SB は項が増えるにつれ増加するから、ある値に収束することがわかる。 ■SB を求めよう。 sin(x)=x-x^3/3!+x^5/5!-x^6/6!+… マクローリン展開 sin(x)/x=1-x^2/3!+x^4/5!-x^5/6!+… @ 式@は、x の ∞次式と見なすことができる。 x=(整数)*Pi のとき sin(x)=0 同時に sin(x)/x=0 ⇒ 式@は、[x-(整数)*Pi] で、因数分解できる。すなわち、 {1+x/[(整数)*Pi]} で、因数分解できる。 sin(x)/x ∝ (1+x/Pi)*(1-x/Pi)*[1-x/(2Pi)]*[1+x/(2Pi)]*… 定数項を比べれば、比例定数は 1 であるから、次のように=で結べる。 sin(x)/x=(1+x/Pi)*(1-x/Pi)*[1-x/(2Pi)]*[1+x/(2Pi)]*… sin(x)/x @とAの x^2 の項を比べて、 1/6=[1+1/4+1/9+…]/Pi^2 SB=1+1/4+1/9+…=Pi^2/6 』 ■Se So=1+1/9+1/25+1/49+…=SB-Se=Pi^2/8 {たまたま証明を見つけた感じだなあ!2013/9} {別解}フーリエ級数展開して求めることもできる。 |
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■1+1/3^4+1/5^4+1/7^4+…=Pi^4/96~1.01 ■1+1/2^4+1/3^4+…=Pi^4/90~1.08 {注}1+1/16+1/81~1.075 |
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★ 無限級数.バーゼル問題 ★ |