お勉強しようUz 数学.確率

2016/3-2013/12 Yuji.W

確率密度関数,確率分布関数

◎ 確率変数が連続量 確率分布 probability distribution
確率密度関数 probability density function
確率分布関数(累積分布関数) cumlation distribution function

◇ ベクトル<A> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 縦ベクトル<A) 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x)物理定数

◇確率密度関数、確率分布関数◇

◎ 確率変数が連続量であるときは、どのように扱っていくのか

■ ある事象が起こる確率を考える 確率変数 x 次の3つの関数を定める

@ 確率変数が a<x<b になる確率 P(a~b)

A 確率分布関数(累積分布関数) CD(x)=P(-∞~x)

 P(a~b)=P(-∞~b)-P(-∞~a)=CD(b)-CD(a)

 CD(x) 0 から 1 までの単調増加関数

B 確率密度関数 PD(x)=CD(x);x CD(x)=${PD(x)*dx}[x:-∞~x]

■【 PD(x) の表す意味 】

微少量 dx に対して P(x~x+dx)
=CD(x+dx)-CD(x)
=[CD(x);x]*dx
=PD(x)*dx

≫ P(x~x+dx)=PD(x)*dx

 P(a~b)=${PD(x)*dx}[x:a~b]

{この順に説明されるのが、最もわかりやすいと思う!2016/3}

『確率分布 確率変数が連続量』 2016/3

◆ 確率変数 x

■ @ 確率変数が a<x<b になる確率 P(a~b)

A 確率分布関数(累積分布関数) CD(x)=P(-∞~x) P(a~b)=CD(b)-CD(a)

B 確率密度関数 PD(x)=CD(x);x

■ 微少量 dx に対して P(x~x+dx)=PD(x)*dx

 P(a~b)=${PD(x)*dx}[x:a~b]

▲ おおよそ、確率変数が x1 や x4 になる事が起こりやすい

◇平均、分散◇

● 普通の関数 f(x)

 [関数の値 f(x) の、x=x1〜x2 における平均値]
=${f(x)*dx}[x:x1~x2]/(x2-x1) 縦軸の値の平均{!}

■ グラフ[横軸:確率変数 縦軸:確率密度関数]

グラフの山が高くなっている所の、確率変数 x の値が、起こりやすい値である。平均値は、普通、その山が高くなっている所の x の値に近い。

■ 確率変数 x の平均値(期待値) E(x)=${x*PD(x)*dx}[x:-∞~+∞] .

分散 Var(x)
=${[(x-E)^2*PD(x)*dx}[x:-∞~∞]
=${[(x^2-2*x*E+E^2]*PD(x)*dx}[x:-∞~∞]

ここで、

 第1項=${x^2*PD(x)*dx}[x:-∞~∞]=E(x^2)
 第2項=-2*E*${x*PD(x)*dx}[x:-∞~∞]=-2*E^2
 第3項=E^2*${PD(x)*dx}[x:-∞~∞]=E^2 だから、

 Var(x)=E(x^2)-2*E^2+E^2=E(x^2)-E^2 .

 標準偏差 σ=root[Var(x)]

■ p(x) ∝ 確率密度関数 E=${x*p(x)*dx}[x:-∞~∞]/${p(x)*dx}[x:-∞~∞]

 分散 Var(x)=${[(x-E)^2*p(x)*dx}[x:-∞~∞]/${p(x)*dx}[x:-∞~∞]

{計算例}

◎ 確率密度関数が確率変数の1次関数か定数

★ 5<x<7 で PD(x)=一定 その他の範囲で PD(x)=0

 PD(x)=1/2 E(x)=6 {混乱しやすい!2015/12}

★ 0<x<2 で PD(x)=1-x/2 その他の範囲で PD(x)=0 ‖

 CD(x)=${(1-x/2)*dx}[x:0~x]=x-x^2/4

 P(0~0.5)=CD(0.5)-CD(0)=7/16-0=7/16
 P(0.5~1)=CD(1)-CD(0.5)=3/4-7/16=5/16
 P(1~1.5)=CD(1.5)-CD(1)=15/16-3/4=3/16
 P(1.5~2)=CD(2)-CD(1.5)=1-15/16=1/16

 E(x)=${x*(1-x/2)*dx}[x:0~2]=[x^2/2-x^3/6][x:0~2]=2-4/3=2/3

 E(x^2)
=${x^2*(1-x/2)*dx}[x:0~2]
=[x^3/3-x^4/8][x:0~2]
=8/3-2=2/3

 Var(x)=2/3-(2/3)^2=2/3-4/9=2/9

★ -1<x<1 で PD(x)=1-|x| それ以外の範囲で PD(x)=0

-1<x<0 で PD(x)=1+x

 CD(x)=${(1+x)*dx}[x:-1~x]
=[x+x^2/2][x:-1~x]
=(x+x^2/2)-(-1+1/2)
=(x^2+2*x+1)/2
=(x+1)^2/2

0<x<1 で PD(x)=1-x

 CD(x)
=${(1+x)*dx}[x:-1~0]+${(1-x)*dx}[x:0~x]
=1/2+[x-x^2/2][x:0~x]
=-x^2/2+x+1/2

まとめて -1<x<0 で CD(x)=(x+1)^2/2
 0<x<1 で CD(x)=-x^2/2+x+1/2

 P(-1~-0.5)=CD(-0.5)-CD(-1)=1/8-0=1/8
 P(-0.5~0)=CD(0)-CD(-0.5)=1/2-1/8=3/8
 P(0~0.5)=P(-0.5~0)=3/8
 P(0.5~1)=P(-1~-0.5)=1/8

 E(x)=0

 E(x^2)
=${x^2*(1-x)*dx}[x:-1~0]+${x^2*(1+x)*dx}[x:0~1]
=[x^3/3-x^4/4][x:-1~0]+[x^3/3+x^4/4][x:0~1]
=-(-1/3-1/4)+(1/3+1/4)
=7/6

 Var(x)=7/6-0^2=7/6

{計算例2}

◎ 確率密度関数が確率変数の2次関数

★ 0<x<2 で PD(x)=(3/4)*x*(2-x) その他の範囲で PD(x)=0 ‖

 CD(x)=(3/4)*${x*(2-x)*dx}[x:0~x]=(3/4)*(x^2-x^3/3)

 P(0~0.5)=CD(0.5)-CD(0)=5/32
 P(0.5~1)=CD(1)-CD(0.5)=11/32
 P(1~1.5)=CD(1.5)-CD(1)=11/32
 P(1.5~2)=CD(2)-CD(1.5)=5/32
 

★ PD(-1<x<1)=(3/4)*(1-x^2) それ以外の範囲で PD(x)=0

 CD(x)
=(3/4)*${(1-x^2)*dx}[x:-1~x]
=(3/4)*[x-x^3/3][x:-1~x]
=(3/4)*[(x-x^3/3)+2/3]
=-x^3/4+3*x/4+1/2

 CD(0)=1/2
 CD(1/2)=-(1/2)^3/4+3*(1/2)/4+1/2=-1/32+3/8+1/2=27/32

 P(0~1/2)=CD(1/2)-CD(0)=27/32-1/2=11/32
 P(1/2~1)=CD(1)-CD(1/2)=1-27/32=5/32

 P(2/3~1)
=CD(1)-CD(2/3)
=1-[-(2/3)^3/4+3*(2/3)/4+1/2]
=1-(-2/27+2+1/2)
=1-2+4/54-27/53

 PD(x) は偶関数だから E(x)=0

 E(x^2)
=2*(3/4)*${x^2*(1-x^2)*dx}[x:0~1]
=2*(3/4)*${(x^2-x^4)*dx}[x:0~1]
=2*(3/4)*[x^3/3-x^5/5][x:0~1]
=1/5

 Var(x)=1/5-0=1/5

★ 確率密度関数 ∝ p(0<x<6)=k*x*(6-x) その他の x の値で 0

グラフの山が高いのは、x=3 のときであり、グラフは、x=3 の所を軸にして左右対称だから、平均は 3 {!}

計算すると、

 ${k*x*(6-x)*dx}=k*x^2*(9-x)/3

 ${x*[k*x*(6-x)]*dx}=k*x^3*(8-x)/4

 ${x^2*[k*x*(6-x)]*dx}=k*x^4*(15-2*x)/10

 E
=${x*[k*x*(6-x)]*dx}[x:0~6]/${k*x*(6-x)*dx}[x:0~6]
=6*0.5/1
=3

 E(x^2)
=${x^2*[k*x*(6-x)]*dx}[x:0~6]/${k*x*(6-x)*dx}[x:0~6]
=36*3/10=10.8

 Var(x)=10.8-3^2=1.8 root(Var(x))~1.34

◇待ち時間◇

★ 次の事象が起きるまでの時間 t の確率関数 PD(t) ∝ t*(10-t) ただし、0<t<10
それ以外で PD(t)=0

 ${t*(10-t)*dt}[t:0~10]
=[5*t^2-t^3/3][t:0~10]
=500-1000/3
=500/3

 PD(t)=(3/500)*t*(10-t)

 CD(t)
=${PD*dt}[t:0~t]
=(3/500)*[5*t^2-t^3/3][t:0~t]
=(15*t^2-t^3)/500

待ち時間が1分以内である確率 CD(1)=14/500=0.028
待ち時間が5分以内である確率 CD(1)=0.5

待ち時間の確率密度は、5分を軸に対称だから、E=5_分

{別解} 待ち時間の平均 E
=${t*PD(t)*dt}[t:0~10]
=(3/500)*${(10*t^2-t^3)*dt}[t:0~10]
=(3/500)*[10*t^3/3-t^4/4][t:0~10]
=(3/500)*[10000/3-10000/4]
=(3/500)*10000/12
=5

{計算例3}

◎ 確率密度関数が確率変数の指数関数

★ 0<x で PD(x)=exp(-x) その他の範囲で PD(x)=0

 P(0~x)=CD(x)=${exp(-x)*dx}[x:0~x]=[-exp(-x)][x:0~x]=1-exp(-x)

 E(x)
=${x*exp(-x)*dx}[x:0~∞]
=-[(x+1)*exp(-x)][x:0~∞]  ※ ∞/exp(∞)=0
=1  確率変数 0~∞ の中で、平均が 1 ということ

★ PD(x)=4*x*exp(-2*x^2) ただし x>0 それ以外で 0

「ガウス積分-レベル1」 -2014/8-

● √Pi~1.78

■ ${exp(-x)*dx}[x:0~∞]=1 ${exp(-x^2)*dx}[x:0~∞]=√Pi/2~0.89

 ${x^2*exp(-x^2)*dx}[0~∞]=√Pi/4~0.44

 ${x*exp(-x^2)*dx}[x:0~∞]=0.5

 ${x^3*exp(-x^2)*dx}[x:0~∞]=0.5

■ ${exp(-a*x)*dx}[x:0~∞]=1/a

 ${exp(-a*x^2)*dx}[x:0~∞]=(√Pi/2)/√a

 ${x^2*exp(-a*x^2)*dx}[0~∞]=(√Pi/4)/a^(3/2)

 ${x*exp(-a*x^2)*dx}[x:0~∞]=(1/2)/a

 ${x^3*exp(-a*x^2)*dx}[x:0~∞]=(1/2)/a^2

{確かめ} ${4*x*exp(-2*x^2)*dx}[x:0~∞]=4*(1/2)/2=1 』

 E
=${x*4*x*exp(-2*x^2)*dx}[x:0~∞]
=4*${x^2*exp(-2*x^2)*dx}[x:0~∞]
=4*(√Pi/4)/(2*√2)
=root(2*Pi)/4
~0.63

 E(x^2)
=${x^2*4*x*exp(-2*x^2)*dx}[x:0~∞]
=4*${x^3*exp(-2*x^2)*dx}[x:0~∞]
=4*(1/2)/4
=0.5

 Var(x)=0.5-[root(2*Pi)/4]^2=0.5-Pi/8~0.11

{ガウス積分使いました!2014/8}

  確率密度関数,確率分布関数  

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