◎ ごく普通の確率　確率変数　平均　分散　標準偏差 mean variance

◇ ベクトル<A>　縦ベクトル<A)　単位ベクトル<-u>　内積*　外積#　微分;x　時間微分'　10^x=Ten(x)　exp(i*x)=expi(x)　共約複素数\z　物理定数- ★.

◆ 確率変数 k1,k2,…　その確率 p1,p2,…

　確率変数の平均 E=k1*p1+k2*p2+…

　確率変数の2乗の平均 E2=k1^2*p1+k2^2*p2+…

　分散 V=(k1-E)^2*p1+(k2-E)^2*p2+…

　標準偏差 σ=root(V)

■【 E と E2 と V 】

　(k1-E)^2*p1=k1^2*p1-2*E*k1*p1+E^2*p1

　(k2-E)^2*p2=…

　V
=(k1^2*p1+k2*^2*p2+…)-2*E*(k1*p1+k2*p2+…)+E^2*(p1+p2+…)
=E2-2*E*E+E^2*1
=E2-E^2

≫　V=E2-E^2 ★.

◆ 正四面体のサイコロ　出た目を考える　確率変数 1,2,3,4　確率(どの確率変数でも) 1/4

■ E=1*(1/4)+2*(1/4)+…=(1+2+3+4)/4=2.5　E^2=6.25

　E2=1^2*(1/4)+2^2*(1/4)+…=(1+4+9+16)/4=7.5

　E2-E^2=7.5-6.25=1.25

　V
=(1-2.5)^2*(1/4)+(2-2.5)^2*(1/4)+…
=(2.25+0.25+0.25+2.25)/4
=1.25

　E2-E^2=V

　σ=root(V)=root(1.25)~1.12

◆ 立方体のサイコロ　出た目を考える　確率変数 1,2,…,6　確率(どの確率変数でも) 1/6

● 1^2+2^2+3^2+…+n^2=n*(n+1)*(2*n+1)/6

　1^2+2^2+3^2+…+6^2=6*7*13/6=91

■ E=1*(1/6)+2*(1/6)+…=(1+2+…+6)/6=3.5　E^2=12.25

　E2=1^2*(1/6)+2^2*(1/6)+…=(1+4+…+36)/6=91/6~15.17

　E2-E^2=15.17-12.25=2.92

　V
=(1-3.5)^2*(1/6)+(2-3.5)^2*(1/6)+…
=(6.25+2.25+0.25+…)/6
=(6.25+2.25+0.25)/3
=8.75/3
~2.92

　E2-E^2=V

　σ=root(V)=root(2.92)~1.71

◆ 立方体のサイコロ2つ　出た目の和を考える

　E=(2+6+12+20+30+42+40+36+30+22+12)/36=252/36=7

　E2
=(4+18+48+100+180+294+320+324+300+242+144)/36
=1974/36
=329/6
~54.83

　E2-E^2=54.83-7^2=54.83-49=5.83

　V=(25+32+27+16+5+5+16+27+32+25)/36=210/36=70/12~5.83

　E2=E^2+V

　σ=root(5.83)~2.41

◎ 先に○勝したら優勝という場合の確率分布

◆ 2人または2チームA,Bが試合をし、先に n勝 したチームが優勝とする。

1試合でAが勝つ確率 p　Bが勝つ確率 q　引き分けはないとする　p+q=1

試合数 k でAが優勝する確率 P(k)　その合計 ΣP

■ 先に2勝したら優勝

連勝　P(2)=p^2

3試合目で優勝　ABA BAA　P(3)=2*p^2*q

　ΣP=p^2+2*p^2*q=p^2*(1+2*q)

★ p=0.6　ΣP=0.648

■ 先に3勝したら優勝

連勝　P(3)=p^3

4試合　AABA など、最後はAが勝たなくてはいけないから、C(3,2)=3_通り　P(4)=3*p^3*q

5試合　AABBA など　C(4,2)=6_通り　P(5)=6*p^3*q^2

　ΣP=p^3+3*p^3*q+6*p^3*q^2=p^3*(1+3*q+6*q^2)

★ p=0.6　ΣP=0.68256

■ 先に4勝したら優勝

連勝　P(4)=p^4

5試合　最後はAが勝たなくてはいけない　C(4,3)=4_通り　P(5)=4*p^4*q

6試合　C(5,3)=10_通り　P(6)=10*p^4*q^2

7試合　C(6,3)=20_通り　P(7)=20*p^4*q^3

　ΣP
=p^4+4*p^4*q+10*p^4*q^2+20*p^4*q^3
=p^4*(1+4*q+10*q^2+20*q^3) ★.

★ p=0.6　ΣP=0.710208

{まとめ1}　 p=0.6 のとき、Aチームが優勝する確率　2試合制 0.648　3試合制 0.683　4試合制 0.710

試合数を多くすれば、少しでも実力があるチームの優勝確率が増す事がわかる

{まとめ2}　先に4勝したら優勝という場合

6試合で決着がつく確率が最も高いのだが、5試合目~7試合になる確率とそんなに違わない。何試合かかるかは予想しにくいという事。

劣勢のチームが、6試合目、7試合目で優勝する確率も、1割程度ずつある。

　★　確率分布.離散量　★