☆物理量を複素数で表すUz

　物理　複素数　2021.2-2012.12　Yuji Watanabe

☆ 物理量を複素数で表す ☆

○ この世界で測定できる物理量は実数である。なぜ複素数を使って計算してよいのか。

2*3=6　6/2=3　3^2=9　1000=10^3=Ten(3)　　　　　　　　　　　2021.2.8
微分 ;　2階微分 ;;　偏微分 :　積分 $　ネイピア数 e　虚数単位 i　e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A>　縦ベクトル <A)　単位ベクトル <Au>　内積 *　外積 #　　　000

〓〓〓　物理量を複素数で表す　〓〓〓　

○ 物理量を複素数で表しておいて計算して、計算の結果の実数部分を答えとする。

▢ 実数 t の実数関数 x,p,q,f

xの線型/2階/微分方程式　x;;t+p*(x;t)+q*x=f　①

複素数 z と h を用意する　虚数単位 i　任意の実数関数 y , g

　z=x+i*y　h=f+i*g

zの線型/2階/微分方程式　z;;t+p*(z;t)+q*z=h　②

※ y , g は、②が解きやすいように適当に定める。

■ ①の代わりに②を解いて z が求まったとしよう。

　(x+i*y);;t+p*[(x+i*y);t]+q*(x+i*y)=f+i*g
虚数単位以外はすべて実数だから、実数部と虚数部に分ける事ができる。

実数部　x;;t+p*(x;t)+q*x=f　虚数部　y;;t+p*(y;t)+q*y=g

実数部は、①そのものである。複素数 z を使って解いたものの実数部を求めると、元の方程式の解となる。　★　

ただし、それは、元の方程式が線型であるからである。x^2 , (x;t)^2 などがない方程式であるからである。線型の方程式では、「重ね合わせの原理」が成り立つ。{便利さだけを言う参考書が多いが、ファインマンは、どうしてそれでいいのかを、ちゃんと言っている。さすが、ファインマン!2012/12}

〓〓〓　f0*cos(w*t+α) の置き換え　〓〓〓　

◇ 虚数単位 i　指数関数 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x)

▢ 実数 t の実数関数 f0*cos(w*t+α)　実数定数 f0 , w , α

複素数関数 f0*expi(w*t+α)

■ [f0*expi(w*t+α) の実数部]=f0*cos(w*t+α)　だから、

f0*cos(w*t+α)　の代わりに　f0*expi(w*t+α)　を使う事ができる。

そのとき　f0*expi(w*t+α)=f0*expi(α)*expi(w*t)

f0*expi(α)=z0　と置けば　f0*expi(w*t+α)=z0*expi(w*t)

すなわち、実数関数 f0*cos(w*t+α) の代わりに、複素関数 z0*expi(w*t) を使う事ができる。　★　

{このあたりの事が全然わかってなかった!2021.2}

〓〓〓　2乗平均　〓〓〓　

▢ 実数 t　f=cos(w*t)　z=expi(w*t)　zの複素共役 z!=expi(-w*t)

平均を　Avg{}　で表す

■ f^2=cos(w*t)^2=[cos(2*w*t)+1]/2

　Avg{cos(2*w*t)}=0

　Avg{f^2}=1/2

一方　z*z!=expi(w*t)*expi(-w*t)=expi(w*t-w*t)=expi(0)=1

　Avg{f^2}=z*z!/2　★　

☆ お勉強しよう　since 2011　Yuji Watanabe