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2016/2-2012/12 Yuji.W

☆物理量を複素数で表す

◎ 物理量は実数 なぜ複素数で表してよいのか

◇ ベクトル<A> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 積分$*dx 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 物理定数 .

◇2階線型微分方程式◇

◎ なぜ複素数を使ってよいのか

◆ x , p(t) , q(t) , f(t) は物理量であって、実数であるとする。

x は次の2階/線型/微分方程式の解 x''+p(t)*x'+q(t)*x=f(t) @

複素数 z と {f(t)} を用意する 虚数単位 i として、

 z=x+i*y {f(t)}=f(t)+i*\f(t)〔y , f(t):実数〕

■ @の代わりに z''+p(t)*z'+q(t)*z={f(t)} A

を解いて z が求まったとしよう。

 (x+i*y)''+p(t)*(x+i*y)'+q(t)*(x+i*y)=f(t)+i*\f(t)

虚数単位以外はすべて実数だから、実数部と虚数部に分ける事ができる。

実数部 x''+p(t)*x'+q(t)*x=f(t) @そのもの

虚数部 y''+p(t)*y'+q(t)*y=\f(t)

したがって、複素数 z を使って解いたものの実数部を求めると、元の方程式の解となる。 .

ただし、それは、元の方程式が線型であるからである。x^2,x'^2,などがない方程式であるからである。線型の方程式では、「重ね合わせの原理」が成り立つ。

{便利さだけを言う参考書が多いが、ファインマンは、どうしてそれでいいのかを、ちゃんと言っている。さすが、ファインマン!2012/12}

『物理量.複素数表示』 2016/2

◆ 2階/線型/微分方程式 x''+p(t)*x'+q(t)*x=f(t) @

複素数 z , {f(t)} zの実数部=x {f(t)}の実数部=f(t)

■ z''+p(t)*z'+q(t)*z={f(t)} A

 Aの解 z の実数部=@の解

☆振動する物理量を複素数で表す☆

■ 振動する物理量=F0*cos(w*t-Δ)

ここで F0*expi(-Δ)={F0}=複素数 として、

 {F0}*expi*(w*t)=F0*expi(-Δ)*expi*(w*t)=F0*expi(w*t-Δ)

 その実数部=F0*cos(w*t-Δ)

『振動する物理量.複素数表示』 2016/2

■ {F0}=F0*expi(-Δ) 振動する物理量の複素数表示 {F0}*expi*(w*t)

 その実数部=F0*cos(w*t-Δ)

☆複素数で表した物理量の2乗の平均☆

◇複素数 {A} その共役複素数 {A!}

■ {F0}=F0*expi(-Δ) {F}={F0}*expi(w*t)

 |{F}|^2={F}*{F!}
=[{F0}*expi(w*t)]*[{F0!}*expi(-w*t)]
={F0}*{F0^*}*1
=|F0|^2 @

一方 {F}={F0}*expi(w*t)=F0*expi(-Δ)*expi(w*t)=F0*expi(w*t-Δ) の実数部は F0*cos(w*t-Δ)

その2乗は |F0|^2*cos(w*t-Δ)^2

 cos(x)^2=[1+cos(2*x)]/2 その時間平均 1/2

{F} の実数部の2乗の時間平均=|F0|^2/2 A

@Aより |{F}|^2≠({F} の実数部の2乗の時間平均) .

  物理量を複素数で表す  

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