お勉強しようUz 数学.確率

2016/8-2011 Yuji.W

☆重複組合せ☆

◎ 場合の数 重複組合せ

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数.

◇重複組合せ◇

重複組合せ n種類から重複を許しk個を選び出す組合せ

★ 2種類から2個 aa ab bb 3通り

★ 2種類から3個 aaa aab abb bbb 4通り

★ 3種類から2個 aa ab ac bb bc cc 6通り

※ n と k の大小関係に制限はない

◇2種を1列に並べる場合の数◇

◎ 2種類のものを重複を許し、1列に並べる場合の数

■ a個の o と、b個の x を1列に並べる

★ 2個の o と、1個の x を1列に並べる

 oox oxo xoo 3!/(2!*1!)=3_通り

★ 2個の o と、2個の x を1列に並べる

 ooxx oxox oxxo xoox xoxo xxoo 4!/(2!*2!)=6_通り

■ a個の o と、b個の x を1列に並べる場合の数
=(a+b)!/(a!*b!)=C(a+b,a)=C(a+b,b) 
.

◇重複組合せ◇

■ n種類のものからk個を選ぶ重複組合せの場合の数 H(n,k)

★ 2種類から2個 aa ab bb 3通り

2種類を区別するため1個のしきい | を用意して、2個のoと1個の|を1列に並べる場合と対応させる

 aa ⇔ oo| ab ⇔ o|o bb ⇔ |oo

oが|の左側にあれば a 、右側にあれば b としている

 H(2,2)=(2個のoと1個の|を1列に並べる場合の数)=C(3,2)=C(3,1)=3

★ 2種類から3個

2種類を区別するため1個のしきい | を用意して、3個のoと1個の|を1列に並べる場合と対応させる

 aaa ⇔ ooo|  aab ⇔ oo|o  abb ⇔ o|oo  bbb ⇔ |ooo

 H(2,3)=(3個のoと1個の|を1列に並べる場合の数)=C(4,3)=C(4,1)=4

★ 3種類から2個

3種類を区別するため2個のしきい | を用意して、2個のoと2個の|を1列に並べる場合と対応させる

 aa ⇔ oo|| ab ⇔ o|o| ac ⇔ o||o bb ⇔ |oo| bc ⇔ |o|o cc ⇔ ||oo

1つめの|の左側にあれば a 、2つの|の間にあれば b , 2つめの|の右側にあれば c としている

 H(3,2)=(2個のoと2個の|を1列に並べる場合の数)=C(4,2)=6

■ H(n,k)
=[(n-1)個のしきい | と、k個のoとを1列に並べる場合の数]
=(n-1+k)!/[(n-1)!*k!]=C(n+k-1,n-1)=C(n+k-1,k)

≫ H(n,k)=C(n+k-1,n-1)=C(n+k-1,k) .

{やっと理解できた!2016/8}

◇重複組合せの利用◇

■ 3個の同じ物を、異なる2人に分ける。もらわない場合もありとすると、もらい方は何通りあるか。

 ooo| oo|o o|oo |ooo 4通り

2人の名前を書いたカードをたくさん用意する。その中から3枚を選び、選ばれた名前の人に、物をあげる。

2種類のものを3個選ぶ場合の数と同じ H(2,3)=C(4,3)=C(4,1)=4_通り .

■ 9個の同じ物を、異なる3人に分ける。もらわない場合もありとすると、もらい方は何通りあるか。

3種類から9個を選ぶ重複組合せになる。

 H(3,9)=C(11,9)=C(11,2)=11*10/2=55_通り .

◇展開したときの項の数◇

◎ (a+b)^k を展開したときの項の数

★ (a+b)^2=a^2+2*a*b+b^2 項の数 3

★ (a+b)^3=a^3+3*a^2*b+3*a*b^2+b^3 項の数 4

■ (a+b)^k を展開したときの項の数
=(a,bの2種類からk個を選ぶ組合せの場合の数)
=H(2,k)=C(2+k-1,k)=C(k+1,k)=C(k+1,1)=k+1

≫ (a+b)^k を展開したときの項の数=k+1 .

■ [文字の個数 n個のとき (a+b+c+…)^k を展開したときの項の数]
=(n種類からk個を選ぶ組合せの場合の数)
=H(n,k)=C(n+k-1,k) 
.

★ [(a+b+c)^2 の項の数]=H(3,2)=C(4,2)=(4*3)/2=6

★ [(a+b+c+d)^3 の項の数]=H(4,3)=C(6,3)=(6*5*4)/(3*2)=20

  場合の数.重複組合せ  

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