◎ 順列 P(n,k)　組合せ C(n,k)　重複順列　展開の項の係数　その和

◇ ベクトル<A>　座標単位ベクトル<xu>　縦ベクトル<A)　内積*　外積#
微分;x　時間微分'　10^x=Ten(x)　exp(i*x)=expi(x)　〔物理定数〕 ★.

◎ 並び方が何通りあるか

■ 異なるn個を1列に並べる　n! ★.

■ 異なるn個からk個を選び、1列に並べる　P(n,k)=n!/(n-k)! ★.

■ n種類からk個を選び、1列に並べる　n^k ★.　重複順列

■ P(n,k)/P(n,k-1)=[n!/(n-k)!]/[n!/(n-k+1)!]=n-k+1

　P(n,k)/P(n-1,k)=[n!/(n-k)!]/[(n-1)!/(n-k-1)!]=n/(n-k)

　P(n,k)/P(n-1,k-1)
=[P(n,k)/P(n,k-1)]*[P(n,k-1)/P(n-1,k-1)]
=(n-k+1)*[n/(n-k+1)]
=n ★.

★ P(5,3)=5*4*3=60　P(4,2)=4*3=12　P(5,3)/P(4,2)=60/12=5

　P(5,3)/P(4,2)=5

◎ 選び方が何通りあるか

■ 異なるn個からk個を選ぶ。順番は考えない。

　C(n,k)=P(n,k)/k!=[n!/(n-k)!]/k! ★.

■ C(n,k)/C(n,k-1)
=[P(n,k)/k!]/[P(n,k-1)/(k-1)!]
=[P(n,k)/P(n,k-1)]/k
=(n-k+1)/k

　C(n,k)/C(n-1,k)
=[P(n,k)/k!]/[P(n-1,k)/k!]
=P(n,k)/P(n-1,k)
=n/(n-k)

　C(n,k)/C(n-1,k-1)
=[C(n,k)/C(n,k-1)]*[C(n,k-1)/C(n-1,k-1)]
=[(n-k+1)/k]*[n/(n-k+1)]
=n/k ★.

★ C(5,2)=5*4/2=10　C(4,1)=4　C(5,2)/C(4,1)=10/4=5/2

　C(5,2)/C(4,1)=5/2

■ C(n-1,k-1)+C(n-1,k)
=C(n,k)*k/n+C(n,k)*(n-k)/n
=C(n,k)*[k+(n-k)]/n
=C(n,k)

≫　C(n-1,k-1)+C(n-1,k)=C(n,k) ★.

{別解}　特定の1個を必ず入れた場合の選び方+特定の1個を必ず除いた場合の選び方
=n個からk個を選ぶ選び方

{証明することで理解が深まる!2014/9}

 ■ C(2,0)+C(2,1)+C(2,2)=1+2+1=4=2^2

　C(3,0)+C(3,1)+C(3,2)+C(3,3)=1+3+3+1=8=2^3

　C(4,0)+C(4,1)+…+C(4,4)=1+4+6+4+1=16=2^4

　C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+…+C(n,n)=2^n ★.

{証明}　C(n-1,0)+C(n-1,1)+C(n-1,2)+…+C(n-1,n-1)=2^(n-1)　であるとする

　C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+…+C(n,n-1)+C(n,n)
=C(n-1,0)+[C(n-1,0)+C(n-1,1)]+[C(n-1,1)+C(n-1,2)]+…
+[C(n-1,n-2)+C(n-1,n-1)]+C(n-1,n-1)
=[C(n-1,0)+C(n-1,1)+…+C(n-1,n-1)]*2
=2^(n-1)*2
=2^n　‖

{別解}　(1+x)^n=C(n,0)+C(n,1)*x+C(n,2)*x^2+…+C(n,n)*x^n

x=1　とすれば　左辺=(1+1)^n=2^n

　右辺=C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+…+C(n,n)

よって　C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+…+C(n,n)=2^n

★ (a+b)^2=a*a+(a*b+b*a)+b*b=a^2+2*a*b+b^2

★ (a+b)^3
=a*a*a+(a*a*b+a*b*a+b*a*a)+…
=a^3+3*a^2*b+3*a*b^2+b^3

　(a^2*b の係数)
=(2個の a と、1個の b を1列に並べる場合の数)
=3!/(2!*1!)
=C(3,1)
=3

★ [(a+b)^4 の a^3*b の係数]
=(3個の a と、1個の b を1列に並べる場合の数)
=4!/(3!*1!)
=C(4,1)
=4

★ [(a+b)^4 の a^2*b^2 の係数]
=(2個の a と、2個の b を1列に並べる場合の数)
=4!/(2!*2!)
=C(4,2)
=4*3/2
=6

■ [(a+b)^n の a^x*b^y の係数]
=(x個の a と、y個の b を1列に並べる場合の数)
=n!/(x!*y!)
=C(n,x)

≫　[(a+b)^n の a^x*b^y の係数]=C(n,x) ★.〔x+y=n〕

★ (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2*(a*b+b*c+c*a)

　(a*b の係数)=(1個の a と、1個の b を1列に並べる場合の数)=2!/(1!*1!)=2

★ (a+b+c)^3 の a^2*b の係数

　a*a*b　a*b*a　b*a*a　係数=3

■ [(a+b+c)^n の a^x*b^y*c^z の係数]
=(x個の a と、y個の b と、z個の c を1列に並べる場合の数)
=n!/(x!*y!*z!)

≫　[(a+b+c)^n の a^x*b^y*c^z の係数]=n!/(x!*y!*z!) ★.〔x+y+z=n〕

★ [(a+b+c)^3 の a^2*b の係数]=3!/(2!*1!)=3

★ [(a+b+c)^4 の a^2*b^2 の係数]=4!/(2!*2!)=6

★ [(a+b+c)^5 の a^2*b^2*c の係数]=5!/(2!*2!)=30

◎ (a+b+c+…)^n を展開したときの係数

■ (a+b+c+…)^n を展開したときの a^x*b^y*c^z*… の係数 Coe[n,x,y,z,…]

　x+y+z+…=n　{大事!}

　Coe[n,x,y,z,…]=n!/(x!*y!*z!*…) ★.

★ (a+b)^4 の a^2*b^2 の係数 Coe(4,2,2)=4!/(2!*2!)=6

★ (a+b+c)^4 の a^2*b^2 の係数 Coe(4,2,2,0)=4!/(2!*2!)=6

★ (a+b+c)^4 の a^2*b*c の係数 Coe(4,2,1,1)=4!/(2!*1!*1!)=12

★ (a+b+c)^5 の a^3*b*c の係数 Coe(5,3,1,1)=5!/(3!*1!*1!)=20

★ (a+b+c)^6 の a^3*b*c^2 の係数 Coe(6,3,1,2)=6!/(3!*1!*2!)=60

■ (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2*(a*b+b*c+c*a)

　(係数の和)=(1+1+1)+2*(1+1+1)=9

　(係数の和)=(3種類のものから2個選んで並べる場合の数)=3^2=9

■ (a+b+c)^3
=a^3+b^3+c^3
+3*(a^2*b+a*b^2+b^2*c+c^2*a+c*a^2)
+6*a*b*c

　(係数の和)=1*3+3*6+6=27

　(係数の和)=(3種類のものから3個選んで並べる場合の数)=3^3=27

■ [文字数 m個　(a+b+c+…)^n の係数の和]
=(m種類のものから n個 選んで並べる場合の数)=m^n ★.

　[(a+b)^n の係数の和]=2^n ★.

★ [(a+b)^2 の係数の和]=2^2=4　※ 1+2+1=4

★ [(a+b)^3 の係数の和]=2^3=8　※ 1+3+3+1=8

　★　場合の数　★