◎ 組合せ　(a+b)=a^2+2*a*b+b^2　combination

{内容がいろいろあっておもしろい!2016/6}

◇ ベクトル<A>　縦ベクトル<A)　単位ベクトル<-u>　内積*　外積#　微分;x　時間微分'　10^x=Ten(x)　exp(i*x)=expi(x)　共約複素数\z　物理定数- ★.

◎ 順列(permutation)…1つ1つ区別する(並んでいる順番まで考える)
組合せ(combination)…ひとつひとつ区別しない(並んでいる順番は考えない)

■ 異なる n個 から r個 を取り出して1列に並べるときの場合の数 P(n,r)

　P(n,r)=n*(n-1)*(n-2)*…*(n-r+1)=n!/(n-r)! ★.

■ 異なる n個 から r個 を取り出すときの場合の数(並べ方を考えない) C(n,r)

　C(n,r)=P(n,r)/r!=n!/[r!*(n-r)!]

■ C(n,r)=P(n,r)/r!=n!/[r!*(n-r)!]

　C(n,0)=1　&　C(n,1)=n

■ C(n,r)=n!/[r!*(n-r)!]　C(n-1,r-1)=(n-1)!/[(r-1)!*(n-r)!]

　r*C(n,r)=n*C(n-1,r-1) ★.

■ C(n-1,r-1)=(n-1)!/[(r-1)!*(n-r)!]　C(n-1,r)=(n-1)!/[r!*(n-r-1)!]

(n-1)!/[r!*(n-r)!] で通分すると、

　C(n-1,r-1)+C(n-1,r)
={(n-1)!/[r!*(n-r)!]}*[r+(n-r)]
={(n-1)!/[r!*(n-r)!]}*n
=n!/[r!*(n-r)!]
=C(n,r)

≫　C(n,r)=C(n-1,r-1)+C(n-1,r) ★.

◎ (a+b)^n の展開の係数を考えよう。

　(a+b)^2=a^2+2*a*b+b^2　係数 1,2,1

◆ (a+b)^3=a^3+3*a^2*b+3*a+b^2+b^3　を考えよう。

■ まず、次の式の展開を考えると、

　(a1+b1)*(a2+b2)*(a3+b3)
=a1*a2*a3+(a1*a2*b3+a1*b2*a3+b1*a2*a3)
+(a1*b2*b3+b1*a2*b3+b1*b2*a3)+b1*b2*b3

ここで、a1,a2,a3 を a に、b1,b2,b3 を b にすればいいのだから、

　(a^3 の係数)=1

　(a^2*b の係数)=(3個から1個だけ取り出してbにする組合せ)=C(3,1)=3

　(a*b^2 の係数)=(3個から2個だけ取り出してbにする組合せ)=C(3,2)=3

　(b^3 の係数)=1

■ 同様な考え方をすれば　2項定理　(a+b)^n=Σ{C(n,k)*a^k*b^(n-k)}[k:0~n] ★.

※ (a+b)^n=Σ{C(n,k)*a^(n-k)*b^k}[k:0~n]　でもよい

★ (a+b)^3
=a^3+C(3,1)*a^2*b+C(3,2)*a*b^2+b^3
=a^3+3*a^2*b+3*a*b^2+b^3

★ (a+b)^4
=a^4+C(4,1)*a^3*b+C(4,2)*a^2*b^2+C(4,3)*a*b^3+b^4
=a^4+4*a^3*b+6*a^2*b^2+4*a*b^3+b^4

★ (2*a+5*b)^3
=(2*a)^3+C(3,1)*(2*a)^2*(5*b)+C(3,2)*(2*a)*(5*b)^2+(5*b)^3
=8*a^3+60*a^2*b+150*a*b^2+125*b^3

{わかってなかった!2016/8}

◎ 2項定理を利用すると、様々な組合せ C(n,r) の公式が得られる

★ 1+2+1=4=2^2　1+3+3+1=8=2^3　1+4+6+4+1=16=2^4

■ 2項定理で　a=b=1　として、

　C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+(n,3)+…+C(n,n)=(1+1)^n=2^n

≫　Σ{C(n,k)}[k:0~n]=2^n ★.

{別解}　n個の1列に並んだ箱　[] [] … []　に、同じ物を入れる。箱1つには、物1つしか入らない。

　物 0個のとき、箱に入る場合の数 1通り
　物 1個のとき、箱に入る場合の数 n通り
　物 2個のとき、箱に入る場合の数 C(n,2)通り
　物 3個のとき、箱に入る場合の数 (n,3)通り
　…

結局、1つめの箱に物が入っているか、入っていないか、2者択一、次に、2つめの箱も2者択一、…、n個の箱があるから、場合の数は 2^n通り。したがって、

　1+n+C(n,2)+(n,3)+…+n+1=2^n

★ 1-2+1=0　1-3+3-1=0　1-4+6-4+1=0　{おもしろい!2016/5}

■ 2項定理で　a=1　&　b=-1　として、

　C(n,0)-C(n,1)+C(n,2)-(n,3)+…=(1-1)^n=0

≫　Σ{C(n,k)*(-1)^k}[k:0~n]=0 ★.

■

◆ Σ{k*C(n,k)}[k:1~n]

● k*C(n,k)=n*C(n-1,k-1)

■【 n=2 】

　Σ{k*C(2,k)}[k:1~2]=1*C(2,1)+2*C(2,2)=1*2+2*1=2+2=4

■【 n=3 】

　Σ{k*C(3,k)}[k:1~3]
=1*C(3,1)+2*C(3,2)+3*C(3,3)=1*3+2*3+3*1=3+6+3=12

■【 一般 】

　Σ{k*C(n,k)}[k:1~n]=n*Σ{C(n-1,k-1)}[k:1~n]=n*2^(n-1) ★.

{確かめ}　Σ{k*C(3,k)}[k:1~3]=3*2^2=3*4=12

■【 Σ{(k+1)*C(n,k)} 】

　Σ{(k+1)*C(n,k)}[k:0~n]
=Σ{k*C(n,k)}[k:0~n]+Σ{C(n,k)}[k:0~n]
=n*2^(n-1)+2^n
=n*2^(n-1)+2*2^(n-1)
=(n+2)*2^(n-1)

≫　Σ{(k+1)*C(n,k)}[k:0~n]=(n+2)*2^(n-1) ★.

■ 2項定理で　a=1　b=x　とすれば　(1+x)^n=Σ{C(n,k)*x^k}[k:0~n]

x で微分すると　n*(1+x)^(n-1)=Σ{k*C(n,k)*x^k}[k:1~n]

x=1　とすると　n*2^(n-1)=Σ{k*C(n,k)}[k:1~n]

　Σ{k*C(n,k)}[k:1~n]=n*2^(n-1)　‖

◆ Σ{k^2*C(n,k)}[k:1~n]

● C(n,r)=C(n-1,r-1)+C(n-1,r)

■【 n=2 】

　Σ{k^2*C(2,k)}[k:1~2]=1^2*C(2,1)+2^2*C(2,2)=1*2+4*1=2+4=6

■【 n=3 】

　Σ{k^2*C(3,k)}[k:1~3]
=1^2*C(3,1)+2^2*C(3,2)+3^2*C(3,3)
=1*3+4*3+9*1
=3+12+9
=24

■【 n=4 】

　Σ{k^2*C(4,k)}[k:1~4]
=1^2*C(4,1)+2^2*C(4,2)+3^2*C(4,3)+4^2*C(4,4)
=1*4+4*6+9*4+16*1
=4+24+36+16
=80

■【 k^2 を定数化する 】〔n≧3,k≧2〕

　k^2*C(n,k)
=k^2*n!/[(n-k)!*k!]
=k*n!/[(n-k)!*(k-1)!]
=n*k*(n-1)!/[(n-k)!*(k-1)!]
=n*k*C(n-1,k-1)

ここで　k*C(n-1,k-1)
=(k-1)*C(n-1,k-1)+C(n-1,k-1)
=(n-1)*C(n-2,k-2)+C(n-1,k-1)　だから、

　k^2*C(n,k)=n*(n-1)*C(n-2,k-2)+n*C(n-1,k-1)]〔n≧3,k≧2〕 ★.

ただし　k=1　のとき　k^2*C(n,k)=1^2*C(n,1)=n

また　n=2　のとき　1^2*C(2,1)=2　2^2*C(2,2)=4

■【 n=3 】

　1^2*C(3,1)=3
　2^2*C(3,2)=3*2*C(1,0)+3*C(2,1)
　3^2*C(3,3)=3*2*C(1,1)+3*C(2,2)

和　1^2*C(3,1)+2^2*C(3,2)+3^2*C(3,3)
=3+6*[C(1,0)+C(1,1)]+3*[C(2,1)+C(2,2)]
=3+6*2+3*(2^2-1)
=3+12+9
=24

■【 一般〔n≧3〕 】 Σ{k^2*C(n,k)}[k:1~n]

　1^2*C(n,1)=n
　2^2*C(n,2)=n*(n-1)*C(n-2,0)+n*C(n-1,1)
　3^2*C(n,3)=n*(n-1)*C(n-2,1)+n*C(n-1,2)　…
　n^2*C(n,n)=n*(n-1)*C(n-2,n-2)+n*C(n-1,n-1)

和を求めて、

　Σ{k^2*C(n,k)}[k:1~n]
=n+[n*(n-1)*C(n-2,0)+n*C(n-1,1)]+[n*(n-1)*C(n-2,1)+n*C(n-1,2)]+…
+[n*(n-1)*C(n-2,n-2)+n*C(n-1,n-1)]
=n
+n*(n-1)*[C(n-2,0)+C(n-2,1)+…+*C(n-2,n-2)]
+n*[C(n-1,1)+n*C(n-1,2)+…+n*C(n-1,n-1)]
=n+n*(n-1)*2^(n-2)+n*[2^(n-1)-1]
=n*(n-1)*2^(n-2)+2*n*2^(n-2)
=[n*(n-1)+2*n]*2^(n-2)
=n*(n+1)*2^(n-2)

≫　Σ{k^2*C(n,k)}[k:1~n]=n*(n+1)*2^(n-2) ★.

{確かめ}　n=3　Σ{k^2*C(3,k)}[k:1~3]=3*4*2^1=24

n=4　Σ{k^2*C(4,k)}[k:1~4]=4*5*2^2=80

{素晴らしい!2016/5}

■【 Σ{(k+1)^2*C(n,k)} 】

　一般項=k^2*C(n,k)+2*k*C(n,k)+C(n,k)

　Σ{(k+1)^2*C(n,k)}[k:0~n]
=Σ{k^2*C(n,k)}[k:0~n]+2*Σ{k*C(n,k)}[k:0~n]+Σ{C(n,k)}[k:0~n]
=n*(n+1)*2^(n-2)+2*n*2^(n-1)+2^n
=[n*(n+1)+4*n+4]*2^(n-2)
=(n+1)*(n+4)*2^(n-2)

≫　Σ{(k+1)^2*C(n,k)}[k:0~n]=(n+1)*(n+4)*2^(n-2) ★.

★ n=3　1*1+4*3+9*3+16*1=4*7*2=56

★ n=4　1*1+4*4+9*6+16*4+25*1=5*8*2^2=160

{この公式は、他にあまり出ていないみたい!2013/12}

■

■ 2項定理で　a=1　b=x　とすれば　(1+x)^n=Σ{C(n,k)*x^k}[k:0~n]

両辺に x を掛けてから微分すると、

　左辺=[x*(1+x)^n];x=(1+x)^n+x*n*(1+x)^(n-1)

　右辺=Σ{C(n,k)*x^(k+1)}[k:0~n]=Σ{(k+1)*C(n,k)*x^k}[k:0~n]

さらに x を掛けて微分すると、

　左辺
=[x*(1+x)^n];x+[x^2*n*(1+x)^(n-1)];x
=(1+x)^n+n*x*(1+x)^(n-1)
+2*n*x*(1+x)^(n-1)+n*(n-1)*x^2*(1+x)^(n-2)

　右辺
=Σ{(k+1)*C(n,k)*[x^(k+1)];x}[k:0~n]=Σ{(k+1)^2*C(n,k)*x^k}[k:0~n]

x=1　とすると、

　左辺
=2^n+n*2^(n-1)+2*n*2^(n-1)+n*(n-1)*2^(n-2)
=[4+2*n+4*n+n*(n-1)]*2^(n-2)
=(n^2+5*n+4)*2^(n-2)
=(n+1)*(n+4)*2^(n-2) 

　右辺=Σ{(k+1)^2*C(n,k)}[k:0~n]

　Σ{(k+1)^2*C(n,k)}[k:0~n]=(n+1)*(n+4)*2^(n-2)　‖

■【 n=1 】

　Σ{C(1,k)*p^k*(1-p)^(1-k)}[k:0~1]=(1-p)+p=1

■【 n=2 】

　Σ{C(2,k)*p^k*(1-p)^(2-k)}[k:0~2]
=(1-p)^2+2*p*(1-p)+p^2=(1-2*p+p^2)+(2*p-2*p^2)+p^2=1

≫　(1-p)^2+2*p*(1-p)+p^2=1 ★.

■【 n=3 】

　Σ{C(3,k)*p^k*(1-p)^(3-k)}[k:0~3]
=(1-p)^3+3*p*(1-p)^2+3*(1-p)*p^2+p^3
=(1-3*p+3*p^2-p^3)+3*p*(1-2*p+p^2)+3*(1-p)*p^2+p^3
=(1-3*p+3*p^2-p^3)+(3*p-6*p^2+3*p^3)+(3*p^2-3*p^3)+p^3
=1

≫　(1-p)^3+3*p*(1-p)^2+3*(1-p)*p^2+p^3=1 ★.

■【 一般 】

2項定理で　a=p　&　b=1-p　とすれば、

　左辺=[p+(1-p)]^n=1^n=1　だから、

　Σ{C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)}[k:0~n]=1 ★.

　(1-p)^n+n*p*(1-p)^(n-1)+C(n,2)*p^2*(1-p)^(n-2)+…+p^n=1

※ Σ{C(n,k)*p^(n-k)*(1-p)^k}[k:0~n]=1　でもよい

■

◆ Σ{k*C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)}[k:1~n]

● k*C(n,k)=n*C(n-1,k-1)

■【 n=2 】

　Σ{k*C(2,k)*p^k*(1-p)^(2-k)}[k:1~2]=1*2*p*(1-p)+2*1*p^2=2*p ★.

■【 n=3 】

　Σ{k*C(3,k)*p^k*(1-p)^(3-k)}[k:1~3]
=1*3*p*(1-p)^2+2*3*p^2*(1-p)+3*1*p^3
=(3*p)*[(1-p)^2+2*p*(1-p)+p^2]
=(3*p)*1
=3*p

≫　1*3*p*(1-p)^2+2*3*p^2*(1-p)+3*1*C(3,3)*p^3=3*p ★.

■【 一般の答の予想 】　Σ{k*C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)}[k:1~n]=n*p

■【 一般 】

　Σ{k*C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)}[k:1~n]
=1*n*p*(1-p)^(n-1)+2*C(n,2)*p^2*(1-p)^(n-2)
+3*C(n,3)*p^3*(1-p)^(n-3)+…+n*p^n

　k*C(n,k)=n*C(n-1,k)　を使うと、

　Σ{k*C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)}[k:1~n]
=1*n*p*(1-p)^(n-1)+n*C(n-1,2)*p^2*(1-p)^(n-2)
+n*C(n-1,3)*p^3*(1-p)^(n-3)+…+n*p^n
=(n*p)
*[(1-p)^(n-1)+C(n-1,2)*p*(1-p)^(n-2)
+C(n-1,3)*p^2*(1-p)^(n-3)+…+p^(n-1)]
=(n*p)*1
=n*p

≫　Σ{k*C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)}[k:1~n]=n*p ★.

◆ Σ{k^2*C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)}[k:1~n]

● k^2*C(n,k)=n*(n-1)*C(n-2,k-2)+n*C(n-1,k-1)]〔n≧3,k≧2〕

　Σ{C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)}[k:0~n]=1

■【 n=2 】

　Σ{k^2*C(2,k)*p^k*(1-p)^(2-k)}[k:1~2]
=1*2*p*(1-p)+4*1*p^2=(2*p)*[(1-p)+2*p]=2*p*(p+1)

■【 n=3 】

　Σ{k^2*C(3,k)*p^k*(1-p)^(3-k)}[k:1~3]
=1*3*p*(1-p)^2+4*3*p^2*(1-p)+9*1*p^3
=3*p*[(1-p)^2+4*p*(1-p)+3*p^2]
=3*p*[(1-2*p+p^2)+(4*p-4*p^2)+3*p^2]
=3*p*(2*p+1)

{別解}　Σ{k^2*C(3,k)*p^k*(1-p)^(3-k)}[k:1~3]
=1*3*p*(1-p)^2+4*3*p^2*(1-p)+9*1*p^3
=1*3*p*(1-p)^2
+4*3*p^2*(1-p)
+9*1*p^3

■【 一般の答の予想 】

　Σ{k^2*C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)}[k:1~n]=n*p*[(n-1)*p+1]

■【 一般 】　Σ{k^2*C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)}[k:1~n]

　一般項
=k^2*C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)
=[n*(n-1)*C(n-2,k-2)+n*C(n-1,k-1)]*p^k*(1-p)^(n-k)
=n*(n-1)*C(n-2,k-2)*p^k*(1-p)^(n-k)+n*C(n-1,k-1)]*p^k*(1-p)^(n-k)

　Σ{k^2*C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)}[k:1~n]
={n*(n-1)*Σ{C(n-2,k-2)*p^k*(1-p)^(n-k)}[k:1~n]
+n*Σ{C(n-1,k-1)]*p^k*(1-p)^(n-k)}[k:1~n]

ここで、

　Σ{C(n-2,k-2)*p^k*(1-p)^(n-k)}[k:1~n]
=p^2*(Σ{C(n-2,k-2)*p^(k-2)*(1-p)^(n-k)}[k:1~n])=p^2*1=p^2

また　Σ{C(n-1,k-1)]*p^k*(1-p)^(n-k)}[k:1~n]
=p*(Σ{C(n-1,k-1)]*p^(k-1)*(1-p)^(n-k)}[k:1~n])=p*1=p　だから、

　Σ{k^2*C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)}[k:1~n]
=n*(n-1)*p^2+n*p
=n*p*[(n-1)*p+1]

≫　Σ{k^2*C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)}[k:1~n]=n*p*[(n-1)*p+1] ★.

{この公式が載っている資料は見あたらない!2015/12}{復習できた!2016/6}

■

　★　組合せ,2項定理　★