お勉強しようUz 数学.確率

2016/6-2012/10 Yuji.W

2項分布

◎ ある確率の事象が n回 の試行で何回起きるか  binomial distribution

◇ ベクトル<A> 座標単位ベクトル<xu> 縦ベクトル<A) 内積* 外積#
微分;x 
時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 物理定数 .

{復習}2項定理

『2項定理』 2016/6

2項係数 C(n,k)=n!/[k!*(n-k)!]

■ C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k) k*C(n,k)=n*C(n-1,k-1)

 k^2*C(n,k)=n*(n-1)*C(n-2,k-2)+n*C(n-1,k-1)

2項定理 (a+b)^n=Σ{C(n,k)*a^k*b^(n-k)}[k:0~n]

■ Σ{C(n,k)}[k:0~n]=2^n Σ{k*C(n,k)}[k:1~n]=n*2^(n-1)

 Σ{(k+1)*C(n,k)}[k:0~n]=(n+2)*2^(n-1)

■ Σ{k^2*C(n,k)}[k:1~n]=n*(n+1)*2^(n-2)

 1^2*C(3,1)+2^2*C(3,2)+3^2*C(3,3)=24

 Σ{(k+1)^2*C(n,k)}[k:0~n]=(n+1)*(n+4)*2^(n-2)

■ Σ{C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k}[k:0~n]=1

 Σ{k*C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)}[k:1~n]=n*p

 Σ{k^2*C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)}[k:1~n]=n*p*[(n-1)*p+1]

☆簡単な2項分布☆

◎ ある確率を持つ事象を繰り返すことを考える。

2項分布 ある事象(確率 p)と、それが起きない事象の2つの事象しかない。

n回試行したとき、その事象が k回起きる確率 Bin(p,n,k) 確率変数 k 0≦k≦n

{ここが核心!2016/6}

★ 確率 1/3 の事象がある。試行回数 2回で、その事象が起きる確率

 確率変数 2 2回とも起きる確率 Bin(1/3,2,2)=1/9

 確率変数 1 1回だけ起きる確率 Bin(1/3,2,1)=(1/3)*(2/3)*2=4/9

 確率変数 0 2回とも起きない確率 Bin(1/3,2,0)=(2/3)^2=4/9

 何回起きるかの平均 E=2/9+1*4/9+0*4/9=6/9=2/3

{別解} E=2*1/3=2/3 』

 V
=(2-2/3)^2*1/9+(1-2/3)^2*4/9+(0-2/3)^2*4/9
=16/81+4/81+16/81=36/81=4/9

 σ=root(4/9)=2/3

※ 次の式が成り立つ V=4/9=(2/3)*(1-1/3)=E*q

★ 確率 1/3 の事象がある。試行回数 3回で、その事象が起きる確率

 確率変数 3 3回とも起きる確率 Bin(1/3,3,3)=1/27

 確率変数 2 2回とも起きる確率 Bin(1/3,3,2)=(1/3)*(1/3)*(2/3)*3=2/9

 確率変数 1 1回だけ起きる確率 Bin(1/3,3,1)=(1/3)*(2/3)*(2/3)*3=4/9

 確率変数 0 3回とも起きない確率 Bin(1/3,3,0)=8/27

 何回起きるかの平均 E=3/27+2*2/9+1*4/9+0*8/27=27/27=1

{別解} E=3*1/3=1 』

 V
=(3-1)^2*1/27+(2-1)^2*2/9+(1-1)^2*4/9+(0-1)*8/27
=(4+6+8)/27
=2/3

 σ=root(2/3)~0.82

※ 次の式が成り立つ V=2/3=1*(1-1/3)=E*q

{難しい理論に入っていく前に、こういう地道な計算が、真の理解を生む!2012/10}

◇2項分布◇

◇ 組合せ C(n,k)=n!/[(n-k)!*k!]

■ ある事象が起きる確率 p 起きない確率 q=1-q 0≦p≦1 0≦q≦1

それを、n 回繰り返す。その事象が k回起きる確率(2項分布の確率) Bin(p,n,k)

0≦k≦n 0≦Bin(p,n,k)≦1 Bin(p,n,0)+Bin(p,n,1)+…+Bin(p,n,n)=1

 Bin(p,n,k)=p^k*(1-p)^(n-k)*C(n,k) .

全く起きない確率 Bin(p,n,0)=(1-p)^n*C(n,0)=(1-p)^n

n回とも起きる確率 Bin(p,n,n)=p^n

1回だけ起きる確率 Bin(p,n,1)=p*(1-p)^(n-1)*C(n,1)=n*p*(1-p)^(n-1)

■ n回試行したとき、その事象が何回起きるかの期待値(平均値) E

起きる確率は p なのだから E=n*p .

{確かめ} E
=0*(起きない確率)+1*(1回だけ起きる確率)+2*(2回起きる確率)
+…+n*(n回起きる確率)
=0*(1-p)^n*C(n,0)+1*(1-p)^(n-1)*p*C(n,1)
+2*(1-p)^(n-2)*p^2*C(n,2)+…+n*p^n*C(n,n)
=n*p
.

■ 2項定理の公式より、

 Σ[k:0~n]{Bin(p,n,k)}=1 .

 Σ[k:1~n]{k*Bin(p,n,k)}=n*p .

 Σ[k:1~n]{k^2*Bin(p,n,k)}=n*p*[(n-1)*p+1] .◆ 2項分布 Bin(p,n,k)=p^k*(1-p)^(n-k)*C(n,k) 期待値 E=n*p 分散 V

■ V
=Σ[k:1~n]{Bin(p,n,k)*[k-E]^2}
=Σ[k:1~n]{k^2*Bin(p,n,k)}
-2*E*(Σ[k:1~n]{k*Bin(p,n,k)*})
+E^2*(Σ[k:1~n]{Bin(p,n,k)})
=n*p*[(n-1)*p+1]-2*E*(n*p)+E^2*1
=n*p*[(n-1)*p+1]-2*(n*p)^2+(n*p)^2
=n*p*[(n-1)*p+1-n*p]
=n*p*(1-p)

≫ V=n*p*(1-p) .{できました!2015/12}

『2項分布』 2015/12

◆ 1回の試行で、ある事象が起きる確率 p

n回試行したとき、その事象が k回起きる確率 Bin(p,n,k) 確率変数 k 0≦k≦n

■ Bin(p,n,k)=p^k*(1-p)^(n-k)*n!/[k!*(n-k)!]

 期待値(平均値) E=n*p 分散 V=n*p*(1-p)

{計算例}2項分布

◆ 当たる確率 1/3 がある。3回引けば、1回ぐらいは当たる。どうしても当たりたければ、何回引けばいいだろうか。

■ (n回引いて1回以上当たる確率)=1-(1回も当たらない確率)

1回も当たらない確率

 1回 2/3~0.67

 2回 (2/3)^2~0.44

 3回 (2/3)^3~0.30

 4回 (2/3)^4~0.20

 5回 (2/3)^5~0.13

 6回 (2/3)^6~0.09 1回以上当たる確率 0.91

 7回 (2/3)^7~0.06

 8回 (2/3)^8~0.04 1回以上当たる確率 0.96

 10回 (2/3)^10~0.02 1回以上当たる確率 0.98 このぐらいでいいかな。

◇サイコロ◇

◎ サイコロで特定の目が出る確率

◆ サイコロを6回振る。ある特定の目、例えば@が出る確率を考える。

■ p=1/6 n=6 確率変数(その事象が起きる回数) k

全く出ない Bin(1/6,6,0)=C(6,0)*5^6/6^6=1*15625/46656~0.33

1回だけ出る Bin(1/6,6,1)=C(6,1)*5^5/6^6=6*3125/46656~0.40

2回だけ出る Bin(1/6,6,2)=C(6,2)*5^4/6^6=15*625/46656~0.20

3回だけ出る Bin(1/6,6,3)=C(6,3)*5^3/6^6=20*125/46656~0.05

4回だけ出る Bin(1/6,6,4)=C(6,4)*5^2/6^6=15*25/46656~0.01

5回だけ出る Bin(1/6,6,5)=C(6,5)*5/6^6=6*5/46656~0.0006

6回だけ出る Bin(1/6,6,6)=C(6,6)/6^6=1/46656~0.00002

 (1回以上出る確率)=1-0.33=0.67

 (0回~2回 出る確率)=0.33+0.40+0.20=0.93

 平均 E=6*(1/6)=1 6回振れば、@の目が1回ぐらい

 分散 V=1*(5/6)=5/6

◇ダブルブッキング◇

◎ 2重予約

◆ あるお店に、100人の予約があった。長年のデータにより、平均すると100人中4人のキャンセルがある事がわかっている。96人分の準備をすればいいのであろうか。4人のキャンセルというのは、あくまで平均だから、キャンセルが3人の時もあるだろうし、全くない場合もあうだろう。確率を使って、効率的な方法を考える。

■ 1人のキャンセル率 0.04。確率0.04の事象を、100回繰り返すと考えることができる。 .

 キャンセルがない(100人来る)確率=Bin(0.04,100,0)=0.96^100~0.017
 キャンセルが1人である確率=Bin(0.04,100,1)=100*0.04*0.96^99~0.070
 キャンセルが2人である確率
=Bin(0.04,100,2)=C(100,2)*0.04^2*0.96^98~0.144

 100人来る確率~2%
 99人以上来る確率=0.017+0.070=0.087~9%
 98人以上来る確率=0.017+0.070+0.144=0.231~23%

お店としては、少なくとも98人分、できれば99人分は準備しないとまずいだろうという結論が得られる。

◇2項分布 p=1/2◇

◎ 起きる確率が 1/2 である事象の試行を繰り返す。

■【 3回繰り返した場合 】

 3回中 k 回起きる確率 Bin(1/2,3,k)
=C(3,k)*(1/2)^k*(1-1/2)^(3-k)=C(3,k)/2^3=C(3,k)/8=0.125*C(3,k)

≫ Bin(1/2,3,k)=0.125*C(3,k)

全く起きない Bin(1/2,3,0)=0.125*C(3,0)=0.125*1=0.125

1回だけ起きる Bin(1/2,3,1)=0.125*C(3,1)=0.125*3=0.375

2回だけ起きる Bin(1/2,3,2)=0.125*C(3,2)=0.125*3=0.375

3回起きる Bin(1/2,3,3)=0.125*C(3,3)=0.125*1=0.125

{以上のような簡単な例を考え、実際に計算することが、より深い理解を産む!2016/6}

■【 n 回繰り返した場合 】p=1/2

 Bin(1/2,n,k)=C(n,k)/2^n .

 平均 E=n/2

 分散 V=n*(1/2)*(1-1/2)=n/4 標準偏差 σ=root(n)/2

■【 気体分子 】

気体分子が容器に広がっている。体積が等しい、2つの領域に分ける。

 (ある特定の気体分子が、ある特定の領域にある確率)=1/2

 (n個の気体分子のうち、k個の分子がある特定の領域にある確率)
=Bin(1/2,n,k)=C(n,k)/2^n

『確率が 1/2 である事象の試行を繰り返す』 2016/6

■ 試行回数 n 回 (k 回起きる確率)=Bin(1/2,n,k)=C(n,k)/2^n

 平均 E=n/2 分散 V=n*(1/2)*(1-1/2)=n/4 標準偏差 σ=root(n)/2

◇2項分布 p=1/2 の場合の確率◇

■【 p=1/2 n=10 】

 Bin(1/2,10,k)=C(10,k)/2^10 E=10*(1/2)=5

 V=10*(1/2)*(1-1/2)=5/2 σ=root(10)/2~1.58

 E-σ=5-1.58~3.4 E+σ=5+1.58~6.6

おおむね、4回以上6回以下起きると言える

■【 p=1/2 n=1000 】

 Bin(1/2,1000,k)=C(1000,k)/2^1000 E=1000*(1/2)=500

 V=1000*(1/2)*(1-1/2)=250 σ=root(1000)/2~15.8

 E-σ=500-15.8~484 E+σ=500+15.8~516

おおむね、484~516

▲ 試行回数 n が大きくなれば、確率を表すグラフのピークは鋭くなることがわかる。

ただし、横軸も縦軸も目盛りが違うことには注意するえきである。

  2項分布  

inserted by FC2 system