数学-図形　　2015/6-2013/1　　Yuji.W

◎ 地球表面上を移動する。どの経路が最も短いのか。

〔表記2015/06〕　ベクトル <>　単位ベクトル <-u>　内積 *　外積 #
微分 ;　時間微分 '　積分 $　10^x=Ten(x)　e^(i*x)=expi(x)　物理定数 ★_

◎ 半径1の球の表面上の位置を考える。2つの変数で表すことができる。

◆ z軸との成す角 a　z軸の周りの回転角(x軸を基準に) b

　0<a<Pi　0<b<2Pi

※ xy平面との成す角 a とすることもある。「緯度」

★ 北極(0,0)　緯度30°、東経135°(60°、135°)
赤道と日付変更線の交わる点(90°、180°)

■ 球座標(r,a,b) と直交座標(x,y,z) の関係　r=1

　x=sin(a)*cos(b)　y=sin(a)*sin(b)　z=cos(a)

■ 大円:球の中心を通る平面で切断したときの、球の断面(半径1)

大円上の2点P,Qが作る中心角 ∠POQ

水平円:xy平面と平行な平面で切断したときの、球の断面(0<半径<1)

水平円上の2点P,Qが作る中心角 b

◆ 半径1の球の球面上に図形を描く。球面上は、2つの座標で、位置を指定できるから、2次元を見なすことができる。すべての線は、曲線である。

■ 次のように定義する。

大円　球の中心を通る平面上にある円　半径1

直線　大円の一部　平行な直線はない

2直線の成す角　2直線の交点での接線が成す角

三角形　3つの直線で囲まれた図形　内角の和は、180°より大きくなる

正三角形　3辺の長さが等しい三角形

◎ 緯度が等しい2点　

◆ 半径1の球面上の2点を緯度と経度で表して　P(a,0) , Q(a,b)　a_rad , b_rad

2点P,Qを通る水平円の弧の長さ Arc1(水平円)=b*sin(a) ★_

2点P,Qを通る大円の弧の長さ Arc2(大円)=∠POQ ★_※ ラジアン

■ 2点PQの距離を比べて　sin(∠POQ/2)=sin(a)*sin(b/2) ★_

★ a=30°　sin(30°)=1/2　のとき、

b=45°　ならば、

　sin(a)*sin(b/2)=(1/2)*sin(22.5°)=0.191

　∠POQ=2*arcsin(0.191)=22°

　Arc1(水平円)=(Pi/4)*(1/2)=0.125*Pi　Arc2(大円)=Pi*22/180=0.122*Pi

b=90°　ならば、

　sin(a)*sin(b/2)=(1/2)*sin(45°)=root2/4=0.354

　∠POQ=2*arcsin(0.354)=　∠POQ=41°

　Arc1(水平円)=(Pi/2)*(1/2)=0.25*Pi　Arc2(大円)=Pi*41/180=0.228*Pi

b=Δb=180°　ならば、

　sin(a)*sin(b/2)=(1/2)*sin(90°)=0.5

　∠POQ=2*arcsin(0.5)=60°　△POQは正三角形

　Arc1(水平円)=Pi*(1/2)=0.5*Pi
　Arc2(大円)=Pi*60/180=0.333*Pi

▲ 緯度60°、経度が180°違う2点を移動するなら、緯線に沿って移動するより、大円に沿って(北極にいったん近づいて)移動する方が、断然近い。

★ a=60°　sin(60°)=root3/2　のとき、

b=45°　ならば、

　sin(a)*sin(b/2)=(root3/2)*sin(22.5°)=0.331

　∠POQ=2*arcsin(0.331)=39°

　Arc1(水平円)=(Pi/4)*root3/2=0.22*Pi　Arc2(大円)=Pi*39/180=0.22*Pi

b=90°　ならば、

　sin(a)*sin(b/2)=(root3/2)*sin(45°)=0.612

　∠POQ=2*arcsin(0.612)=76°

　Arc1(水平円)=(Pi/2)*root3/2=0.43*Pi　Arc2(大円)=Pi*76/180=0.42*Pi

▲ 緯度30°、経度が90°違う2点を移動するなら、緯線に沿って移動するのも、大円に沿って移動するのもほぼ同じ。

b=180°　ならば、

　sin(a)*sin(b/2)=(root3/2)*sin(90°)=0.866

　∠POQ=2*arcsin(0.866)=120°

　Arc1(水平円)=Pi*root3/2=0.87*Pi　Arc2(大円)=Pi*120/180=0.67*Pi

{いろいろ計算してみると、いろんな事がわかっておもしろい!2014/1}

■ |b|<<1 のとき　|∠POQ|<<1

　sin(∠POQ/2)=sin(a)*sin(b/2)　より、

　∠POQ/2=sin(a)*b/2

　∠POQ=sin(a)*b

◎ 次の3地点を考え、FM と FA の距離を求める。同じ距離なのだろうか。

　F(45 0),M(45 90),A(135 0)

◆ 地点F(フランス)(45 0)　直交座標(root2/2 0 root2/2)

　地点M(モンゴル)(45 90)　直交座標(0 root2/2 root2/2)

　地点A(大西洋)(135 0)　直交座標(root2/2 0 -root2/2)

2点F,Mを通り赤道面と平行な面と、地球の自転軸との交点 Z

距離は、次の3種類を考える。

�@2点を結ぶ空間上の直線(地球の中を通る)の距離

�A球面上の最も近い距離(大円に沿った弧の長さ)

�B経度や緯度に沿った弧の長さ

■ FA について求めよう。

弧FA は半径1 の大円の一部　∠FOA=90°

�@　△FOA は、直角二等辺三角形　FO=AO=1　FA=root2

�A=�B　弧FA=Pi/2

■ FM について求めよう。

�@　△FZMは、直角二等辺三角形　FZ=MZ=sin(45°)=root2/2　FM=1

�A　sin(∠FOM/2)=sin(45°)*sin(90°/2)=1/2

　∠FOM/2=30°　∠FOM=60°

{別解}　cos(∠FOM)=cos(45°)*cos(45°)=1/2　∠FOM=60°

大円の弧FMは、半径1、中心角60°の扇形の弧　▼

　弧FM=2Pi/6=Pi/3

�B　緯線に沿った弧FMは、半径 root2/2、※ 中心角90°の扇形の弧　▼

　弧FM=(root2/2)*2Pi/4=root2*Pi/4

-----　まとめ　-----

�@　線分　FM/FA=1/root2=root2/2=0.71

�A　大円　FM/FA=(Pi/3)/(Pi/2)=0.67

�B　経線、緯線　FM/FA=(root2*Pi/4)/(Pi/2)=root2/2=0.71

どれにしても、FM<FA　{等しいと思ってた!2013/1}

◆ 球面上の座標(a°,b°)　直交座標(x,y,z)

正三角形 A(0,0)=(0,0,1)　B(90,0)=(1,0,0)　C(90,90)=(0,1,0)
※ 内角の和=90°*3=270°

その重心G(a,b)=(x,y,z)　x=sin(a)*cos(b)　y=sin(a)*sin(b)　z=cos(a)

■ 弧AG=弧BG=弧CG　ならば　線分AG=線分BG=線分CG

　x^2+y^2+(z-1)^2=(x-1)^2+y^2+z^2=x^2+(y-1)^2+z^2

　-2*z=-2*x=-2*y　x=y=z

また、x^2+y^2+z^2=1　であるから、

　x=y=z=root3/3　cos(a)=root3/3　sin(a)=root6/3　a=arccos(root3/3)~54.7°

　cos(b)=(root3/3)/(root6/3)=root2/2　b=45°

　G(54.7°,45°) ★_

{一番初めは、G(45°,45°) だと思っていて、浅はかだなと思った。次には、

　G(60°,45°) になると予想したが、また違った。！2013/1}

◆ 半径1の球　球面上の位置を、緯度 a と、経度 b を使って　(a,b)　と表す

直交座標との関係　x=cos(a)*cos(b)　y=cos(a)*sin(b)　z=sin(a)

球面上の2地点　P(a1,b1)　Q(a2,b2)　球の中心 O

　中心角 ∠POQ ?　　半径1だから　中心角=大円の距離　となる

■ 経度は、その差だけが問題になるのは明かだから　b=経度の差　として、
　2点 P(a1,0) , Q(a2,b) の中心角 ∠POQ を求める事にする。

　※ 経度の差は、適当に工夫して　0≦b<180°　になるようにする

ベクトルを使って、

　<OP>=<cos(a1)　0　sin(a1)>

　<OQ>=<cos(a2)*cos(b)　cos(a2)*sin(b)　sin(a2)>

2点P,Qは、半径1の球面上にあるのだから　OP=OQ=1

内積　<OP>*<OQ>=cos(a1)*cos(a2)*cos(b)+sin(a1)*sin(a2)

　cos(∠POQ)=<OP>*<OQ>/(OP*OQ)=cos(a1)*cos(a2)*cos(b)+sin(a1)*sin(a2)

　cos(∠POQ)=cos(a1)*cos(a2)*cos(b)+sin(a1)*sin(a2) ★_

{別解}　PQ を求める

　<PQ>=<OQ>-<OP>=<cos(a2)*cos(b)-cos(a1)　cos(a2)*sin(b)　sin(a2)-sin(a1)>

　x成分の2乗
=[cos(a2)*cos(b)-cos(a1)]^2
=cos(a2)^2*cos(b)^2-2*cos(a1)*cos(a2)*cos(b)+cos(a1)^2

　y成分の2乗=cos(a2)^2*sin(b)^2

　z成分の2乗=sin(a2)^2-2*sin(a1)*sin(a2)+sin(a1)^2

　PQ^2=2*[1-cos(a1)*cos(a2)*cos(b)-sin(a1)*sin(a2)]　�@

一方　sin(∠POQ/2)=PQ/2　だから、

　PQ=2*sin(∠POQ/2)　⇒　PQ^2=4*sin(∠POQ/2)^2=2*[1-cos(∠POQ)]　�A

�@�Aより　1-cos(a1)*cos(a2)*cos(b)-sin(a1)*sin(a2)=1-cos(∠POQ)

　cos(∠POQ)=cos(a1)*cos(a2)*cos(b)+sin(a1)*sin(a2) ★_

{素晴らしい!できた!2015/6/19 1:05AM}

▲ 経度が等しい　b=0

　cos(∠POQ)=cos(a1)*cos(a2)+sin(a1)*sin(a2)=cos(a1-a2)

　∠POQ=a1-a2 ★_

▲ 緯度が等しい　a1=a2

　cos(∠POQ)
=cos(a1)^2*cos(b)+sin(a1)^2
=cos(a1)^2*cos(b)+[1-cos(a1)^2]
=1-cos(a1)^2*[1-cos(b)]　緯線の長さではなく、2点を通る大円の長さ

▲ 赤道上　a1=a2=0

　cos(∠POQ)=cos(b)　⇒　∠POQ=b

★　数学-図形-球面上の2点間の距離　★