☆球面上の点の移動3-行列Uz

　数学-行列　　2013/1　　Yuji.W

☆ 球面上の点の移動3-行列 ☆

◎ 「球面場の点の移動-行列」

◆半径1の球面上の点の移動を、行列で考える。

自転 rotation　公転 revolution

〔表示のお約束140710〕cos(a)=Ca　sin(b)=Sb　tan(x)=Tx　10^x=Ten(x)
ベクトル<>　単位ベクトル<-u>　縦ベクトル<)　成分<>:x　内積*　外積#
e^(x)=exp(x)=E(x)　e^(i*x)=expi(x)=Ei(x)　微分;x　時間微分'　物理定数

「回転行列-座標軸が回転軸」

◆原点を中心とする回転移動　<\x \y \z)=[R]*<x y z)

■原点を中心とし、座標軸を軸とする回転移動　回転角 a

■座標軸を軸として、90°回転

　[Rx(90°)]=[1 ..|.. -1|. 1 .]
　[Ry(90°)]=[.. 1|. 1 .|-1 ..]
　[Rz(90°)]=[. -1 .|1 ..|.. 1]

「球面上の点の回転移動」

■球座標(1,a,0)と原点を通る直線を回転軸とし、角度 d だけ回転させる移動
　[R|a,0|(d)]
=[Ca^2*Cd+Sa^2　-Ca*Sd　-Sa*Cad+Ca*Sa|
　Ca*Sd　Cd　-Sad|
　-Cad*Sa+Ca*Sa　Sad　Sa^2*Cd+Ca^2]

■a=0　[R|0,0|(d)]=[Cd -Sd .|Sd Cd .|.. 1]=[Rz(d)]

a=90°　[R|90°,0|(d)]=[1 ..|. Cd -Sd|. Sd Cd]=[Rx(d)]

d=0　[R|a,0|(0)]=[1 ..|. 1 .|.. 1]　移動しない

d=90°　[R|a,0|(90°)]=[Sa^2 -Ca Ca*Sa|Ca . -Sa|Ca*Sa Sa Ca^2]

☆回転移動☆

★ 半径1の球面上の点の移動を考える。

◆回転行列 [R]=[R11 R12 R13|R21 …|… R33]

　<R1)=<R11 R21 R31)　<R2)=<R12 …)　<R3)=<… R33)

■以下、4つの条件を満たす。

①|R|=1

②|<R1)|=|<R2)|=|<R3)|=1

③<R1)*<R2)=<R2)*<R3)=<R3)*<R1)=0

④<R1)#<R2)=<R3)

☆任意の軸での任意の角度の回転☆

◆球座標(1,a,b)と原点を通る直線を回転軸とし、角度 d だけ回転させる移動を考える。[R|a,b|(d)]

■次の手順と同じになる。

①回転軸を z軸の周りに -b だけ回転し、xz平面に持ってくる。
　[Rz(-b)]=[Cb Sb .|-Sb Cb .|.. 1]

②回転軸を -a だけ傾け、z軸と一致させる。回転軸=y軸
　[Ry(-a)]=[Ca . -Sa|. 1 .|Sa . Ca]

③z軸の周りに、d だけ回転する。
　[Rz(d)]=[Cd -Sd .|Sd Cd .|.. 1]

④回転軸をx軸の方向に a だけ傾ける。回転軸=y軸
　[Ry(a)]=[Ca . Sa|. 1 .|-Sa . Ca]

⑤回転軸を z軸の周りに b だけ回転し、元の回転軸に戻す
　[Rz(b)]=[Cb -Sb .|Sb Cb .|.. 1]

◇cos(x)*cos(y)=Cx*Cy=Cxy　sin(x)*sin(y)=Sx*Sy=Sxy

「傾いた軸での、任意の角度での回転」

◆球座標(1,a,b)と原点を通る直線を回転軸とし、角度 d だけ回転させる移動
　[R|a,b|(d)]=⑤×④×③×②×①=(⑤×④)×③×(②×①)

■⑤×④=[Rz(b)]×[Ry(a)]
=[Cab -Sb Cb*Sa|Ca*Sb Cb Sab|-Sa . Ca]

　②×①=[Ry(-a)]×[Rz(-b)]
=[Cab Ca*Sb -Sa|-Sb Cb .|Cb*Sa Sab Ca]　⑤×④の転置行列

　③=[Rz(d)]=[Cd -Sd .|Sd Cd .|.. 1]

☆45°、90°傾いた軸で,90°回転☆

◆a=45　b=90　d=90　[R|45,90|(90)]　回転軸 (√2/2)*<0 1 1)

■⑤×④=[Cab -Sb Cb*Sa|Ca*Sb Cb Sab|-Sa . Ca]
=(√2/2)*[. -√2 .|1 . 1|-1 . 1]

　②×①=[Cab Ca*Sb -Sa|-Sb Cb .|Cb*Sa Sab Ca]
=(√2/2)*[. 1 -1|-√2 ..|. 1 1]

　③=[. -1 .|1 ..|.. 1]

　③×(②×①)=(√2/2)*[. -1 .|1 ..|.. 1]×[. 1 -1|-√2 ..|. 1 1]
=(√2/2)*[√2 ..|. 1 -1|. 1 1]

　[R|a,b|(d)]=(⑤×④)×(③×②×①)
=(1/2)*[. -√2 .|1 . 1|-1 . 1]*[√2 ..|. 1 -1|. 1 1]
=(1/2)*[. -√2 √2|√2 1 1|-√2 1 1] ★

★別解★

　⑤=[Rz(90°)]=[. -1 .|1 ..|.. 1]

　①=[Rz(-90°)]=[. 1 .|-1 ..|.. 1]

　④×③×②=[R|45°,0|(90°)]=(1/2)*[1 -√2 1|√2 . -√2|1 √2 1]

　(④×③×②)×①=[R|45°,0|(90°)]×[Rz(-90°)]
=(1/2)*[1 -√2 1|√2 . -√2|1 √2 1]×[. 1 .|-1 ..|.. 1]
=(1/2)*[√2 1 1|. √2 -√2|-√2 1 1]

　[R|45°,90°|(90°)]=⑤×(④×③×②×①)
=(1/2)*[. -1 .|1 ..|.. 1]×[√2 1 1|. √2 -√2|-√2 1 1]
=(1/2)*[. -√2 √2|√2 1 1|-√2 1 1] ★

{確かめ}

[R|45°,90°|(90°)]*<回転軸)
=(√2/4)*[. -√2 √2|√2 1 1|-√2 1 1]*<0 1 1)
=(√2/4)*<0 2 2)=(√2/2)*<0 1 1)=<回転軸)

　[R|45°,90°|(90°)]*<北極)
=(√2/4)*[. -√2 √2|√2 1 1|-√2 1 1]*<.. 1)=<√2/2 1/2 1/2)

　[R|45°,90°|(90°)]*<インド)
=(√2/4)*[. -√2 √2|√2 1 1|-√2 1 1]*<1 ..)=(√2/2)*<. 1 -1)

　[R|45°,90°|(90°)]*<太平洋)
=(√2/4)*[. -√2 √2|√2 1 1|-√2 1 1]*<. 1 .)=<-√2/2 1/2 1/2)
=<北極が動いていった位置と、yz平面に対して対称な位置)

☆45°、45°傾いた軸で,90°回転☆

◆a=45　b=45　d=90　[R|45,45|(90)]

■回転軸　x=Sa*Cb=1/2　y=Sa*Sb=1/2　z=Ca=√2/2

　<回転軸)=(1/2)*<1 1 √2)

{回転軸は、x=y=z でないのが、盲点！2013/1}

■⑤×④=[Cab -Sb Cb*Sa|Ca*Sb Cb Sab|-Sa . Ca]
=(1/2)*[1 -√2 1|1 √2 1|-√2 . √2]

　②×①=[Cab Ca*Sb -Sa|-Sb Cb .|Cb*Sa Sab Ca]
=(1/2)*[1 1 -√2|-√2 √2 .|1 1 √2]　⑤×④の転置行列

　③=[. -1 .|1 ..|.. 1]

　③×(②×①)=(1/2)*[. -1 .|1 ..|.. 1]×[1 1 -√2|-√2 √2 .|1 1 √2]
=(1/2)*[√2 -√2 .|1 1 -√2|1 1 √2]

　[R|45,45|(90)]=(⑤×④)×(③×②×①)
=(1/4)*[1 -√2 1|1 √2 1|-√2 . √2]×[√2 -√2 .|1 1 -√2|1 1 √2]
=(1/4)*[1 1-2*√2 2+√2|1+2*√2 1 -2+√2|-2+√2 2+√2 2] ★

{確かめ1}　|(1/4)*<1 1+2*√2 -2+√2)|^2
=(1/16)*[1^2+(1+2*√2)^2+(-2+√2)^2]=(1/16)*16=1

　|(1/4)*<1-2*√2 1 2+√2)|^2=1

　|(1/4)*<2+√2 -2+√2 2)|^2=1

{確かめ2}

　[R|45,45|(90)]*<回転軸)
=(1/8)*[1 1-2*√2 2+√2|1+2*√2 1 -2+√2|-2+√2 2+√2 2]*<1 1 √2)
=(1/8)*4*<1 1 √2)=(1/2)*<1 1 √2)=<回転軸)　{素晴らしい！2013/1}

　[R|45,45|(90)]*<北極)
=(1/4)*[1 1-2*√2 2+√2|1+2*√2 1 -2+√2|-2+√2 2+√2 2]*<.. 1)
=(1/4)*<2+√2 -2+√2 2)~<0.85 -0.15 0.5)

　[R|45,45|(90)]*<インド)
=(1/4)*[1 1-2*√2 2+√2|1+2*√2 1 -2+√2|-2+√2 2+√2 2]*<1 ..)
=(1/4)*<1 1+2*√2 -2+√2)~<0.25 0.95 -0.15)

　[R|45,45|(90)]*<太平洋)
=(1/4)*[1 1-2*√2 2+√2|1+2*√2 1 -2+√2|-2+√2 2+√2 2]*<. 1 .)
=(1/4)*<1-2*√2 1 2+√2)~<-0.45 0.25 0.85)

{実際に、球に印をして確かめてみた。あってるみたい！2013/1}