数学-行列　　2013/1　　Yuji.W

☆ 球面上の点の移動2-行列  ☆

◎ 「球面場の点の移動-行列」

◆半径1の球面上の点の移動を、行列で考える。

自転 rotation　公転 revolution

〔表示のお約束140710〕cos(a)=Ca　sin(b)=Sb　tan(x)=Tx　10^x=Ten(x)
ベクトル<>　単位ベクトル<-u>　縦ベクトル<)　成分<>:x　内積*　外積#
e^(x)=exp(x)=E(x)　e^(i*x)=expi(x)=Ei(x)　微分;x　時間微分'　物理定数

★ 半径1の球面上の点の移動を考える。

◆回転行列 [R]=[R11 R12 R13|R21 …|… R33]

　<R1)=<R11 R21 R31)　<R2)=<R12 …)　<R3)=<… R33)

■以下、4つの条件を満たす。

�@|R|=1

�A|<R1)|=|<R2)|=|<R3)|=1

�B<R1)*<R2)=<R2)*<R3)=<R3)*<R1)=0

�C<R1)#<R2)=<R3)

◆z軸にある回転軸を、x軸の方向に a だけ傾けて、それを新しい回転軸とし、90°回転移動する。{まず、簡単な場合を考えるべし!2013/1}

●[Ry(a)]=[Ca . Sa|. 1 .|-Sa . Ca]
　[Rz(90°)]=[. -1 .|1 ..|.. 1]

■[R|a,0|(90°)] は、次の手順と同じになる。

�@回転軸を a だけ戻し、z軸と一致させる。
�Az軸の周りに、90°だけ回転する。
�B回転軸を元に戻す

　[R|a,0|(90°)]=[Ry(a)]×[Rz(90°)]×[Ry(-a)]

　[Rz(90°)]×[Ry(-a)]=[. -1 .|1 ..|.. 1]×[Ca . -Sa|. 1 .|Sa . Ca]
=[. -1 .|Ca . -Sa|Sa . Ca]

　[R|a,0|(90°)]=[Ca . Sa|. 1 .|-Sa . Ca]×[. -1 .|Ca . -Sa|Sa . Ca]
=[Sa^2 -Ca Ca*Sa|Ca . -Sa|Ca*Sa Sa Ca^2]

　[R|a,0|(90°)]=[Sa^2 -Ca Ca*Sa|Ca . -Sa|Ca*Sa Sa Ca^2] ★

■a=0　a=90°　a=45°　の場合、

　[R|0,0|(90°)]=[. -1 .|1 ..|.. 1]=[Rz(90°)]

　[R|90°,0|(90°)]=[1 ..|.. -1|. 1 .]=[Rx(90°)]

　[R|45°,0|(90°)]=(1/2)*[1 -√2 1|√2 . -√2|1 √2 1]

◆球座標(1,90°,90°)と原点を通る直線を回転軸とし、d だけ回転させる移動を考える。[R|90°,90°|(d)]=[Ry(d)] になるはずだ。

■次の手順と同じになる。

�@回転軸を z軸の周りに -90° だけ回転し、xz平面に持ってくる。
�A回転軸を -90° だけ傾け、z軸と一致させる。回転軸=y軸
�Bz軸の周りに、d だけ 回転する。
�C回転軸をx軸の方向に 90°傾ける。回転軸=y軸
�D回転軸を z軸の周りに 90°回転し、元の回転軸に戻す。

　[R|90°,90°|(d)]=[Rz(90°)]×[Ry(90°)]×[Rz(d)]×[Ry(-90°)]×[Rz(-90°)]
=[Rz(90°)]×[R|90°,0|(d)]×[Rz(-90°)]

●[Ry(a)]=[Ca . Sa|. 1 .|-Sa . Ca]　[Rz(a)]=[Ca -Sa .|Sa Ca .|.. 1]

◆[R|a,0|(d)] は、次の手順と同じになる。

�@回転軸をy軸の周りに -a 回転し、z軸と一致させる。
�Az軸の周りに、d 回転する。
�B回転軸をy軸の周りに a 回転し、元に戻す

◇Ca*Cb=Cab　Sa*Sb=Sab

■[R|a,0|(d)]=[Ry(a)]×[Rz(d)]×[Ry(-a)]

　[Rz(d)]×[Ry(-a)]=[Cd -Sd .|Sd Cd .|.. 1]×[Ca . -Sa|. 1 .|Sa . Ca]
=[Cad -Sd -Sa*Cd|Ca*Sd Cd -Sad|Sa . Ca]

　[R|a,0|(d)]
=[Ca . Sa|. 1 .|-Sa . Ca]×[Cad -Sd -Sa*Cd|Ca*Sd Cd -Sad|Sa . Ca]
=[Ca^2*Cd+Sa^2　.　Ca*Sa|
　Ca*Sd　Cd　-Sad|
　-Cad*Sa+Ca*Sa　.　Ca^2]

　[R|a,0|(d)]
=[Ca^2*Cd+Sa^2　-Ca*Sd　-Sa*Cad+Ca*Sa|
　Ca*Sd　Cd　-Sad|
　-Cad*Sa+Ca*Sa　Sad　Sa^2*Cd+Ca^2] ★★ {正しいようだ！2013/1}

{注}オイラー角の公式で、α=-a　Β=-d　Γ=-a　とすればよい。

■d=90° とすれば、

　[R|a,0|(90°)]=[Sa^2 -Ca Ca*Sa|Ca . -Sa|Ca*Sa Sa Ca^2] ★

 {90°回転で求めた結果と同じになった。素晴らしい！2013/1}

■a=45°　d=90° とすれば、

　[R|45°,0|(90°)]=(1/2)*[1 -√2 1|√2 . -√2|1 √2 1] ★

◆回転軸が、z軸とx軸の間、斜め45°にある　モンゴルが回転軸

90°回転する　[R|45°,0|(90°)]=(1/2)*[1 -√2 1|√2 . -√2|1 √2 1]

　<モンゴル)=(1/2)*<√2 0 √2)

　<北極)=<.. 1)　<インド)=<1 ..)　<太平洋)=<. 1 .)

■[R|45°,0|(90°)]*<モンゴル)=(1/2)*<√2 0 √2)=<モンゴル)

　[R|45°,0|(90°)]*<北極)=(1/2)*<1 -√2 1)

　[R|45°,0|(90°)]*<インド)=(1/2)*<1 √2 1)

　[R|45°,0|(90°)]*<太平洋)=(1/2)*<-√2 0 √2)

■[R|45°,0|(90°)]*<x y z)=<..1) を解く。

　x-√2*y+z=0　√2*x-√2*z=0　x+√2*y+z=2

　x=z=1/2　y=√2/2