数学-行列 2013/1 Yuji.W
☆ 球面上の点の移動-行列 ☆
◎ 「球面場の点の移動-行列」
◆半径1の球面上の点の移動を、行列で考える。
自転 rotation 公転 revolution
〔表示のお約束140710〕cos(a)=Ca sin(b)=Sb tan(x)=Tx 10^x=Ten(x)
ベクトル<> 単位ベクトル<-u> 縦ベクトル<) 成分<>:x 内積* 外積#
e^(x)=exp(x)=E(x) e^(i*x)=expi(x)=Ei(x) 微分;x 時間微分' 物理定数
| ☆回転移動☆ |
■半径1の円周上の点の移動を考える。(x,y,z) ⇒ (\x,\y,\z)
回転行列 [R]=[R11 R12 R13|R21 …|… R33]=<R1)&<R2)&<R3)
移動前 x*<xu>+y*<yu>+z*<zu>
移動後 x*<R1>+y*<R2>+z*<R3>
3つの基底ベクトルが作る平行四辺形の体積 移動前 1 移動後 |[R]|
■以下の条件を満たす。
①|[R]|=1 大きさは変わらない
②|<R1)|=|<R2)|=|<R3)|=1 回転しているだけだから、長さは変わらない
③<R1)*<R2)=<R2)*<R3)=<R3)*<R1)=0 直交している
④<R1)#<R2)=<R3)
| ☆回転行列☆ |
| 「回転行列-座標軸が回転軸」 ◆原点を中心とする回転移動 <\x \y \z)=[R]*<x y z) ■原点を中心とし、座標軸を軸とする回転移動 回転角 a 回転軸x軸 [Rx(a)]=[1
..|. Ca -Sa|. Sa Ca]
■座標軸を軸として、90°回転 [Rx(90°)]=[1
..|.. -1|. 1 .]
|
| ☆90°回転☆ |
■[Rx(90°)]=[1 ..|.. -1|. 1 .] \x=x \y=-z \z=y
[Ry(90°)]=[.. 1|. 1 .|-1 ..] \x=z \y=y \z=-x
[Rz(90°)]=[. -1 .|1 ..|.. 1] \x=-y \y=x \z=z
■<北極)=<.. 1) <インド)=<1 ..) <太平洋)=<. 1 .)
[Rx(90°)]*<北極)=[1
..|.. -1|. 1 .]*<.. 1)=<. -1 .)
[Rx(90°)]*<インド)=<1
..)=<インド)
[Rx(90°)]*<太平洋)=<.. 1)=<北極)
■[Rx(90°)]^2=[1
..|.. -1|. 1 .]^2=[1 ..|. -1 .|.. -1]
yz平面上で点対称移動
[Ry(90°)]^2=[..
1|. 1 .|-1 ..]^2=[-1 ..|. 1 .|.. -1]
xz平面上で点対称移動
[Rz(90°)]^2=[. -1 .|1 ..|.. 1]^2=[-1 ..|. -1 .|.. 1]
■[Rx(90°)]*[Ry(90°)]=[1
..|.. -1|. 1 .]*[.. 1|. 1 .|-1 ..]
=[.. 1|1 ..|. 1 .] \x=z \y=x \z=y
[Ry(90°)]*[Rx(90°)]=[..
1|. 1 .|-1 ..]*[1 ..|.. -1|. 1 .]
=[. 1 .|.. -1|-1 ..] \x=y \y=-z \z=-x
not{ [Rx(90°)]*[Ry(90°)]=[Ry(90°)]*[Rx(90°)] }
■[Rz(90°)]*[Rz(-90°)]=[.
-1 .|1 ..|.. 1]*[.
1 .|-1 . .|.. 1]
=[1 ..|. 1 .|.. 1] 変化なし、当然
■[Ry(90°)]*[Rz(a)]*[Ry(-90°)]
=[..
1|. 1 .|-1 ..]*[Ca
-Sa .|Sa Ca .|.. 1]*[..
-1|. 1 .|1 ..]
=[..
1|. 1 .|-1 ..]*[. -Sa -Ca|. Ca -Sa|1 .. ]
=[1..|. Ca -Sa|. Sa
Ca]=[Rx(a)]
[Ry(90°)]*[Rz(a)]*[Ry(-90°)]=[Rx(a)] ★
| ☆1/4回転1/4ひねり☆ |
◆1/4 回転 1/4 ひねり 自転軸そのものが回転する 自転角速度の大きさと、自転軸そいのものが回転する角速度の大きさが等しい
<北極)=<.. 1) <インド)=<1 ..) <太平洋)=<. 1 .)
▲自転軸そのもの z軸から、xz平面を回転する
■[自転軸90°回転して、自転(ひねり)90°]=[Rx(90°)]*[Ry(90°)]
=[..
1|1 ..|. 1 .]
[自転(ひねり)90°して、自転軸90°回転]=[Ry(90°)]*[Rz(90°)]
=[..
1|. 1 .|-1 ..]*[. -1 .|1 ..|.. 1]
=[.. 1|1 ..|. 1 .]
[自転軸90°回転して、自転(ひねり)90°]
=[自転(ひねり)90°して、自転軸90°回転] ★
{注}1つ目と2つ目の自転(ひねり)の軸が異なっている{!}
このとき、\x=z \y=x \z=y
{確かめ}<北極)=<..
1) ⇒ <1 ..)=<インド)
<インド)=<1 ..) ⇒ <.
1 .)=<太平洋)
<太平洋)=<. 1 .) ⇒ <.. 1)=<北極) {素晴らしい！}
| ☆1/2 回転 1/2 ひねり☆ |
■[Rx(180°)]=[1 ..|. -1 .|.. -1]
[Ry(180°)]=[-1 ..|. 1 .|.. -1]
[Rz(180°)]=[-1 ..|0 -1 .|.. 1]
■[自転軸180°回転して、自転(ひねり)180°]=[Rz(180°)]*[Ry(180°)]
=[-1
..|0 -1 .|.. 1]*[-1 ..|. 1 .|.. -1]=[1 ..|. -1 .|.. -1]
\x=x \y=-y \z=-z yz平面での点対称移動
<北極)=<..
1) ⇒ <.. -1)=<南極)
<インド)=<1 ..) ⇒ <1 ..)=<インド) ★ インドは戻って来る{!}
<太平洋)=<.
1 .) ⇒ <. -1 .)=<アフリカ)
{素晴らしい、実験と一致した!2013/1}