お勉強しようwithUz 数学.行列

2016/2-2013/5 Yuji.W

正規直交基底

ベクトル<A> 座標単位ベクトル<xu> 縦ベクトル<A) 内積* 外積#
微分;x 
時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 物理定数 .

◇線型変換、基底ベクトル◇

◎ 2次元 平面

■ 平面上の点の座標 (x,y)

座標単位ベクトル <xu),<yu) とすれば、

 (x,y) ⇔ <xu)*x+<yu)*y

■ 行列 [A]=[a b|c d]=[<A1) & <A2)] を使って、

 線型変換 [A]*<x y)=<X Y)

X,Y は、x,y の1次式 x=y=0 のとき X=Y=0

※ 平行移動は、扱えない

<xu)=<1 0) <yu>=<0 1) だから、

 [A]*<xu)=<A1)*1+<A2)*0=<A1)

 [A]*<0 1)=<A2)

[A]を使った変換 ⇔ <A1),<A2) を新しい座標軸とする変換

基底ベクトル <A1),<A2)

★ [A]=[1 1|-1 1] det[A]=2 <X Y)=[A]*<x y)=<1 -1)*x+<1 1)*y

 <1 -1>*<1 1)=1-1=0 <1 -1)⊥<1 1)

原点を中心に、右回りに45°回転 原点までの距離が root2 倍

直交行列

◎ 2行2列行列 平面上の線型変換

直交行列 [U]=[a b|c d] 基底ベクトル <U1)=<a c) <U2)=<b d)

 |<U1)|=1 |<U2)|=1 <U1)⊥<U2)

成分で表せば、

a^2=d^2 & b^2=c^2 & a^2+b^2=1 & a*c+b*d=a*b+c*d=0

具体的には、次の4種類しかない

@ [U1]=[cos(t) -sin(t)|sin(t) cos(t)]=[R(t)] 回転移動

A [U2]=[cos(t) sin(t)|-sin(t) cos(t)]=[R(-t)] 回転移動

B [U3]=[cos(t) sin(t)|sin(t) -cos(t)] @+上下対称移動

C [U4]=[cos(t) -sin(t)|-sin(t) -cos(t)] A+上下対称移動

■ [U]の転置行列 [Ut] [U]の逆行列 [Ui] [Ut]=[Ui]

◇ベクトルの内積◇

■【 ベクトルと縦ベクトルとの内積 】

<A>=<a b> <B)=<x y) 内積 <A>*<B)=a*x+b*y

また |<A>|=A |<B)|=B <A>と<B)が作る角 ∠AOB とすれば、

 内積 <A>*<B)=A*B*cos(∠AOB)

■【 縦ベクトル同士の内積 】

<A)=<a b) <B)=<x y) 内積 <A)*<B)=a*x+b*y とする

また <A)*<B)=A*B*cos(∠AOB)

■ <A)*<A)=A^2*cos(∠AOB)=A^2*cos(0)=A^2

{復習}空間上の直交ベクトル

『空間上の直交ベクトル』 2016/2

◆ 空間上の3つの任意のベクトル <A>,<B>,<C>

その3つを基に直交する3つのベクトル <A>,<R1>,<R2>を作る

 <R1>=<<A>と<B>が作る平面上にあり、<A>と直交する>

 <R2>=<<A>と<R1>に直交する> ※ 大きさは任意

■ <R1> ∝ <B>-<A>*(<A>*<B>)/A^2

 <R2> ∝ <C>-<A>*(<A>*<C>)/A^2-<R1>*(<R1>*<C>)/R1^2

{別解} 外積を使って <R2> ∝ <A>#<B>

◇直交基底◇

『直交基底』

◆ 3つの任意の縦ベクトル <A),<B),<C) を基に、3つの直交するベクトルを作る <A),<R1),<R2) ※ 大きさは任意

ただし <R1)=<A)*a+<B)*b〔a,b:定数〕<R1)は<A)と<B)が作る平面上

■ <R1) ∝ <B)-<A)*[<A)*<B)]/A^2

 <R2) ∝ <C)-<A)*[<A)*<C)]/A^2-<R1)*[<R1)*<C)]/R1^2

{別解} 外積を使って <R2) ∝ <A)#<B)

★ <A)=<2 0 0) <B)=<1 1 1) <C)=<3 0 3) ‖

 <A)*(<A)*<B))/A^2=<2 0 0)*2/4=<1 0 0)

 <R1) ∝ <1 1 1)-<1 0 0)=<0 1 1)

 <A)*[<A)*<C)]/A^2=<2 0 0)*6/4=<3 0 0)
 <R1)*[<R1)*<C)]/R1^2=<0 1 1)*3/2=<0 3/2 3/2)

 <R2> ∝ <3 0 3)-<3 0 0)-<0 3/2 3/2)=<0 -3/2 3/2) ∝ <0 -1 1)

{別解} <R2) ∝ <2 0 0)#<1 1 1)=<0 -2 2) ∝ <0 -1 1)

☆正規直交基底を作る☆

正規直交基底 <u1),<u2),<u3)

 u1=u2=u3=1 <u1)*<u2)=<u2)*<u3)=<u3)*<u1)=0

前項の直交基底を作る方法で、直交基底を3つ作り、その大きさを 1 にすればよい。

『正規直交基底を作る』シュミットの正規直交化法 2016/2

正規直交基底 <u1),<u2),<u3)

 u1=u2=u3=1 <u1)*<u2)=<u2)*<u3)=<u3)*<u1)=0

◆ 線型独立な3つのベクトル <v1),<v2),<v3) を基に、次のような正規直交基底 <u1),<u2),<u3) を作る

 <u1> ∝ <v1) <u2) ∝ <v1)と<v2)が作る平面上にある

■ <u1)=<v1)/v1

 <u2) ∝ <v2)-<u1)*[<v2)*<u1)] 大きさを 1 にして <u2)

 <u3) ∝ <v3)-<u1)*[<v3)*<u1)]-<u2)*[<v3)*<u2)]

{別解} <u3) ∝ <v1)#<v2)

★ <v1)=<0 1 1) <v2)=<1 0 1) <v3)=<1 1 0)

 <u1)=<0 1 1)/√2

 <u2)
∝ <1 0 1)-(<1 0 1)*<0 1 1))*<0 1 1)/2
=<1 0 1)-1*<0 1 1)/2
=<1 -1/2 1/2)
∝ <2 -1 1)

 <u2)=<2 -1 1)/√6

 <u3) ∝ <u1)#<u2)=<0 1 1)#<2 -1 1)=<2 2 -2) ∝ <1 1 -1)

 <u3)=<1 1 -1)/√3

まとめて <u1)=<0 1 1)/√2 <u2)=<2 -1 1)/√6 <u3)=<1 1 -1)/√3

  正規直交基底  

inserted by FC2 system