☆ 正規直交基底 ☆

《 お勉強しよう　数学　行列,テンソル 》

〇 3つの直交するベクトルを作る　2022.11　Yuji.W　★　

◇ 2*3=6　Ten(3)=10^3=1000　微分 ;　偏微分 :　積分 $　e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A>　縦ベクトル <A)　単位ベクトル <xu>　内積 *　外積 #　

〓　縦ベクトルどうしの内積と外積　〓　

◎ 3次元について考える

〇 ベクトル　<A>=<Ax Ay Az>　<B>=<Bx By Bz>　

縦ベクトル　<A)=<Ax Ay Az)　<B)=<Bx By Bz)　

※ 普通のベクトルと縦ベクトルとは、表記が違うだけで、成分も意味も同じ

〇 内積　<A>*<B>=<A>*<B)=Ax*Bx+Ay*By+Az*Bz　

外積　<A>#<B>=<Ay*Bz-Az*By  Az*Bx-Ax*Bz  Ax*By-Ay*Bx>

〇 縦ベクトルどうしの内積と外積も、次のように定義する

内積　<A)*<B)=Ax*Bx+Ay*By+Az*Bz　★　

外積　<A)#<B)=<Ay*Bz-Az*By  Az*Bx-Ax*Bz  Ax*By-Ay*Bx)　★　

〓　正規直交基底を作る　〓　

▢ 大きさが 1 の3つのベクトル <Au) , <Bu) , <Cu)　

② <A2)　<Au) と <Bu) とが作る平面上にあり、 <Au) に垂直
③ <A3)　①と②に垂直

さらに　<A2u)=<A2)/|<A2)|　<A3u)=<A3)/|<A3)|　

▷ ②は、<Bu> から、<Bu> の <Au>方向成分を引けばよいから、

　<A2)=<Bu)-<Au)*(<Au)*<Bu))　★　

外積　<A3)=<Au)#<A2)

後は、<A2) と <A3) の大きさを定めればよい

〓　{計算例}正規直交基底を作る　〓　

▢ <Au)=<1 0 0)　<Bu)=<1 1 1)/√3　<Cu)=<1 0 1)/√2　

▷ <Au)*<Bu)=<1 0 0)*<1 1 1)/√3=1/√3

　<A2)=<1 1 1)/√3-<1 0 0)/√3=<0 1 1)/√3　<A2u)=<0 1 1)/√2

　<A3)=<Au)#<A2)=<1 0 0)#<0 1 1)/√3=<0 -1 1)/√3　<A3u)=<0 -1 1)/√2

≫　<Au)=<1 0 0)　<A2u)=<0 1 1)/√2　<A3u)=<0 -1 1)/√2　★　

▢ <Au)=<0 1 1)/√2　<Bu)=<1 0 1)/√2　<Cu)=<1 1 0)/√2

▷ <Au)*<Bu)=<0 1 1)*<1 0 1)/2=1/2

　<A2)=<1 0 1)/√2-<0 1 1)/√2/2∝<2 -1 1)　<A2u)=<2 -1 1)/√6

　<A3)∝<0 1 1)#<2 -1 1)=<2 2 -2)∝<1 1 -1)　<A3u)=<1 1 -1)/√3

≫　<Au)=<0 1 1)/√2　<A2u)=<2 -1 1)/√6　<A3u)=<1 1 -1)/√3　★　

☆ お勉強しよう　since2011　Yuji.W