◎ 行列　2行2列　積

ベクトル<A>　座標単位ベクトル<xu>　縦ベクトル<A)　内積*　外積#
微分;x　時間微分'　10^x=Ten(x)　exp(i*x)=expi(x)　〔物理定数〕 ★.

◎ 縦ベクトルを活用するとよい

　[a b|c d]=[<a b>|<c d>]=[<a c) & <b d)]

　[e f|g h]=[<e f>|<g h>]=[<e g) & <f h)]

■【 分配法則 】

　[<a c) & <b d)]*<x y)=<a c)*x+<b d)*y ★.

　<x y>*[<a b>|<c d>]=x*<a b>+y*<c d> ★.

　[A]*[<B1) & <B2)]=[[A]*<B1) & [A]*<B2)] ★.

　[<A1>|<A2>]*[B]=[<A1>*[B]|<A2>*[B]] ★.

{こういう表現はあまり書いてないが、役に立つ!2016/2}

■ [a b|c d]*[e f|g h]
=[a b|c d]*[<e g)　&　<f h)]
=[[a b|c d]*<e g)　&　[a b|c d]*<f h)]
=[<a*e+b*g　c*e+d*g)　&　<a*f+b*h　c*f+d*h)]
=[a*e+b*g　a*f+b*h|c*e+d*g　c*f+d*h] ★.

◆ [A]=[a b|c d]　[A]の逆行列 [Ai]　単位行列 [1 0|0 1]

　[A]*[Ai]=[Ai]*[A]=[E]

■ [Ai]=[d -b|-c a]/(a*d-b*c) ★.

{確かめ}　[A]*[Ai]
=[[A]*<d -c)　&　[A]*<-b a)]/(a*d-b*c)
=[<a c)*d-<b d)*c　&　-<a c)*b+<b d)*a)]/(a*d-b*c)
=[<a*d-b*c　0)　&　<0　a*d-b*c)]/(a*d-b*c)
=[<a*d-b*c　0)　&　<0　a*d-b*c)]/(a*d-b*c)
=[<1 0) & <0 1)]
=[1 0|0 1]

◆ 対称行列 [A]=[a b|b c]

■ [Ai]=[c -b|-b a]/(a*c-b^2) ★.

■ ([A]*[B])*[C]=[A]*([B]*[C])  積の順番は変えてよい。

ただし一般に、[A]*[B]=[B]*[A] は、成り立たない。

{証明}　2行2列で証明する。

　[A]=[a b|c d]　[B]=[e f|g h]　[C]=[m n|o p]

　[A]*[B]=[a*e+b*g　a*f+b*h|…　…]　だから、

　([A]*[B])*[C]
=[(a*e+b*g)*m+(a*f+b*h)*o　…|…　…]
=[a*e*m+b*g*m+a*f*o+b*h*o　…|…　…]

　[B]*[C]=[e*m+f*o　…|g*m+h*o　…]　だから、

　[A]*([B]*[C])
=[a*(e*m+f*o)+b*(g*m+h*o)　…|…　…]
=[a*e*m+a*f*o+b*g*m+b*h*o　…|…　…] 

■ 行列の式の意味

　[A]=[B]　すべての対応する成分がそれぞれ等しい

　[A]=[O]　すべての成分が 0 である(O：ゼロ行列)

　[A]+[B]　すべての対応する成分の数値を足す

　[A]-[B]　すべての対応する成分の数値を引く

　k*[A]　[A] のすべての成分を k倍する

■ [A]*([B]+[C])=[A]*[B]+[A]*[C]

　([A]+[B])*[C]=[A]*[C]+[B]*[C]

　(k*[A])*[B]=[A]*(k*[B])=k*([A]*[B])

◆ [A]=[a b|c d]=[<a c) & <b d)]=[<A1) & <A2)]

■ 行列式 det[A]=a*d-b*c

　|det[A]|=[4点 原点,<A1),<A2),<A1)+<A2) を順に結ぶ平行四辺形の面積]

■ [A]の転置行列 [At]=[a c|b d]　det[At]=det[A]

■ det[c d|a b]=b*c-a*d=-det[a b|c d]

■ det[a b|a b]=a*b-a*b=0

■ det[a+h　b+g|c d]
=(a+h)*d-(b+g)*c
=(a*d-b*c)+(h*d-g*c)
=det[a b|c d]+det[h g|c d]

■ det[a+c　b+d|c d]=(a+c)*d-(b+d)*c=a*d-b*c=det[a b|c d]

■ det[k*a　k*b|c d]=k*(a*d-b*c)=k*det[a b|c d]

■ det(k*[A])
=det[k*a k*b|k*c k*d]
=k^2*(a*d-b*c)
=k^2*det[A]

■ det([A]*[B])=det[A]*det[B]

{証明}　[A]=[a b|c d]　[B]=[e f|g h]

左辺は、[A]*[B]=[a*e+b*g　a*f+b*h|c*e+d*g　c*f+d*h]　だから、

　det[[A]*[B]]
=(a*e+b*g)*(c*f+d*h)-(a*f+b*h)*(c*e+d*g)
=(a*c*e*f+a*d*e*h+b*c*f*g+b*d*g*h)
-(a*c*e*f+a*d*f*g+b*c*e*h+b*d*g*h)
=a*b*e*h-a*d*f*g-b*c*e*h+b*c*f*g　�@

右辺は、

　det[A]*det[B]
=(a*d-b*c)*(e*h-f*g)
=a*b*e*h-a*d*f*g-b*c*e*h+b*c*f*g　�A

�@=�A　det([A]*[B])=det[A]*det[B]

■ [A]*[Ai]=[E]　det[A]*det[Ai]=det([A]*[Ai])=det[E]=1

■

■ <a b>の転置=<a b)

■ [A]=[a b|c d]　[A] の転置行列 [At]=[a c|b d]

[[A]*[B] の転置行列]=[Bt]*[At] ★.{よく使う公式!2013/5}

{証明}　2行2列で証明する。

　[A]=[a b|c d]　[B]=[e f|g h|

　[A]*[B]=[a*e+b*g　a*f+b*h|c*e+d*g　c*f+d*h]

　[[A]*[B]の転置行列]=[a*e+b*g　c*e+d*g|a*f+b*h　c*f+d*h]

　[Bt]*[At]
=[e g|f h]*[a c|b d]
=[a*e+b*g　c*e+d*g|a*f+b*h　c*f+d*h]

■ [[A]*[B]*[C] の転置行列]=[Ct]*[Bt]*[At] ★.

{証明}　左辺=[Ct]*[([A]*[B])の転置行列]=[Ct]*[Bt]*[At]

■ [A]*<e g)の転置=<e g>*[At] ★.

　<e g>*[A]の転置=[At]*<e g) ★.

■ [a b|c d]*<e g)の転置
=<e g>* [a c|b d] ★.
=e*<a c>+g*<b d>
=<a*e+b*g　c*e+d*g>

■ [A]=[a b|c d]　平面上の任意の2点 (x,y),(X,Y) が、次の関係を満たす

　<X Y)=[A]*<x y)

直線は、移動後も直線になる。ただし、not[det[A]=0]

{証明}　移動前の3点　(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)

移動後　(X1,Y1),(X2,Y2),(X3,Y3)

　それぞれの点で、X=a*x+b*y　Y=c*x+d*y　が成り立つ。

元の平面で3点が直線上にある、すなわち、

　(y1-y2)/(x1-x2)=(y2-y3)/(x2-x3) のとき、

　(y1-y2)*(x2-x3)=(y2-y3)*(x1-x2)

移動後の3点で、次の式が成り立つことを言えばよい。

　(Y1-Y2)/(X1-X2)=(Y2-Y3)/(X2-X3)

　左辺=[(c*x1+d*y1)-((c*x2+d*y2))]/[(a*x1+b*y1)-(a*x2+b*y2)]
=[(c*(x1-x2)+d*(y1-y2)]/[a*(x1-x2)+b*(y1-y2)]

分母・分子に (x2-x3) を掛けると、

　左辺=[(c*(x1-x2)*(x2-x3)+d*(y1-y2)*(x2-x3)]
/[a*(x1-x2)*(x2-x3)+b*(y1-y2)*(x2-x3)]

(y1-y2)*(x2-x3) を消去すると、

　左辺=[(c*(x1-x2)*(x2-x3)+d*(y2-y3)*(x1-x2)]
/[a*(x1-x2)*(x2-x3)+b*(y2-y3)*(x1-x2)]
=[(c*(x2-x3)+d*(y2-y3)]/[a*(x2-x3)+b*(y2-y3)]
=[(c*x2+d*y2)-(c*x3+d*y3)]/[(a*x2+b*y2)-(a*x3+b*y3)]
=(Y2-Y3)/(X2-X3)=右辺　{素晴らしい、できた！2013/1}

-----　別解　-----

直線 p*x+q*y+r=0　[Ai]=[d -b|-c a]/det[A]

　<x y)=[Ai]*<X Y)=<d*X-b*Y　-c*X+a*Y)/det[A]

元の直線の式に代入して

　p*(d*X-b*Y)/det[A]+q*(-c*X+a*Y)det[A]+r=0

　p*d*X-p*b*Y-q*c*X+q*a*Y+r*det[A]=0

　(p*d-q*c)*X+(-p*b+q*a)*Y+r*det[A]=0　直線　』

■ 回転移動行列 [R]=[cos(a) -sin(a)|sin(a) cos(a)]　det[R]=cos(a)^2+sin(a)^2=1

基底ベクトル <cos(a) sin(a)) , <-sin(a) cos(a))　原点を中心に、左回りに角度 a だけ回転

■ 45°回転 [R(45°)]
=[cos(45°)　-sin(45°)|sin(45°)　cos(45°)]
=[1 -1|1 1]/root2

　その逆行列 [Ri(45°)]=[R(-45°)]=[1 1|-1 1]/root2

　x=(X+Y)/root2　y=(-X+Y)/root2

以下、45°回転の例

★ y=3*x　(-X+Y)/root2=3*(X+Y)/root2　Y=-2*X

★ y=x^2　(-X+Y)/root2=(X+Y)^2/2

　X^2+2*X*Y+Y^2+root2*X-root*Y=0

{元の形に直す方法を考えたくなる!}

★ 楕円 x^2/4+y^2/9=1

　(X+Y)^2/4+(-X+Y)^2/9=2

　9*(X+Y)^2+4*(-X+Y)^2=72

　13*X^2+10*X*Y+13*Y^2=72

{元の形に直す方法を考えたくなる!}

◎ 2次元　平面

■ 平面上の点の座標 (x,y)

座標単位ベクトル <xu),<yu) とすれば、

　(x,y)　⇔　<xu)*x+<yu)*y

■ 行列 [A]=[a b|c d]=[<A1) & <A2)]　を使って、

　線型変換 [A]*<x y)=<X Y)

X,Y は、x,y の1次式　x=y=0 のとき X=Y=0

※ 平行移動は、扱えない

<xu)=<1 0)　<yu>=<0 1)　だから、

　[A]*<xu)=<A1)*1+<A2)*0=<A1)

　[A]*<0 1)=<A2)

[A]を使った変換　⇔　<A1),<A2) を新しい座標軸とする変換

基底ベクトル <A1),<A2)

★ [A]=[1 1|-1 1]　det[A]=2　<X Y)=[A]*<x y)=<1 -1)*x+<1 1)*y

　<1 -1>*<1 1)=1-1=0　<1 -1)⊥<1 1)

原点を中心に、右回りに45°回転　原点までの距離が root2 倍

　★　行列.2行2列　★