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◎ 行列 2行2列 積 |
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ベクトル<A> 座標単位ベクトル<xu> 縦ベクトル<A) 内積* 外積# |
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◎ 縦ベクトルを活用するとよい
[a b|c d]=[<a b>|<c d>]=[<a c) & <b d)] [e f|g h]=[<e f>|<g h>]=[<e g) & <f h)] ■【 分配法則 】 [<a c) & <b d)]*<x y)=<a c)*x+<b d)*y ★. <x y>*[<a b>|<c d>]=x*<a b>+y*<c d> ★. [A]*[<B1) & <B2)]=[[A]*<B1) & [A]*<B2)] ★. [<A1>|<A2>]*[B]=[<A1>*[B]|<A2>*[B]] ★. {こういう表現はあまり書いてないが、役に立つ!2016/2} ■
[a
b|c d]*[e f|g
h] |
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◆ [A]=[a b|c d] [A]の逆行列 [Ai] 単位行列 [1 0|0 1] [A]*[Ai]=[Ai]*[A]=[E] ■ [Ai]=[d -b|-c a]/(a*d-b*c) ★. {確かめ} [A]*[Ai] ◆ 対称行列 [A]=[a b|b c] ■ [Ai]=[c -b|-b a]/(a*c-b^2) ★. |
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■ ([A]*[B])*[C]=[A]*([B]*[C]) 積の順番は変えてよい。 ただし一般に、[A]*[B]=[B]*[A] は、成り立たない。 {証明} 2行2列で証明する。 [A]=[a b|c d] [B]=[e f|g h] [C]=[m n|o p] [A]*[B]=[a*e+b*g a*f+b*h|… …] だから、 ([A]*[B])*[C] [B]*[C]=[e*m+f*o …|g*m+h*o …] だから、 [A]*([B]*[C]) ■ 行列の式の意味 [A]=[B] すべての対応する成分がそれぞれ等しい [A]=[O] すべての成分が 0 である(O:ゼロ行列) [A]+[B] すべての対応する成分の数値を足す [A]-[B] すべての対応する成分の数値を引く k*[A] [A] のすべての成分を k倍する ■ [A]*([B]+[C])=[A]*[B]+[A]*[C] ([A]+[B])*[C]=[A]*[C]+[B]*[C] (k*[A])*[B]=[A]*(k*[B])=k*([A]*[B]) |
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◆ [A]=[a b|c d]=[<a c) & <b d)]=[<A1) & <A2)] ■ 行列式 det[A]=a*d-b*c |det[A]|=[4点 原点,<A1),<A2),<A1)+<A2) を順に結ぶ平行四辺形の面積] ■ [A]の転置行列 [At]=[a c|b d] det[At]=det[A] ■ det[c d|a b]=b*c-a*d=-det[a b|c d] ■ det[a b|a b]=a*b-a*b=0 ■
det[a+h b+g|c d] ■ det[a+c b+d|c d]=(a+c)*d-(b+d)*c=a*d-b*c=det[a b|c d] ■ det[k*a k*b|c d]=k*(a*d-b*c)=k*det[a b|c d] ■
det(k*[A]) ■ det([A]*[B])=det[A]*det[B] {証明} [A]=[a b|c d] [B]=[e f|g h] 左辺は、[A]*[B]=[a*e+b*g a*f+b*h|c*e+d*g c*f+d*h] だから、 det[[A]*[B]] 右辺は、 det[A]*det[B] @=A det([A]*[B])=det[A]*det[B] ■ [A]*[Ai]=[E] det[A]*det[Ai]=det([A]*[Ai])=det[E]=1
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■ <a b>の転置=<a b) ■ [A]=[a b|c d] [A] の転置行列 [At]=[a c|b d] [[A]*[B] の転置行列]=[Bt]*[At] ★.{よく使う公式!2013/5} {証明} 2行2列で証明する。 [A]=[a b|c d] [B]=[e f|g h| [A]*[B]=[a*e+b*g a*f+b*h|c*e+d*g c*f+d*h] [[A]*[B]の転置行列]=[a*e+b*g c*e+d*g|a*f+b*h c*f+d*h] [Bt]*[At] ■ [[A]*[B]*[C] の転置行列]=[Ct]*[Bt]*[At] ★. {証明} 左辺=[Ct]*[([A]*[B])の転置行列]=[Ct]*[Bt]*[At] ■ [A]*<e g)の転置=<e g>*[At] ★. <e g>*[A]の転置=[At]*<e g) ★. ■
[a
b|c d]*<e
g)の転置 |
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■ [A]=[a b|c d] 平面上の任意の2点 (x,y),(X,Y) が、次の関係を満たす <X Y)=[A]*<x y) 直線は、移動後も直線になる。ただし、not[det[A]=0] {証明} 移動前の3点 (x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 移動後 (X1,Y1),(X2,Y2),(X3,Y3) それぞれの点で、X=a*x+b*y Y=c*x+d*y が成り立つ。 元の平面で3点が直線上にある、すなわち、 (y1-y2)/(x1-x2)=(y2-y3)/(x2-x3) のとき、 (y1-y2)*(x2-x3)=(y2-y3)*(x1-x2) 移動後の3点で、次の式が成り立つことを言えばよい。 (Y1-Y2)/(X1-X2)=(Y2-Y3)/(X2-X3) 左辺=[(c*x1+d*y1)-((c*x2+d*y2))]/[(a*x1+b*y1)-(a*x2+b*y2)] 分母・分子に (x2-x3) を掛けると、 左辺=[(c*(x1-x2)*(x2-x3)+d*(y1-y2)*(x2-x3)] (y1-y2)*(x2-x3) を消去すると、 左辺=[(c*(x1-x2)*(x2-x3)+d*(y2-y3)*(x1-x2)] ----- 別解 ----- 直線 p*x+q*y+r=0 [Ai]=[d -b|-c a]/det[A] <x y)=[Ai]*<X Y)=<d*X-b*Y -c*X+a*Y)/det[A] 元の直線の式に代入して p*(d*X-b*Y)/det[A]+q*(-c*X+a*Y)det[A]+r=0 p*d*X-p*b*Y-q*c*X+q*a*Y+r*det[A]=0 (p*d-q*c)*X+(-p*b+q*a)*Y+r*det[A]=0 直線 』 |
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■ 回転移動行列 [R]=[cos(a) -sin(a)|sin(a) cos(a)] det[R]=cos(a)^2+sin(a)^2=1 基底ベクトル <cos(a) sin(a)) , <-sin(a) cos(a)) 原点を中心に、左回りに角度 a だけ回転 ■
45°回転
[R(45°)] その逆行列 [Ri(45°)]=[R(-45°)]=[1 1|-1 1]/root2 x=(X+Y)/root2 y=(-X+Y)/root2 以下、45°回転の例 ★ y=3*x (-X+Y)/root2=3*(X+Y)/root2 Y=-2*X ★ y=x^2 (-X+Y)/root2=(X+Y)^2/2 X^2+2*X*Y+Y^2+root2*X-root*Y=0 {元の形に直す方法を考えたくなる!} ★ 楕円 x^2/4+y^2/9=1 (X+Y)^2/4+(-X+Y)^2/9=2 9*(X+Y)^2+4*(-X+Y)^2=72 13*X^2+10*X*Y+13*Y^2=72 {元の形に直す方法を考えたくなる!} |
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◎ 2次元 平面 ■ 平面上の点の座標 (x,y) 座標単位ベクトル <xu),<yu) とすれば、 (x,y) ⇔ <xu)*x+<yu)*y ■ 行列 [A]=[a b|c d]=[<A1) & <A2)] を使って、 線型変換 [A]*<x y)=<X Y) X,Y は、x,y の1次式 x=y=0 のとき X=Y=0 ※ 平行移動は、扱えない <xu)=<1 0) <yu>=<0 1) だから、 [A]*<xu)=<A1)*1+<A2)*0=<A1) [A]*<0 1)=<A2) [A]を使った変換 ⇔ <A1),<A2) を新しい座標軸とする変換 基底ベクトル <A1),<A2) ★ [A]=[1 1|-1 1] det[A]=2 <X Y)=[A]*<x y)=<1 -1)*x+<1 1)*y <1 -1>*<1 1)=1-1=0 <1 -1)⊥<1 1) 原点を中心に、右回りに45°回転 原点までの距離が root2 倍 |
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★ 行列.2行2列 ★ |