お勉強しようwithUz 数学.行列

2016/2-2012/6 Yuji.W

☆行列.2行2列☆

◎ 行列 2行2列 積

ベクトル<A> 座標単位ベクトル<xu> 縦ベクトル<A) 内積* 外積#
微分;x 
時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 物理定数 .

☆2行2列行列、行列の積☆

◎ 縦ベクトルを活用するとよい

◆ 2行2列行列 [A]=[

a

 b

]=[a b|c d]

c

 d

 [a b|c d]=[<a b>|<c d>]=[<a c) & <b d)]

 [e f|g h]=[<e f>|<g h>]=[<e g) & <f h)]

■【 分配法則 】

 [<a c) & <b d)]*<x y)=<a c)*x+<b d)*y .

 <x y>*[<a b>|<c d>]=x*<a b>+y*<c d> .

 [A]*[<B1) & <B2)]=[[A]*<B1) & [A]*<B2)] .

 [<A1>|<A2>]*[B]=[<A1>*[B]|<A2>*[B]] .

{こういう表現はあまり書いてないが、役に立つ!2016/2}

■ [a b|c d]*[e f|g h]
=[a b|c d]*[<e g) & <f h)]
=[[a b|c d]*<e g) & [a b|c d]*<f h)]
=[<a*e+b*g c*e+d*g) & <a*f+b*h c*f+d*h)]
=[a*e+b*g a*f+b*h|c*e+d*g c*f+d*h] 
.

◇逆行列◇

◆ [A]=[a b|c d] [A]の逆行列 [Ai] 単位行列 [1 0|0 1]

 [A]*[Ai]=[Ai]*[A]=[E]

■ [Ai]=[d -b|-c a]/(a*d-b*c) .

{確かめ} [A]*[Ai]
=[[A]*<d -c) & [A]*<-b a)]/(a*d-b*c)
=[<a c)*d-<b d)*c & -<a c)*b+<b d)*a)]/(a*d-b*c)
=[<a*d-b*c 0) & <0 a*d-b*c)]/(a*d-b*c)
=[<a*d-b*c 0) & <0 a*d-b*c)]/(a*d-b*c)
=[<1 0) & <0 1)]
=[1 0|0 1]

◆ 対称行列 [A]=[a b|b c]

■ [Ai]=[c -b|-b a]/(a*c-b^2) .

☆行列☆

■ ([A]*[B])*[C]=[A]*([B]*[C])  積の順番は変えてよい。

ただし一般に、[A]*[B]=[B]*[A] は、成り立たない。

{証明} 2行2列で証明する。

 [A]=[a b|c d] [B]=[e f|g h] [C]=[m n|o p]

 [A]*[B]=[a*e+b*g a*f+b*h|… …] だから、

 ([A]*[B])*[C]
=[(a*e+b*g)*m+(a*f+b*h)*o …|… …]
=[a*e*m+b*g*m+a*f*o+b*h*o …|… …]

 [B]*[C]=[e*m+f*o …|g*m+h*o …] だから、

 [A]*([B]*[C])
=[a*(e*m+f*o)+b*(g*m+h*o) …|… …]
=[a*e*m+a*f*o+b*g*m+b*h*o …|… …] 

■ 行列の式の意味

 [A]=[B] すべての対応する成分がそれぞれ等しい

 [A]=[O] すべての成分が 0 である(O:ゼロ行列)

 [A]+[B] すべての対応する成分の数値を足す

 [A]-[B] すべての対応する成分の数値を引く

 k*[A] [A] のすべての成分を k倍する

■ [A]*([B]+[C])=[A]*[B]+[A]*[C]

 ([A]+[B])*[C]=[A]*[C]+[B]*[C]

 (k*[A])*[B]=[A]*(k*[B])=k*([A]*[B])

☆行列式☆

◆ [A]=[a b|c d]=[<a c) & <b d)]=[<A1) & <A2)]

行列式 det[A]=a*d-b*c

 |det[A]|=[4点 原点,<A1),<A2),<A1)+<A2) を順に結ぶ平行四辺形の面積]

■ [A]の転置行列 [At]=[a c|b d] det[At]=det[A]

■ det[c d|a b]=b*c-a*d=-det[a b|c d]

■ det[a b|a b]=a*b-a*b=0

■ det[a+h b+g|c d]
=(a+h)*d-(b+g)*c
=(a*d-b*c)+(h*d-g*c)
=det[a b|c d]+det[h g|c d]

■ det[a+c b+d|c d]=(a+c)*d-(b+d)*c=a*d-b*c=det[a b|c d]

■ det[k*a k*b|c d]=k*(a*d-b*c)=k*det[a b|c d]

■ det(k*[A])
=det[k*a k*b|k*c k*d]
=k^2*(a*d-b*c)
=k^2*det[A]

■ det([A]*[B])=det[A]*det[B]

{証明} [A]=[a b|c d] [B]=[e f|g h]

左辺は、[A]*[B]=[a*e+b*g a*f+b*h|c*e+d*g c*f+d*h] だから、

 det[[A]*[B]]
=(a*e+b*g)*(c*f+d*h)-(a*f+b*h)*(c*e+d*g)
=(a*c*e*f+a*d*e*h+b*c*f*g+b*d*g*h)
-(a*c*e*f+a*d*f*g+b*c*e*h+b*d*g*h)
=a*b*e*h-a*d*f*g-b*c*e*h+b*c*f*g @

右辺は、

 det[A]*det[B]
=(a*d-b*c)*(e*h-f*g)
=a*b*e*h-a*d*f*g-b*c*e*h+b*c*f*g A

@=A det([A]*[B])=det[A]*det[B]

■ [A]*[Ai]=[E] det[A]*det[Ai]=det([A]*[Ai])=det[E]=1

『2行2列行列の行列式』 2016/2 [A]=[a b|c d]=[<a c) & <b d)]

行列式 det[A]=a*d-b*c

■ det[At]=det[A]

■ det[c d|a b]=-det[a b|c d]

■ det[a b|a b]=0

■ det[a+h b+g|c d]=det[a b|c d]+det[h g|c d]

■ det[a+c b+d|c d]=det[a b|c d]

■ det[k*a k*b|c d]=k*det[a b|c d]

■ det(k*[A])=k^2*det[A]

■ det([A]*[B])=det[A]*det[B]

■ det[A]*det[Ai]=1

☆転置行列☆

■ <a b>の転置=<a b)

■ [A]=[a b|c d] [A] の転置行列 [At]=[a c|b d]

[[A]*[B] の転置行列]=[Bt]*[At] .{よく使う公式!2013/5}

{証明} 2行2列で証明する。

 [A]=[a b|c d] [B]=[e f|g h|

 [A]*[B]=[a*e+b*g a*f+b*h|c*e+d*g c*f+d*h]

 [[A]*[B]の転置行列]=[a*e+b*g c*e+d*g|a*f+b*h c*f+d*h]

 [Bt]*[At]
=[e g|f h]*[a c|b d]
=[a*e+b*g c*e+d*g|a*f+b*h c*f+d*h]

■ [[A]*[B]*[C] の転置行列]=[Ct]*[Bt]*[At] .

{証明} 左辺=[Ct]*[([A]*[B])の転置行列]=[Ct]*[Bt]*[At]

■ [A]*<e g)の転置=<e g>*[At] .

 <e g>*[A]の転置=[At]*<e g) .

■ [a b|c d]*<e g)の転置
=<e g>* [a c|b d] 
.
=e*<a c>+g*<b d>
=<a*e+b*g c*e+d*g>

☆直線の移動☆

■ [A]=[a b|c d] 平面上の任意の2点 (x,y),(X,Y) が、次の関係を満たす

 <X Y)=[A]*<x y)

直線は、移動後も直線になる。ただし、not[det[A]=0]

{証明} 移動前の3点 (x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)

移動後 (X1,Y1),(X2,Y2),(X3,Y3)

 それぞれの点で、X=a*x+b*y Y=c*x+d*y が成り立つ。

元の平面で3点が直線上にある、すなわち、

 (y1-y2)/(x1-x2)=(y2-y3)/(x2-x3) のとき、

 (y1-y2)*(x2-x3)=(y2-y3)*(x1-x2)

移動後の3点で、次の式が成り立つことを言えばよい。

 (Y1-Y2)/(X1-X2)=(Y2-Y3)/(X2-X3)

 左辺=[(c*x1+d*y1)-((c*x2+d*y2))]/[(a*x1+b*y1)-(a*x2+b*y2)]
=[(c*(x1-x2)+d*(y1-y2)]/[a*(x1-x2)+b*(y1-y2)]

分母・分子に (x2-x3) を掛けると、

 左辺=[(c*(x1-x2)*(x2-x3)+d*(y1-y2)*(x2-x3)]
/[a*(x1-x2)*(x2-x3)+b*(y1-y2)*(x2-x3)]

(y1-y2)*(x2-x3) を消去すると、

 左辺=[(c*(x1-x2)*(x2-x3)+d*(y2-y3)*(x1-x2)]
/[a*(x1-x2)*(x2-x3)+b*(y2-y3)*(x1-x2)]
=[(c*(x2-x3)+d*(y2-y3)]/[a*(x2-x3)+b*(y2-y3)]
=[(c*x2+d*y2)-(c*x3+d*y3)]/[(a*x2+b*y2)-(a*x3+b*y3)]
=(Y2-Y3)/(X2-X3)=右辺 {素晴らしい、できた!2013/1}

----- 別解 -----

直線 p*x+q*y+r=0 [Ai]=[d -b|-c a]/det[A]

 <x y)=[Ai]*<X Y)=<d*X-b*Y -c*X+a*Y)/det[A]

元の直線の式に代入して

 p*(d*X-b*Y)/det[A]+q*(-c*X+a*Y)det[A]+r=0

 p*d*X-p*b*Y-q*c*X+q*a*Y+r*det[A]=0

 (p*d-q*c)*X+(-p*b+q*a)*Y+r*det[A]=0 直線 』

☆回転移動☆

回転移動行列 [R]=[cos(a) -sin(a)|sin(a) cos(a)] det[R]=cos(a)^2+sin(a)^2=1

基底ベクトル <cos(a) sin(a)) , <-sin(a) cos(a)) 原点を中心に、左回りに角度 a だけ回転

■ 45°回転 [R(45°)]
=[cos(45°) -sin(45°)|sin(45°) cos(45°)]
=[1 -1|1 1]/root2

 その逆行列 [Ri(45°)]=[R(-45°)]=[1 1|-1 1]/root2

 x=(X+Y)/root2 y=(-X+Y)/root2

以下、45°回転の例

★ y=3*x (-X+Y)/root2=3*(X+Y)/root2 Y=-2*X

★ y=x^2 (-X+Y)/root2=(X+Y)^2/2

 X^2+2*X*Y+Y^2+root2*X-root*Y=0

{元の形に直す方法を考えたくなる!}

★ 楕円 x^2/4+y^2/9=1

 (X+Y)^2/4+(-X+Y)^2/9=2

 9*(X+Y)^2+4*(-X+Y)^2=72

 13*X^2+10*X*Y+13*Y^2=72

{元の形に直す方法を考えたくなる!}

◇線型変換、基底ベクトル◇

◎ 2次元 平面

■ 平面上の点の座標 (x,y)

座標単位ベクトル <xu),<yu) とすれば、

 (x,y) ⇔ <xu)*x+<yu)*y

■ 行列 [A]=[a b|c d]=[<A1) & <A2)] を使って、

 線型変換 [A]*<x y)=<X Y)

X,Y は、x,y の1次式 x=y=0 のとき X=Y=0

※ 平行移動は、扱えない

<xu)=<1 0) <yu>=<0 1) だから、

 [A]*<xu)=<A1)*1+<A2)*0=<A1)

 [A]*<0 1)=<A2)

[A]を使った変換 ⇔ <A1),<A2) を新しい座標軸とする変換

基底ベクトル <A1),<A2)

★ [A]=[1 1|-1 1] det[A]=2 <X Y)=[A]*<x y)=<1 -1)*x+<1 1)*y

 <1 -1>*<1 1)=1-1=0 <1 -1)⊥<1 1)

原点を中心に、右回りに45°回転 原点までの距離が root2 倍

  行列.2行2列  

inserted by FC2 system