お勉強しようwithUz 数学.行列

2016/2-2012/6 Yuji.W

☆行列の対角化.2行2列☆

◎ 行列 2行2列 固有値 対角化 diagonal matrix

ベクトル<A> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 積分${f(x)*dx} 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 物理定数 .

◇行列の対角化とは◇

2行2列対角行列 [h1 0|0 h2]

任意の2行2列行列 [A] 2行2列行列 [P] その逆行列 [Pi]

行列の対角化 [Pi]*[A]*[P] が対角行列になるようにしたい .

{まず目的をはっきりさせないといけない!2015/12}

◇対角行列◇

◎ 対角行列を作ると何が得するのか

対角行列 [h1 0|0 h2]

■ det[h1 0|0 h2]=h1*h2

 [h1 0|0 h2]の逆行列=[h2 0|0 h1]/(h1*h2)

■ [h1 0|0 h2]*<x y)=<h1 0)*x+<0 h2)*y=<h1*x h2*y)

■ [h1 0|0 h2]^2
=[h1 0|0 h2]*[h1 0|0 h2]
=[h1^2 0|0 h2^2]

 [h1 0|0 h2]^n=[h1^n 0|0 h2^n]


◆ 2行2列行列 [A]  2元2階微分方程式 <x y)''=-[A]*<x y)

 [Pi]*[A]*[P]=[h1 0|0 h2] とできたとしよう

■ [Pi]*[A]*[P]=[h1 0|0 h2] の左から [P] , 右から [Pi] を掛ければ、

 [A]=[P]*[h1 0|0 h2]*[Pi]

 <x y)''=-[P]*[h1 0|0 h2]*[Pi]*<x y)

左から [Pi] を掛けて、

 [Pi]*<x y)''=-[h1 0|0 h2]*[Pi]*<x y)

 [Pi]*<x y)=<X Y) と置くと、

 <X Y)''=-[h1 0|0 h2]*<X Y)=-<h1*X h2*Y)

 X''=-h1*X & Y''=-h2*Y .変数分離できた{素晴らしい!2015/11}

☆行列の対角化☆

『行列の対角化.2行2列』 2016/2 [A]=[a b|c d]

@ h^2-(a+d)*h+(a*d-b*c)=0 を解く 解 h1,h2

 h1+h2=a+d h1*h2=a*d-b*c

A [P]=[b b|h1-a h2-a] [Pi]=[h2-a -b|-h1+a b]/[b*(h2-h1)]

B [Pi]*[A]*[P]=[h1 0|0 h2] となる

{証明} [A]*[P]=[a b|c d]*[b b|h1-a h2-a]

 1行1列目=a*b+b*(h1-a)=b*h1

 1行2列目=a*b+b*(h2-a)=b*h2

 2行1列目=c*b+d*(h1-a)=-(a*d-b*c)+d*h1=-h1*h2+d*h1=h1*(d-h2)

 2行2列目=c*b+d*(h2-a)=-(a*d-b*c)+d*h2=-h1*h2+d*h2=h2*(d-h1)

 [A]*[P]=[b*h1 b*h2|h1*(d-h2) h2*(d-h1)] .

 [Pi]*[A]*[P]
=[h2-a -b|-h1+a b]*[b*h1 b*h2|h1*(d-h2) h2*(d-h1)]/[b*(h2-h1)]

ここで [h2-a -b|-h1+a b]*[b*h1 b*h2|h1*(d-h2) h2*(d-h1)]

 1行1列目
=(h2-a)*b*h1-b*h1*(d-h2)
=b*h1*(2*h2-a-d)
=b*h1*[2*h2-(h1+h2)]
=b*h1*(h2-h1)

 1行2列目=(h2-a)*b*h2-b*h2*(d-h1)=b*h2*[(h1+h2)-(a+d)]=0

 2行1列目=(-h1+a)*b*h1+b*h1*(d-h2)=0

 2行2列目
=(-h1+a)*b*h2+b*h2*(d-h1)
=b*h2*(a+d-2*h1)
=b*h2*[(h1+h2)-2*h1]
=b*h2*(h1-h2)

 [h2-a -b|-h1+a b]*[b*h1 b*h2|h1*(d-h2) h2*(d-h1)]
=[b*h1*(h2-h1) 0|0 b*h2*(h1-h2)]
=b*(h2-h1)*[h1 0|0 h2]

 [Pi]*[A]*[P]=b*(h2-h1)*[h1 0|0 h2]/[b*(h2-h1)]=[h1 0|0 h2] .

{できた!長い間の課題だった!意外と簡単だった!2016/2}

固有値,固有ベクトル

■ 次のような関係があるとき [A]*<x y)=h*<x y)

h を [A]の固有値 <x y) を [A]の固有ベクトル と言う

■ [A]=[a b|c d]

hの2次方程式 h^2-(a+d)*h+(a*d-b*c)=0 の解のひとつを h とすると、

 [A]*<b h-a)=h*<b h-a) h:固有値 <b h-a):固有ベクトル .

{証明}

 [A]*<b h-a)
=<a c)*b+<b d)*(h-a)
=<a*b+b*(h-a) b*c+d(h-a))
=<h*b h*d-(a*d-b*c))

ここで h*d-(a*d-b*c)=h*d+[h^2-(a+d)*h]=h*(h-a) だから、

 [A]*<b h-a)=<h*b h*(h-a))=h*<b h-a)

『固有値、固有ベクトル』 2016/2 [A]=[a b|c d]

■ [A]=[a b|c d]

hの2次方程式 h^2-(a+d)*h+(a*d-b*c)=0 の解のひとつを h

 [A]*<b h-a)=h*<b h-a) h:固有値 <b h-a):固有ベクトル

☆固有ベクトルと行列の対角化☆

◎ 固有ベクトルと行列の対角化の関係

◆ 固有値 h1,h2 [A]*<A1)=h1*<A1) [A]*<A2)=h2*<A2)

 [P]=[<A1) & <A2)] その逆行列 [Pi]

■ [A]*[P]
=[A]*[<A1) & <A2)]
=[[A]*<A1) & [A]*<A2)]
=[h1*<A1) & h2*<A2)]

≫ [A]*[P]=[h1*<A1) & h2*<A2)] @

一方 [P]*[h1 0|0 h2]=[<A1) & <A2)]*[h1 0|0 h2]

ここで、

<A1)=<a c) <A2)=<b d) [<A1) & <A2)]=[a b|c d] のとき、

 [<A1) & <A2)]*[h1 0|0 h2]
=[a b|c d]*[h1 0|0 h2]
=[h1*a h2*b|h1*c h2*d]
=[<h1*a h1*c) & <h2*b h2*d)]
=[h1*<a c) & h2*<b d)]
=[h1*<A1) & h2*<A2)]

≫ [<A1) & <A2)]*[h1 0|0 h2]=[h1*<A1) & h2*<A2)]

 [P]*[h1 0|0 h2]=[h1*<A1) & h2*<A2)] A

@Aより [A]*[P]=[P]*[h1 0|0 h2]

左から [Pi] を掛けて、

 [Pi]*[A]*[P]=[h1 0|0 h2] .

『固有ベクトルを行列の対角化』 2016/2

◆ 固有値 h1,h2 [A]*<A1)=h1*<A1) [A]*<A2)=h2*<A2)

 [P]=[<A1) & <A2)] その逆行列 [Pi]

■ [Pi]*[A]*[P]=[h1 0|0 h2]

☆不定の解を持つ2元1次連立方程式☆

◆ 特別な形の2元連立方程式 a*x+b*y=0 & c*x+d*y=0

■ 一般に、x=y=0 以外の解はない。係数に特別な関係 a/b=c/d がある場合にだけ、不定の解を持つ。x と y の値は定まらない。x と y の比は定まる。

 a/b=c/d ⇔ a*d-b*c=0 ⇔ x/y=-b/a=-d/c

◆ 特別な形の2元連立方程式 a*x+b*y=0 c*x+d*y=0

■ 次のように置く [a b|c d]=[A]

[a*x+b*y=0 & c*x+d*y=0] ⇔ [A]*<x y)=<0 0)

不定の解を持つとき det[A]=a*d-b*c=0 x/y=-b/a=-d/c

『不定の解を持つ2元1次連立方程式』 2016/2

◆ 2元連立方程式 a*x+b*y=0 & c*x+d*y=0

■ [a b|c d]=[A] det[A]=0 のときだけ、不定の解 x/y=-b/a=-d/c

固有値,固有ベクトル

◆ [A]=[a b|c d] [A]*<x y)=h*<x y)

■ h*<x y)=h*[E]*<x y) だから、

 ([A]-h*[E])*<x y)=<0 0)

一般に解は <x y)=<0 0) しかない。

det([A]-h*[E])=0 のときだけ、<x y)=<0 0) 以外の、不定の解を持つ。

ここで [A]-h*[E]=[a-h b|c d-h]

 det([A]-h*[E])=(a-h)*(d-h)-b*c=h^2-(a+d)*h+(a*d-b*c)

不定の解を持つためには h^2-(a+d)*h+(a*d-b*c)=0 .固有方程式

{計算例}

★ [A]=[3 2|1 4] [P]=[2 1|-1 1] [Pi]=[1 -1|1 2]/3

 [Pi]*[A]*[P]=[2 0|0 5]

★ [A]=[4 -3|-1 2] [P]=[1 -3|1 1] [Pi]=[1 3|-1 1]/4

 [Pi]*[A]*[P]=[1 0|0 5]

★ [A]=[1 3|-2 -4] [P]=[3 1|-2 -1] [Pi]=[1 1|-2 -3]

 [Pi]*[A]*[P]=[-1 0|0 -2]

★ [A]=[5 -6|2 -2] [P]=[3 2|2 1] [Pi]=[-1 2|2 -3]

 [Pi]*[A]*[P]=[1 0|0 2]

{計算例2}

★ [A]=[3 2|1 4]

 det[A]=10 固有方程式 h^2-7*h+10=0 固有値 2,5

固有ベクトル <2 2-3)=<2 -1) , <2 5-3)=<2 2) ⇔ <1 1)

 [P]=[<2 -1)&<1 1)]=[2 1|-1 1] det[P]=3 [Pi]=[1 -1|1 2]/3

{確かめ} [A]*[P]=[3 2|1 4]*[2 1|-1 1]=[4 5|-2 5]

 [Pi]*[A]*[P]=[1 -1|1 2]*[4 5|-2 5]/3=[6 0|0 15]/3=[2 0|0 5]

{素晴らしい!2014/7}

※ 固有ベクトルは、任意の定数倍が許される [P]=[<2 -1)&<2 2)] としてみよう

 [P]=[2 2|-1 2] det[P]=6 [Pi]=[2 -2|1 2]/6

 [A]*[P]=[3 2|1 4]*[2 2|-1 2]=[4 10|-2 10]

 [Pi]*[A]*[P]=[2 -2|1 2]*[4 10|-2 10]/6=[12 0|0 30]/6=[2 0|0 5]

{素晴らしい!2014/7}

★ [A]=[4 -3|-1 2]

 det[A]=5 固有方程式 h^2-6*h+5=0 固有値 1,5

固有ベクトル <-3 1-4)=<-3 -3) ⇔ <1 1) <-3 5-4)=<-3 1)

 [P]=[<1 1)&<-3 1)]=[1 -3|1 1] det[P]=4 [Pi]=[1 3|-1 1]/4

★ [A]=[1 3|-2 -4]

 det[A]=2 固有方程式 h^2+3*h+2=0 h=-1,-2

固有ベクトル <3 -1-1)=<3 -2) <3 -2-1)=<3 -3) ⇔ <1 -1)

 [P]=[<3 -2)&<1 -1)]=[3 1|-2 -1] det[P]=-1

 [Pi]=[-1 -1|2 3]/(-1)=[1 1|-2 -3]

★ [A]=[5 -6|2 -2]

 det[A]=2 固有方程式 h^2-3*h+2=0 h=1,2

固有ベクトル <-6 1-5)=<-6 -4) ⇔ <3 2) <-6 2-5)=<-6 -3) ⇔ <2 1)

 [P]=[3 2|2 1] det[P]=-1

 [Pi]=-[1 -2|-2 3]=[-1 2|2 -3]

{確かめ} [P]*[Pi]=[3 2|2 1]*[-1 2|2 -3]=[1 0|0 1]

 [A]*[P]=[5 -6|2 -2]*[3 2|2 1]=[3 4|2 2]

 [Pi]*[A]*[P]
=[-1 2|2 -3]*[3 4|2 2]
=[1 0|0 2]

直交行列

◎ 2行2列行列 平面上の線型変換

直交行列 [U]=[a b|c d] 基底ベクトル <U1)=<a c) <U2)=<b d)

 |<U1)|=1 |<U2)|=1 <U1)⊥<U2)

成分で表せば、

a^2=d^2 & b^2=c^2 & a^2+b^2=1 & a*c+b*d=a*b+c*d=0

具体的には、次の4種類しかない

@ [U1]=[cos(t) -sin(t)|sin(t) cos(t)]=[R(t)] 回転移動

A [U2]=[cos(t) sin(t)|-sin(t) cos(t)]=[R(-t)] 回転移動

B [U3]=[cos(t) sin(t)|sin(t) -cos(t)] @+上下対称移動

C [U4]=[cos(t) -sin(t)|-sin(t) -cos(t)] A+上下対称移動

■ [U]の転置行列 [Ut] [U]の逆行列 [Ui] [Ut]=[Ui]

◇2行2列対称行列の対角化◇

◆ 2行2列対称行列 [A]=[a b|b c]

■ 固有値=特性方程式の解 h1,h2

特性方程式 h^2-(a+c)*h+(a*c-b^2)=0 h1+h2=a+c h1*h2=a*c-b^2

固有ベクトル <b h1-a) , <b h2-a) ※ 定数倍してもよい

 <b h1-a)*<b h2-a)
=b^2+(h1-a)*(h2-a)
=b^2+h1*h2-a*(h1+h2)+a^2
=b^2+(a*c-b^2)-a*(a+c)+a^2
=b^2+a*c-b^2-a^2-a*c+a^2
=0
.対称行列の固有ベクトルは直交している

■ さらに 固有ベクトルの大きさが 1 になるようにすると、直交していて大きさが 1 の行列だから、次の4種類しかない。

@ [U1]=[cos(t) -sin(t)|sin(t) cos(t)]=[R(t)] 回転移動

A [U2]=[cos(t) sin(t)|-sin(t) cos(t)]=[R(-t)] 回転移動

B [U3]=[cos(t) sin(t)|sin(t) -cos(t)] @+上下対称移動

C [U4]=[cos(t) -sin(t)|-sin(t) -cos(t)] A+上下対称移動

 [U]の転置行列 [Ut] [U]の逆行列 [Ui] [Ut]=[Ui]

Aは@に、CはBに含まれるから、次の2種類だけ考えればよい。 .

 [U1]=[cos(t) -sin(t)|sin(t) cos(t)]
 [U3]=[cos(t) sin(t)|sin(t) -cos(t)]

{やっとわかってきたぞ!2016/2}

{まとめ}行列の対角化.2行2列

『行列の対角化.2行2列』 2016/2

◆ [A]=[a b|c d]

■ 特性方程式 h^2-(a+d)*h+(a*d-b*c)=0 その解 h1,h2

 h1+h2=a+d h1*h2=a*d-b*c

■ 固有値=特性方程式の解 h1,h2

 固有ベクトル <b h1-a) , <b h2-a)

 [A]*<b h1-a)=h1*<b h1-a) [A]*<b h2-a)=h2*<b h2-a)

 [P]=[<b h1-a) & <b h1-a)]=[b b|h1-a h2-a]

 [Pi]=[h2-a -b|-h1+a b]/[b*(h2-h1)]

 [Pi]*[A]*[P]=[h1 0|0 h2]

◆ 2行2列対称行列 [A]=[a b|b c]

■ 次の行列のどちらかで [Ui]*[A]*[U]=[h1 0|0 h2] とする事ができる。しかも [Ui]=[Ut] 逆行列=転置行列

パラメータ t cos(t)=C sin(t)=S と書くと、

 [U]=[C -S|S C] or [U]=[C S|S -C]

  行列の対角化.2行2列  

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