☆ 2行2列行列.対角化 ☆ |
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〇 2行2列行列 ★ 2024.2-2012.6 Yuji.W |
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◇ 2*3=6 Ten(3)=10^3=1000 微分 ; 偏微分 : 積分 $ e^(i*x)=expi(x) |
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〓 基底ベクトルの利用 〓 22.9 ● 内積 <a b>*<c d)=a*c+b*d ▢ 2行2列行列 [A]=[a b|c d] 基底ベクトル <A1)=<a c) , <A2)=<b d) [A]=[<A1)&<A2)] 縦ベクトル2つが横に並ぶ [B]=[e f|g h]=[<B1)&<B2)] <X>=<x y> <X)=<x y) 〇 [A]*<X)=[<A1)&<A2)]*<x y)=<A1)*x+<A2)*y (横並び)*(縦並び)=(内積) 〇 [A]*[B]=[A]*[<B1)&<B2)]=[[A]*<B1) & [A]*<B2)] |
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〓 2行2列行列.固有値,固有ベクトル 〓 2行2列行列.固有値,固有ベクトル 24.2 ▢ 2行2列行列 [A]=[a b|c d] [A]の固有値 h 固有ベクトル <@A) Tr[A]=a+d det[A]=a*d-b*c 2行2列単位行列 [E]=[1 0|0 1] ▷ 固有方程式 h^2-Tr[A]*h+det[A]=0 次の2元連立方程式を解いて、固有ベクトルを定める ([A]-h*[E])*<x y)=<0 0) x と y の比が定まるだけで、大きさは定まらない。ベクトルの方向が定まるだけで、大きさは定まらない。 ▷ (固有方程式の判別式)=(a-d)^2+4*b*c (a-d)^2+4*b*c>0 の場合だけ、固有値は2つ、固有ベクトルも2つ、[A]を対角化できる |
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〓 対角化行列 〓 〇 2行2列行列 [a b|c d] b=c=0 であるとき 「対角化行列」であると言う。 線型変換 [a 0|0 d]*<x y)=<a*x d*y) 簡単に計算できる。 連立方程式 [a 0|0 d]*<x y)=<e f) の解 x=e/a , y=f/d すぐ求められる。 〇 [A]=[2 2|1 3] det[A]=4 固有値 h=1 , 4 固有ベクトル <2 -1) , <2 2) ※ 固有ベクトルの大きさを 1 にする必要はない。 固有ベクトルを使って次のような行列を作る [P]=[<2 -1)&<1 1)]=[2 1|-1 1] det[P]=2*1+1*1=3 [P]の逆行列 [Pi]=(1/3)*[1 -1|1 2] [Pi]*[A]*[P] |
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〓 対角化 〓 ▢ 2行2列行列 [A] 固有ベクトル <@A1) , <@A2) 固有値 h1 , h2 [A]*<@A1)=h1*<@A1) [A]*<@A2)=h2*<@A2) 縦ベクトルを横に並べて 対角化行列 [P]=[<@A1) & <@A2)] [P]の逆行列 [Pi] 対角行列 [h1 0|0 h2] ▷ まず [A]*[P]=[P]*[h1 0|0 h2] となる事を証明する。 [A]*[P] 一方 [P]*[h1 0|0 h2] ⇒ [A]*[P]=[P]*[h1 0|0 h2] 両辺の左から [Pi] をかけて [Pi]*[A]*[P]=[Pi]*[P]*[h1 0|0 h2]=[h1 0|0 h2] [Pi]*[A]*[P]=[h1 0|0 h2] ★ また [A]=[P]*[h1 0|0 h2]*[Pi] ★ |
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〓 2行2列行列.対角化 〓 2行2列行列.対角化 24.2 ▢ 行列 [A]=[a b|c d] Tr[A]=a+d det[A]=a*d-b*c ▷ 固有方程式 h^2-Tr[A]*h+det[A]=0 解が固有値 h1 , h2 (a-d)^2+4*b*c>0 の場合だけ、固有値は2つ、固有ベクトルも2つ、[A]を対角化できる それぞれの固有値に対して ([A]-h*[E])*<x y)=<0 0) を解いて、固有ベクトルを求める 固有ベクトル <@A1) , <@A2) ※ 方向が決まるだけで、大きさは決まらない 固有ベクトルを横に並べて 対角化行列 [P]=[<@A1) & <@A2)] [P]の逆行列 [Pi] 対角行列 [h1 0|0 h2] [Pi]*[A]*[P]=[h1 0|0 h2] [A]=[P]*[h1 0|0 h2]*[Pi] |
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〓 {計算例}2行2列行列を対角化する 〓 ▢ [A]=[1 3|4 2] ▷ Tr[A]=1+2=3 det[A]=-10 固有方程式 h^2-3*h-10=0 (h-5)*(h+2)=0 h=5,-2 固有値 5 に対して [-4 3|4 -3]*<x y)=<0 0) を解いて、 4*x-3*y=0 <@A1)∝<3 4) 固有値 -2 に対して [3 3|4 4]*<x y)=<0 0) を解いて、 x+y=0 <@A2)∝<1 -1) ▷ 対角化行列 [P]=[<3 4)&<1 -1)]=[3 1|4 -1] ★ det[P]=-7 [Pi]=[-1 -1|-4 3]/(-7)=[1 1|4 -3]/7 {確かめ} [A]*[P]=[1 3|4 2]*[3 1|4 -1]=[15 -2|20 2] [P]*[5 0|0 -2]=[3 1|4 -1]*[5 0|0 -2]=[15 -2|20 2] [A]*[P]=[P]*[5 0|0 -2] [Pi]*[A]*[P]=[5 0|0 -2] {すばらしい!22.11} |
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〓 {計算例}重根の場合 〓 ◎ 実数の範囲に限る 〇 2行2列行列 [A]=[a b|c d] (a-d)^2+4*b*c=0 のとき 固有値 1つ ▢ [A]=[5 -4|1 1] ▷ Tr[A]=5+1=6 det[A]=9 固有方程式 h^2-6*h+9=0 (h-3)^2=0 h=3 重根 固有値 3 に対して [2 -4|1 -2]*<x y)=<0 0) を解いて、 x-2*y=0 例えば <@A1)=<2 1) 定数 k に対して [P]=[<@A1) & k*<@A1)] としても、 det[P]=0 となってしまい、[P] の逆行列は存在しない。[A] を対角化する事はできない。 ★ |
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