☆ 2行2列行列.対角化 ☆

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〇 2行2列行列  2024.2-2012.6 Yuji.W

◇ 2*3=6 Ten(3)=10^3=1000 微分 ; 偏微分 : 積分 $ e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A> 縦ベクトル <A) 単位ベクトル <xu> 内積 * 外積 # 

〓 基底ベクトルの利用 〓 22.9 

● 内積 <a b>*<c d)=a*c+b*d

▢ 2行2列行列 [A]=[a b|c d] 

基底ベクトル <A1)=<a c) , <A2)=<b d)

 [A]=[<A1)&<A2)] 縦ベクトル2つが横に並ぶ [B]=[e f|g h]=[<B1)&<B2)] 

 <X>=<x y> <X)=<x y)

〇 [A]*<X)=[<A1)&<A2)]*<x y)=<A1)*x+<A2)*y (横並び)*(縦並び)=(内積)

〇 [A]*[B]=[A]*[<B1)&<B2)]=[[A]*<B1) & [A]*<B2)]

〓 2行2列行列.固有値,固有ベクトル 〓 2行2列行列.固有値,固有ベクトル 24.2

▢ 2行2列行列 [A]=[a b|c d] [A]の固有値 h 固有ベクトル <@A) 

Tr[A]=a+d det[A]=a*d-b*c 2行2列単位行列 [E]=[1 0|0 1]

固有方程式 h^2-Tr[A]*h+det[A]=0 

次の2元連立方程式を解いて、固有ベクトルを定める ([A]-h*[E])*<x y)=<0 0)

x と y の比が定まるだけで、大きさは定まらない。ベクトルの方向が定まるだけで、大きさは定まらない。

(固有方程式の判別式)=(a-d)^2+4*b*c

(a-d)^2+4*b*c>0 の場合だけ、固有値は2つ、固有ベクトルも2つ、[A]を対角化できる

〓 対角化行列 〓 

〇 2行2列行列 [a b|c d] b=c=0 であるとき 「対角化行列」であると言う。

線型変換 [a 0|0 d]*<x y)=<a*x  d*y) 簡単に計算できる。

連立方程式 [a 0|0 d]*<x y)=<e f) の解 x=e/a , y=f/d すぐ求められる。

〇 [A]=[2 2|1 3] det[A]=4 固有値 h=1 , 4 固有ベクトル <2 -1) , <2 2) 

※ 固有ベクトルの大きさを 1 にする必要はない。

固有ベクトルを使って次のような行列を作る [P]=[<2 -1)&<1 1)]=[2 1|-1 1] 

 det[P]=2*1+1*1=3 [P]の逆行列 [Pi]=(1/3)*[1 -1|1 2]

 [Pi]*[A]*[P]
=(1/3)*[1 -1|1 2]*[2 2|1 3]*[2 1|-1 1]
=(1/3)*[1 -1|1 2]*[2 4|-1 4]
=(1/3)*[3 0|0 12]
=[1 0|0 4] 対角化行列ができた

〓  対角化 〓 

▢ 2行2列行列 [A] 固有ベクトル <@A1) , <@A2) 固有値 h1 , h2

 [A]*<@A1)=h1*<@A1) [A]*<@A2)=h2*<@A2) 

縦ベクトルを横に並べて 対角化行列 [P]=[<@A1) & <@A2)]

[P]の逆行列 [Pi] 対角行列 [h1 0|0 h2]

▷ まず [A]*[P]=[P]*[h1 0|0 h2] となる事を証明する。

 [A]*[P]
=[A]*[<@A1)&<@A2)]
=[[A]*<@A1) & [A]*<@A2)]
=[h1*<@A1) & h2*<@A2)]

一方 [P]*[h1 0|0 h2]
=[<@A1) & <@A2)]*[h1 0|0 h2]
=[h1*<@A1) & h2*<@A2)]

⇒ [A]*[P]=[P]*[h1 0|0 h2]

両辺の左から [Pi] をかけて

 [Pi]*[A]*[P]=[Pi]*[P]*[h1 0|0 h2]=[h1 0|0 h2]

 [Pi]*[A]*[P]=[h1 0|0 h2]  

また [A]=[P]*[h1 0|0 h2]*[Pi]  

〓  2行2列行列.対角化 〓 2行2列行列.対角化 24.2

▢ 行列 [A]=[a b|c d] Tr[A]=a+d det[A]=a*d-b*c

▷ 固有方程式 h^2-Tr[A]*h+det[A]=0 解が固有値 h1 , h2

(a-d)^2+4*b*c>0 の場合だけ、固有値は2つ、固有ベクトルも2つ、[A]を対角化できる

それぞれの固有値に対して ([A]-h*[E])*<x y)=<0 0) を解いて、固有ベクトルを求める

固有ベクトル <@A1) , <@A2) ※ 方向が決まるだけで、大きさは決まらない

固有ベクトルを横に並べて 対角化行列 [P]=[<@A1) & <@A2)] 

[P]の逆行列 [Pi] 対角行列 [h1 0|0 h2]

 [Pi]*[A]*[P]=[h1 0|0 h2] [A]=[P]*[h1 0|0 h2]*[Pi]

〓 {計算例}2行2列行列を対角化する 〓 

▢ [A]=[1 3|4 2]

▷ Tr[A]=1+2=3 det[A]=-10

固有方程式 h^2-3*h-10=0 (h-5)*(h+2)=0 h=5,-2

固有値 5 に対して [-4 3|4 -3]*<x y)=<0 0) を解いて、

 4*x-3*y=0 <@A1)∝<3 4)

固有値 -2 に対して [3 3|4 4]*<x y)=<0 0) を解いて、

 x+y=0 <@A2)∝<1 -1)

▷ 対角化行列 [P]=[<3 4)&<1 -1)]=[3 1|4 -1]  

 det[P]=-7 [Pi]=[-1 -1|-4 3]/(-7)=[1 1|4 -3]/7

{確かめ} [A]*[P]=[1 3|4 2]*[3 1|4 -1]=[15 -2|20 2]

 [P]*[5 0|0 -2]=[3 1|4 -1]*[5 0|0 -2]=[15 -2|20 2]

 [A]*[P]=[P]*[5 0|0 -2] 

 [Pi]*[A]*[P]=[5 0|0 -2] {すばらしい!22.11}

〓 {計算例}重根の場合 〓 

◎ 実数の範囲に限る

〇  2行2列行列 [A]=[a b|c d] (a-d)^2+4*b*c=0 のとき 固有値 1つ 

▢ [A]=[5 -4|1 1]

▷ Tr[A]=5+1=6 det[A]=9

固有方程式 h^2-6*h+9=0 (h-3)^2=0 h=3 重根

固有値 3 に対して [2 -4|1 -2]*<x y)=<0 0) を解いて、

 x-2*y=0 例えば <@A1)=<2 1)

定数 k に対して [P]=[<@A1) & k*<@A1)] としても、

 det[P]=0 となってしまい、[P] の逆行列は存在しない。[A] を対角化する事はできない。  

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