お勉強しようwithUz 数学.行列

2016/2-2013/1 Yuji.W

逆行列

◎ 逆行列 行基本変形 余因子行列 inverse matrix

ベクトル<A> 座標単位ベクトル<xu> 縦ベクトル<A) 内積* 外積#
微分;x 
時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 物理定数 .

☆行基本変形☆

■ 連立方程式を加減法で解く過程を考えると、次のような事をしていることがわかる。

@ ある行を k倍 する。
A ある行に、他の行を加える。
B ある行に、他の行を k 倍して加える。
C 2つの行を入れ替える。

それは、次の行列に対応している。

@ [k 0|0 1]*[a b|c d]=[k*a k*b|c d] 1行目を k倍

 [1 0|0 k]*[a b|c d]=[a b|k*c k*d] 2行目を k倍

A [1 1|0 1]*[a b|c d]=[a+c b+d|c d] 1行目に2行目を足す

 [1 0|1 1]*[a b|c d]=[a b|a+c b+d] 2行目に1行目を足す

B [1 k|0 1]*[a b|c d]=[a+k*c b+k*d|c d] 1行目に2行目のk倍を足す

  [1 0|k 1]*[a b|c d]=[a b|k*a+c k*b+d] 2行目に1行目のk倍を足す

C [0 1|1 0]*[a b|c d]=[c d|a b] 行の入れ替え

☆行基本変形を使って、逆行列を求める☆

◆ 任意の正方行列 [A] 単位行列 [E] 2つ並べた行列 [[A]&[E]]

■ [A] に、複数の行基本変形行列を適当に掛けていって、

次のようになったとしよう [@]*[A]*…*[C]*[A]=[E]

[@]*[A]*…*[C] をまとめて [P] と書く。

[A]と単位行列を並べて [[A]&[E]] を作る

 [P]*[[A]&[E]]=[[P]*[A] & [P]*[E]]=[[E] & [P]*[E]]

[P]*[A]=[E] となるのだから [P]=[Ai]

 [P]*[E]=[Ai]*[E]=[Ai] .[A]の逆行列が求められた

{計算例}

◎ 行基本変形を使って逆行列を求める

★ [A]=[1 3|2 5] [[A]&[E]]=[1 3 1 0|2 5 0 1]

行基本変形を使って、[A]の部分を 単位行列になるようにする

[1 3 1 0|2 5 0 1] ⇒  [1 3 1 0|0 -1 -2 1] ⇒ [1 3 1 0|0 1 2 -1] ⇒

 [1 0 -5 3|0 1 2 -1]=[[E]&[-5 3|2 -1]] [Ai]=[-5 3|2 -1]

★ [A]=[1 2 1|2 7 4|2 2 1]

 [[A]&[E]]=[1 2 1 1 0 0|2 7 4 0 1 0|2 2 1 0 0 1] ⇒

 [1 2 1 1 0 0|0 3 2 -2 1 0|0 -2 -1 -2 0 1] ⇒

 [1 2 1 1 0 0|0 1 1 -4 1 1|0 -2 -1 -2 0 1] ⇒

 [1 0 -1 9 -2 -2|0 1 1 -4 1 1|0 0 1 -10 2 3] ⇒

 [1 0 0 -1 0 1|0 1 0 6 -1 -2|0 0 1 -10 2 3]=[[E]&[-1 0 1|6 -1 -2|-10 2 3]]

 [Ai]=[-1 0 1|6 -1 -2|-10 2 3]

☆余因子行列☆

■ 一般の正方行列 [A] そのm行n列成分 (m,n)

成分(m,n)を含む行と列を除いた残りの成分の行列 [A~m,n]

行列Aの(m,n)余因子(よいんし) cof[A(m,n)]=(-1)^(m+n)*det[A~m,n]

 [A]の余因子行列 [A~]
=[cof[A(1,1)] cof[A(1,2)] … |cof[A(2,1)] …|…]の転置行列

 [A~]の転置行列 [A~t]=[cof[A(1,1)] cof[A(1,2)] … |cof[A(2,1)] …|…]

 [Ai]=[A~]/det[A] .

■ 2行2列行列 [A]=[a b|c d] det[A]=a*d-b*c

 cof[A(1,1)]=+d cof[A(1,2)]=-c cof[A(2,1)]=-b cof[A(2,2)]=+a

 [A~t]=[d -c|-b a] [A~]=[d -b|-c a]

 [Ai]=[A~]/det[A]=[d -b|-c a]/(a*d-b*c)

{証明} 3行3列 [A] [Ai]=[A~]/det[A] を証明する

3行3列 [A]=[a11 a12 a13|a21 a22 a23|a31 a32 a33]

 cof[A(1,1)]=+det[a22 a23|a32 a33]=a22*a33-a23*a32
 cof[A(1,2)]=-det[a21 a23|a31 a33]=-a21*a33+a23*a31
 cof[A(1,3)]=+det[a21 a22|a31 a32]=a21*a32-a22*a31

 cof[A(2,1)]=-det[a12 a13|a32 a33]=-a12*a33+a13*a32
 cof[A(2,2)]=+det[a11 a13|a31 a33]=a11*a33-a13*a31
 cof[A(2,3)]=-det[a11 a12|a31 a32]=-a11*a32+a12*a31

 cof[A(3,1)]=+det[a12 a13|a22 a23]=a12*a23-a13*a22
 cof[A(3,2)]=-det[a11 a13|a21 a23]=-a11*a23+a13*a21
 cof[A(3,3)]=+det[a11 a12|a21 a22]=a11*a22-a12*a21

 [A~]=[a22*a33-a23*a32 -a12*a33+a13*a32 a12*a23-a13*a22|
-a21*a33+a23*a31 a11*a33-a13*a31 -a11*a23+a13*a21|
a21*a32-a22*a31 -a11*a32+a12*a31 a11*a22-a12*a21]

 [A]*[A~]の1行1列目
=a11*(a22*a33-a23*a32)
+a12*(-a21*a33+a23*a31)
+a13*(a21*a32-a22*a31)
=det[A]

 [A]*[A~]の1行2列目
=a11*(-a12*a33+a13*a32)
+a12*(a11*a33-a13*a31)
+a13*(-a11*a32+a12*a31)
=0

 [A]*[A~]の1行3列目
=a11*(a12*a23-a13*a22)
+a12*(-a11*a23+a13*a21)
+a13*(a11*a22-a12*a21)
=0

 [A]*[A~]の2行1列目=0
 [A]*[A~]の2行2列目=det[A]
 [A]*[A~]の2行3列目=0

 [A]*[A~]の3行1列目=0
 [A]*[A~]の3行2列目=0
 [A]*[A~]の3行3列目=det[A]

 [A]*[A~]=(det[A])*[E]

 [A]*([A~]/det[A])=[E]

 [Ai]=[A~]/det[A] ‖

{計算例}

◎ 余因子行列を使って逆行列を求める

★ [A]=[1 1 2|2 1 4|3 2 4]

 det[A]=det[1 1 2|0 -1 0|0 -1 -2]=det[-1 0|-1 -2]=2

 cof[A(1,1)]=+det[1 4|2 4]=-4
 cof[A(1,2)]=-det[2 4|3 4]=+4
 cof[A(1,3)]=+det[2 1|3 2]=+1

 cof[A(2,1)]=-det[1 2|2 4]=0
 cof[A(2,2)]=+det[1 2|3 4]=-2
 cof[A(2,3)]=-det[1 1|3 2]=+1

 cof[A(3,1)]=+det[1 2|1 4]=+2
 cof[A(3,2)]=-det[1 2|2 4]=0
 cof[A(3,3)]=+det[1 1|2 1]=-1

 [A~]=[-4 0 2|4 -2 0|1 1 -1]

 [Ai]=[A~]/det[A]=[-4 0 2|4 -2 0|1 1 -1]/2

★ [A]=[3 3 1|1 2 -1|6 3 4]

 det[A]=det[0 -3 4|1 2 -1|0 -9 10]=-det[-3 4|-9 10]=-6

 cof[A(1,1)]=+det[2 -1|3 4]=11
 cof[A(1,2)]=-det[1 -1|6 4]=-10
 cof[A(1,3)]=+det[1 2|6 3]=-9

 cof[A(2,1)]=-det[3 1|3 4]=-9
 cof[A(2,2)]=+det[3 1|6 4]=6
 cof[A(2,3)]=-det[3 3|6 3]=9

 cof[A(3,1)]=+det[3 1|2 -1]=-5
 cof[A(3,2)]=-det[3 1|1 -1]=4
 cof[A(3,3)]=+det[3 3|1 2]=3

 [A~]=[11 -9 -5|-10 6 4|-9 9 3]

 [Ai]=[A~]/det[A]=[-11 9 5|10 -6 -4|9 -9 -3]/6

  逆行列  

inserted by FC2 system