お勉強しようwithUz 数学.行列

2016/2-2013/5 Yuji.W

☆行列.2次曲線の標準化

◎ 傾いた楕円 双曲線 放物線 回転移動 固有ベクトル 固有値

◇ ベクトル<A> 座標単位ベクトル<xu> 縦ベクトル<A) 内積* 外積#
微分;x 
時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 物理定数 .

☆回転移動☆

◎ 平面上で、原点を中心に回転移動

◇座標 (x,y) 座標縦ベクトル <x y) ※ 同じ位置を表す

◆ xy平面上の任意の点 P<x y) z軸を回転軸にして、a だけ回転移動 P'<X Y)

 root[x^2+y^2]=root[X^2+Y^2]

■ X=x*cos(a)-y*sin(a) Y=x*sin(a)+y*cos(a)

直交行列

◎ 2行2列行列 平面上の線型変換

直交行列 [U]=[a b|c d] 基底ベクトル <U1)=<a c) <U2)=<b d)

 |<U1)|=1 |<U2)|=1 <U1)⊥<U2)

成分で表せば、

a^2=d^2 & b^2=c^2 & a^2+b^2=1 & a*c+b*d=a*b+c*d=0

具体的には、次の4種類しかない

@ [U1]=[cos(t) -sin(t)|sin(t) cos(t)]=[R(t)] 回転移動

A [U2]=[cos(t) sin(t)|-sin(t) cos(t)]=[R(-t)] 回転移動

B [U3]=[cos(t) sin(t)|sin(t) -cos(t)] @+上下対称移動

C [U4]=[cos(t) -sin(t)|-sin(t) -cos(t)] A+上下対称移動

■ [U]の転置行列 [Ut] [U]の逆行列 [Ui] [Ut]=[Ui]

☆回転移動.行列☆

◎ 行列を利用

◆ 回転移動 <x y) ⇒ <X Y) 回転を表す行列 [R(a)]=[<R1) & <R2)]

■ <X Y)=[R(a)]*<x y)=<R1)*x+<R2)*y

<xu)=<1 0) ⇒ <cos(a) sin(a)) だから、

 <cos(a) sin(a))=<R1)*1+<R2)*0=<R1)

<yu)=<0 1) ⇒ <-sin(a) cos(a)) だから、

 <-sin(a) cos(a))=<R1)*0+<R2)*1=<R2)

まとめて <R1)=<cos(a) sin(a)) <R2)<-sin(a) cos(a))

 [R(a)]
=[<cos(a) sin(a)) & <-sin(a) cos(a))]
=[cos(a) -sin(a)|sin(a) cos(a)] 
.

 <X Y)=[R(a)]*<x y)

▲ 簡略化して [R(a)]=[C -S|S C]

■ 逆行列 [R(-a)]
=[<cos(a) -sin(a)) & <sin(a) cos(a))]
=[cos(a) sin(a)|-sin(a) cos(a)] 
.

 <x y)=[R(-a)]*<X Y)

☆座標軸を回転移動☆

◎ 座標軸を原点を中心に回転移動する(傾ける) ※ 回転運動をするという意味ではない

◆ xy平面上の点 P(x,y)

座標軸を、z軸を回転軸に a だけ回転させた座標軸 X軸,Y軸 その座標軸で表した点Pの位置 <X Y)_X

 <X Y)=[RX(a)]*<x y)

■ X=x*cos(a)+y*sin(a) Y=-x*sin(a)+y*cos(a)

■ 座標軸を a だけ回転させるのと、位置を -a だけ回転させるのは同じ事になるから、[RX(a)]=[R(-a)]=[C S|-S C] .

{計算例}☆

◆ [R(a)]=[C -S|S C]

★ 楕円 x^2+4*y^2=4 45°回転

 [R(45°)]=[1 -1|1 1]*root2/2 [Ri(45°)]=[1 1|-1 1]*root2/2

 x=(X+Y)*root2/2 y=(-X+Y)*root2/2

 (X+Y)^2/2+4*(-X+Y)^2/2=4

 (X+Y)^2+4*(-X+Y)^2=8

 5*X^2-6*X*Y+5*Y^2=8 //

★ 双曲線 x^2-y^2=1 30°回転

 [R(30°)]=[root3 -1|1 root3]/2 [Ri(30°)]=[root3 1|-1 root3]/2

 x=(X*root3+Y)/2 y=(-X+Y*root3)/2

 (X*root3+Y)^2-(-X+Y*root3)^2=4

 2*X^2+4*root3*X*Y-2*Y^2=4

 X^2+2*root3*X*Y-Y^2=2 //

★ 放物線 y=x^2 30°回転移動

 [R(30°)]=[root3 -1|1 root3]/2 [Ri]=[root3 1|-1 root3]/2

 <x y)=<root3*X+Y -X+root3*Y)/2

 (-X+root3*Y)/2=(root3*X+Y)^2/4

 -2*X+2*root3*Y=3*X^2+2*root3*X*Y+Y^2

 3*X^2+2*root3*X*Y+Y^2+2*X-2*root3*Y=0 //

☆2次曲線の標準化☆

◎ 斜めに傾いた2次曲線を、標準形に直したい。回転移動を利用する。

◆ xy平面上で、a*x^2+2*b*x*y+c*y^2=f x*y の項をなくしたい!

この図形を回転移動 <X Y)=[C -S|S C]*<x y) <x y)=[C S|-S C]*<X Y)

■ x=C*X+S*Y & y=-S*X+C*Y

 x^2=(C*X+S*Y)^2=C^2*X^2+2*C*S*X*Y+S^2*Y^2

 x*y=(C*X+S*Y)*(-S*X+C*Y)=-C*S*X^2+(C^2-S^2)*X*Y+C*S*Y^2

 y^2=(-S*X+C*Y)^2=S^2*X^2-2*C*S*X*Y+C^2*Y^2

問題になるのは、X*Y の項だけだから、そこだけ集めると、

 X*Yの係数
=2*a*C*S+2*b*(C^2-S^2)-2*c*C*S
=2*[(a-c)*C*S+b*(C^2-S^2)]

X*Yの係数=0 にしたいので (a-c)*C*S+b*(C^2-S^2)=0 .

{計算例}☆

◎ 回転移動を利用して

★ 5*x^2-6*x*y+5*y^2=8

次の4点を通る (±root(8/5),0),(0,±root(8/5)

回転移動 回転角 a 0<a<90°

X*Yの係数=0 にしたいので (5-5)*C*S-6*(C^2-S^2)=0

 C^2=S^2 a=45° cos(45°)=sin(45°)=root2/2

 <x y)=[1 1|-1 1]*<X Y)*root2/2

 x=(X+Y)*root2/2 y=(-X+Y)*root2/2

 5*(X+Y)^2/2-6*(X+Y)*(-X+Y)/2+5*(-X+Y)^2/2=8

 8*X^2+2*Y^2=8

 X^2+Y^2/2^2=1 .縦長楕円

さらに90°回転すれば X^2/2^2+Y^2=1 .横長楕円 にすることができる

★ x^2+2*root3*x*y-y^2=2

次の2点を通る (±root2,0) y軸は通らない {双曲線かな?}

回転移動 回転角 a 0<a<90°

X*Yの係数=0 にしたいので 2*C*S+root3*(C^2-S^2)=0

a=60° とすれば cos(60°)=1/2 sin(60°)=root3/2 で、上式を満たす

 x=(X+root3*Y)/2 & y=(-root3*X+Y)/2

 (X+root3*Y)^2/4
+2*root3*(X+root3*Y)*(-root3*X+Y)/4
-(-root3*X+Y)^2/4=2

 左辺X^2の項=1/4-3/2-3/4=-2

 左辺Y^2の項=3/4+3/2-1/4=2

 左辺X*Yの項=0 そうなるようにしたから

 -2*X^2+2*Y^2=2

 -X^2+Y^2=1 .双曲線

さらに90°回転すれば X^2-Y^2=1 .にすることができる

{復習}行列の対角化.2行2列

『行列の対角化.2行2列』 2016/2

◆ [A]=[a b|c d]

■ 特性方程式 h^2-(a+d)*h+(a*d-b*c)=0 その解 h1,h2

 h1+h2=a+d h1*h2=a*d-b*c

■ 固有値=特性方程式の解 h1,h2

 固有ベクトル <b h1-a) , <b h2-a)

 [A]*<b h1-a)=h1*<b h1-a) [A]*<b h2-a)=h2*<b h2-a)

 [P]=[<b h1-a) & <b h1-a)]=[b b|h1-a h2-a]

 [Pi]=[h2-a -b|-h1+a b]/[b*(h2-h1)]

 [Pi]*[A]*[P]=[h1 0|0 h2]

◆ 2行2列対称行列 [A]=[a b|b c]

■ 次の行列のどちらかで [Ui]*[A]*[U]=[h1 0|0 h2] とする事ができる。しかも [Ui]=[Ut] 逆行列=転置行列

パラメータ t cos(t)=C sin(t)=S と書くと、

 [U]=[C -S|S C] or [U]=[C S|S -C]

☆2次曲線の標準化☆

◎ 斜めに傾いた2次曲線を、標準形に直したい。行列を利用する。

◆ xy平面上で、a*x^2+2*b*x*y+c*y^2=f x*yの項をなくしたい!

■ [A]=[a b|b c]=[<a b) & <b c)] と置けば、

 [A]*<x y)=<a b)*x+<b c)*y

 <x y>*{[A]*<x y)}
=<x y>*<a b)*x+<x y>*<b c)*y
=(a*x+b*y)*x+(b*x+c*y)*y
=a*x^2+2*b*x*y+c*y^2

≫ <x y>*[A]*<x y)=a*x^2+2*b*x*y+c*y^2 .

■ [A]は対称行列であるから、次の2種類の行列のどちらかで、

 [U]=[C -S|S C] or [U]=[C S|S -C]〔パラメータ t cos(t)=C sin(t)=S〕

 [Ui]*[A]*[U]=[h1 0|0 h2] と書ける可能性がある。

ここで [Ui]=[Ut] 逆行列=転置行列 という重要な性質がある。

 [A]=[U]*[h1 0|0 h2]*[Ut]

 <x y>*[A]*<x y)=<x y>*[U]*[h1 0|0 h2]*[Ut]*<x y)

ここで [Ut]*<x y)=<X Y) と置く。

転置行列をとると 左辺=<x y>*[U] 右辺=<X Y> となるから、

 <x y>*[U]=<X Y> とも書ける。

 <x y>*[A]*<x y)
=<X Y>*[h1 0|0 h2]*<X Y)
=<X Y>*{<h1 0)*X+<0 h2)*Y}
=h1*X^2+h2*Y^2 これで標準化できた 
.

「2次曲線の標準化-レベル1」

◆ xy平面上で、a*x^2+2*b*x*y+c*y^2=f

[A]=[a b|b c] <x y>*[A]*<x y)=f

■ [A]の固有値 h1,h2 固有ベクトル <b h1-a),<b h2-a) から、

パラメータ t cos(t)=C sin(t)=S として、

 [U]=[C -S|S C] or [U]=[C S|S -C] <X Y)=[Ut]*<x y)

a*x^2+2*b*x*y+c*y^2=f ⇒ h1*X^2+h2*Y^2

☆計算例-2次曲線の標準化☆

◎ 固有値を求めて

★ 5*x^2-6*x*y+5*y^2=8 [A]=[5 -3|-3 5]

 det[A]=16 固有方程式 h^2-10*h+16=0 h=2,8

標準形 2*X^2+8*Y^2=8

 X^2/2^2+Y^2=1 .横長楕円

★ x^2+2*root3*x*y-y^2=2 [A]=[1 root3|root3 -1]

 固有方程式 h^2-4=0 h=2,-2

 2*X^2-2*Y^2=2 X^2-Y^2=1

☆2次曲線の標準化-レベル2☆

◆ a*x^2+2*b*x*y+c*y^2+d*x+e*y=f を標準化したい

行列とベクトルを用意する必要がある [A]=[a b|b c] <B>=<de>

 <x y>*[A]*<x y)+<B>*<x y)=f〔

■ [A]の対角化された行列 [D]

[Rt]*[A]*[R]=[D] <X Y>=<x y>*[R] <x y)=[Rt]*<X Y)

 <x y>*[R]*[D]*[Rt]*<x y)+<B>*<x y)=f

 ([Rt]*<x y>)*[D]*([Rt]*<x y))+<B>*<x y)=f

 <X Y>*[D]*<X Y)+<B>*[R]*<X Y)=f

{レベル2まで書いてある資料は少ない!2014/2}

「2次曲線の標準化-レベル2」

◆ a*x^2+2*b*x*y+c*y^2+d*x+e*y=f

[A]=[a b|b c] <B>=<de> <x y>*[A]*<x y)+<B>*<x y)=f

■ [Rt]*[A]*[R]=[D] <X Y>=<x y>*[R]

 <X Y>*[D]*<X Y)+<B>*[R]*<X Y)=f

☆計算例-2次曲線の標準化-レベル2☆

★ 9*x^2+2*root3*x*y+11*y^2-4*(3+2*root3)*x+4*(2-3*root3)*y=4

 (9*x^2+2*root3*x*y+11*y^2)/4-(3+2*root3)*x+(2-3*root3)*y=1

[A]=[9 root3|root3 11]/4 det[A]=det[9 root3|root3 11]=6

 <B>=-<3+2*root3 -2+3*root3>

 <x y>*[A]*<x y)+<B>*<x y)=1

固有方程式 h^2-5*h+6=0 h=3,h=2

固有ベクトル <root3/4 3-9/4) ⇔ <root3 3) ⇔ <1 root3)/2
 <root3/4 2-9/4) ⇔ <root3 -1) ⇔ <-root3 1)/2

 [R]=[<1 root3)&<-root3 1)]/2=[1 -root3|root3 1]/2

 [Ri]=[1 root3|-root3 1]/2 図形を右回りに60°回転

 <X Y>*[3 0|0 2]*<X Y)=3*X^2+2*Y^2

 [R]*<X Y)=([1 -root3|root3 1]/2)*<X Y)=<X-root3*Y root3*X+Y)/2

 <B>*[R]*<X Y)
=-<3+2*root3 -2+3*root3>*<X-root3*Y root3*X+Y)/2
=-[(3+2*root3)*(X-root3*Y)+(-2+3*root3)*(root3*X+Y)]/2
=-6*X+4*Y

まとめて 3*X^2+2*Y^2-6*X+4*Y=1

 3*(X-1)^2+2*(Y+1)^2=6

 (X-1)^2/2+(Y+1)^2/3=1 縦長の楕円形

※ 標準形の作り方は、横長の楕円形、縦長の楕円形と、2種類ある。回転角が90°違うことになる。したがって、次の式ができてもよい。

 (X-1)^2/3+(Y+1)^2/2=1


● 放物線 y=x^2 左回りに30°回転移動

 3*X^2+2*root3*X*Y+Y^2+2*X-2*root3*Y=0

★ 3*x^2+2*root3*x*y+y^2+2*x-2*root3*y=0

 [A]=[3 root3|root3 1] 

 <x y>*[A]*<x y)+2*<1 -root3>*<x y)=0

det[A]=0 固有方程式 h^2-4*h=0 h=4,h=0

固有ベクトル <root3 4-3)=<root3 1) ⇔ <root3 1)/2
 <root3 0-3)=<root3 -3) ⇔ <-1 root3)/2

 [R]=[<root3 1)&<-1 root3)]/2=[root3 -1|1 root3]/2

 [Ri]=[root3 1|-1 root3]/2 右回りに30°回転

 <X Y>*[4 0|0 0]*<X Y)=4*X^2

 2*<1 -root3>*[R]*<X Y)
=2*<1 -root3>*[root3 -1|1 root3]*<X Y)/2
=<1 -root3>*<root3*X-Y X+root3*Y)
=root3*X-Y-root3*X-3*Y
=-4*Y

 4*X^2-4*Y=0 Y=X^2 {やっとできた!2014/2}

※ 固有ベクトルの選び方は1種類ではないので、回転角の選び方も1つではない。x=-y^2 という式もできる。


● 放物線 y=x^2-4x 原点を中心に、右回りに30°回転移動すると

 3*X^2+Y^2-2*root3*X*Y-(2+8*root3)*X+(8-2*root3)*Y=0

★ 3*x^2+y^2-2*root3*x*y-(2+8*root3)*x+(8-2*root3)*y=0

[A]=[3 -root3|-root3 1] <B>=-2*<1+4*root3 -4+root3>

 <x y>*[A]*<x y)+<B>*<x y)=0

 det[A]=0 固有方程式 h^2-4*h=0 h=4,h=0

固有ベクトル <-root3 4-3)=<-root3 1) ⇔ <root3 -1)/2
 <-root3 0-3)=<-root3 -3) ⇔ <1 root3)/2

 [R]=[<root3 -1)&<1 root3)]/2=[root3 1|-1 root3]/2

 [Ri]=[root3 -1|1 root3]/2 図形を左回りに30°移動

 <X Y>*[4 0|0 0]*<X Y)=4*X^2

 [R]*<X Y)
=([root3 1|-1 root3]/2)*<X Y)
=<root3*X+Y -X+root3*Y)/2

 <B>*[R]*<X Y)
=-2*<1+4*root3 -4+root3>*<root3*X+Y -X+root3*Y)/2
=-[(1+4*root3)*(root3*X+Y)+(-4+root3)*(-X+root3*Y)]
=-16*X-4Y

まとめて 4*X^2-16*X-4Y=0 Y=X^2-4*X //


★ 2*x^2-2*x*y+(1/2)*y^2-12*x/root5+y/root5=-1/2

■ [A]=[2 -1|-1 1/2] <B>=<-12,1>/root5

 det[A]=0 固有方程式 h^2-(5/2)*h=0 h=5/2,h=0

固有ベクトル <-1 5/2-2)=<-1 1/2) ⇔ <2 -1)/root5
 <-1 0-2)=<-1 -2) ⇔ <1 2)/root5

 [R]=[<2 -1)&<1 2)]/root5=[2 1|-1 2]/root5

 [Ri]=[2 -1|1 2]/root5

 <X Y>*[5/2 0|0 0]*<X Y)=(5/2)*X^2

 [R]*<X Y)=([2 1|-1 2]/root5)*<X Y)=<2*X+Y -X+2*Y)/root5

 <B>*[R]*<X Y)
=(<-12,1>/root5)*<2*X+Y -X+2*Y)/root5
=(-24*X-12*Y-X+2*Y)/5
=-5*X-2*Y

まとめて (5/2)*X^2-5*X-2*Y=-1/2

 Y=(5/4)*X^2-(5/2)*X+1/4 放物線

◇計算例-2次曲線の標準化-レベル3◇

◎ 空間における2次曲面の標準化

★ 2*x^2-y^2-z^2-4*x*y+4*x*z+8*y*z=3

[A]=[2 -2 2|-2 -1 4|2 4 -1] <x y z>*[A]*<x y z)=3

固有方程式 0
=det[h-2 2 -2|2 h+1 -4|-2 -4 h+1]
=-(h-3)*(-h^2-3*h+10+8)
=(h-3)*(h^2+3*h-18)
=(h+6)*(h-3)^2  固有値 -6,3,3 [D(-6,3,3)]

固有値 -6 [8 -2 2|-2 5 4|2 4 5] 2*x-y=0 , z=0 <u1)=<1 2 0)/√5

固有値 3 [-1 -2 2|-2 -4 4|2 4 -4] x+2*y-2*z=0 <u2)=<2 -1 0)/√5

 <u3)=<u1)#<u2)=<1 2 0)#<2 -1 0)/5=<0 0 1)

 [U]=[1 2 0|2 -1 0|0 0 √5]/√5 [Ut]=[1 2 0|2 -1 0|0 0 √5]/√5

 [U]*<x y z)=<X Y Z) [] と置けば、

 <X Y Z>*[D(-6,3,3)]*<X Y Z)=3

 -6*X^2+3*Y^2+3*Z^2=3 -2*X^2+Y^2+Z^2=1

※ 回転の方向を変えて X^2+Y^2-2*Z^2=1 とすることもできる

 2次曲線の標準化 

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