☆ 2次曲線の標準化 ☆ |
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◎ 傾いた楕円 双曲線 放物線 回転移動 ★ |
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〓 2次曲線の標準化 〓 ▢ 2次曲線 a*x^2+2*b*x*y+c*y^2+d*x+e*y=f を線型変換し、次の式で表したい。(標準化) 楕円 x^2/a^2+y^2/b^2=1 双曲線 x^2/a^2-y^2/b^2=1 放物線 y=x^2
◎ 斜めに傾いた2次曲線を、標準形に直したい。回転移動を利用する。 ◤ xy平面上で、a*x^2+2*b*x*y+c*y^2=f x*y の項をなくしたい! この図形を回転移動 <X Y)=[C -S|S C]*<x y) <x y)=[C S|-S C]*<X Y) ■ x=C*X+S*Y & y=-S*X+C*Y x^2=(C*X+S*Y)^2=C^2*X^2+2*C*S*X*Y+S^2*Y^2 x*y=(C*X+S*Y)*(-S*X+C*Y)=-C*S*X^2+(C^2-S^2)*X*Y+C*S*Y^2 y^2=(-S*X+C*Y)^2=S^2*X^2-2*C*S*X*Y+C^2*Y^2 問題になるのは、X*Y の項だけだから、そこだけ集めると、 X*Yの係数 X*Yの係数=0 にしたいので (a-c)*C*S+b*(C^2-S^2)=0 ★. |
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〓 2次曲線の標準化 〓 ◎ 斜めに傾いた2次曲線を、標準形に直したい。回転移動を利用する。 ◤ xy平面上で、a*x^2+2*b*x*y+c*y^2=f x*y の項をなくしたい! この図形を回転移動 <X Y)=[C -S|S C]*<x y) <x y)=[C S|-S C]*<X Y) ■ x=C*X+S*Y & y=-S*X+C*Y x^2=(C*X+S*Y)^2=C^2*X^2+2*C*S*X*Y+S^2*Y^2 x*y=(C*X+S*Y)*(-S*X+C*Y)=-C*S*X^2+(C^2-S^2)*X*Y+C*S*Y^2 y^2=(-S*X+C*Y)^2=S^2*X^2-2*C*S*X*Y+C^2*Y^2 問題になるのは、X*Y の項だけだから、そこだけ集めると、 X*Yの係数 X*Yの係数=0 にしたいので (a-c)*C*S+b*(C^2-S^2)=0 ★. |
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〓 {計算例} 〓 ◤ [R(a)]=[C -S|S C] ★ 楕円 x^2+4*y^2=4 45°回転 [R(45°)]=[1 -1|1 1]*root2/2 [Ri(45°)]=[1 1|-1 1]*root2/2 x=(X+Y)*root2/2 y=(-X+Y)*root2/2 (X+Y)^2/2+4*(-X+Y)^2/2=4 (X+Y)^2+4*(-X+Y)^2=8 5*X^2-6*X*Y+5*Y^2=8 // ★ 双曲線 x^2-y^2=1 30°回転 [R(30°)]=[root3 -1|1 root3]/2 [Ri(30°)]=[root3 1|-1 root3]/2 x=(X*root3+Y)/2 y=(-X+Y*root3)/2 (X*root3+Y)^2-(-X+Y*root3)^2=4 2*X^2+4*root3*X*Y-2*Y^2=4 X^2+2*root3*X*Y-Y^2=2 // ★ 放物線 y=x^2 30°回転移動 [R(30°)]=[root3 -1|1 root3]/2 [Ri]=[root3 1|-1 root3]/2 <x y)=<root3*X+Y -X+root3*Y)/2 (-X+root3*Y)/2=(root3*X+Y)^2/4 -2*X+2*root3*Y=3*X^2+2*root3*X*Y+Y^2 3*X^2+2*root3*X*Y+Y^2+2*X-2*root3*Y=0 // |
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〓 2次曲線の標準化 〓 ◎ 斜めに傾いた2次曲線を、標準形に直したい。回転移動を利用する。 ◤ xy平面上で、a*x^2+2*b*x*y+c*y^2=f x*y の項をなくしたい! この図形を回転移動 <X Y)=[C -S|S C]*<x y) <x y)=[C S|-S C]*<X Y) ■ x=C*X+S*Y & y=-S*X+C*Y x^2=(C*X+S*Y)^2=C^2*X^2+2*C*S*X*Y+S^2*Y^2 x*y=(C*X+S*Y)*(-S*X+C*Y)=-C*S*X^2+(C^2-S^2)*X*Y+C*S*Y^2 y^2=(-S*X+C*Y)^2=S^2*X^2-2*C*S*X*Y+C^2*Y^2 問題になるのは、X*Y の項だけだから、そこだけ集めると、 X*Yの係数 X*Yの係数=0 にしたいので (a-c)*C*S+b*(C^2-S^2)=0 ★. |
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〓 {計算例} 〓 ◎ 回転移動を利用して ★ 5*x^2-6*x*y+5*y^2=8 次の4点を通る (±root(8/5),0),(0,±root(8/5) 回転移動 回転角 a 0<a<90° X*Yの係数=0 にしたいので (5-5)*C*S-6*(C^2-S^2)=0 C^2=S^2 a=45° cos(45°)=sin(45°)=root2/2 <x y)=[1 1|-1 1]*<X Y)*root2/2 x=(X+Y)*root2/2 y=(-X+Y)*root2/2 5*(X+Y)^2/2-6*(X+Y)*(-X+Y)/2+5*(-X+Y)^2/2=8 8*X^2+2*Y^2=8 X^2+Y^2/2^2=1 ★.縦長楕円 さらに90°回転すれば X^2/2^2+Y^2=1 ★.横長楕円 にすることができる ★ x^2+2*root3*x*y-y^2=2 次の2点を通る (±root2,0) y軸は通らない {双曲線かな?} 回転移動 回転角 a 0<a<90° X*Yの係数=0 にしたいので 2*C*S+root3*(C^2-S^2)=0 a=60° とすれば cos(60°)=1/2 sin(60°)=root3/2 で、上式を満たす x=(X+root3*Y)/2 & y=(-root3*X+Y)/2 (X+root3*Y)^2/4 左辺X^2の項=1/4-3/2-3/4=-2 左辺Y^2の項=3/4+3/2-1/4=2 左辺X*Yの項=0 そうなるようにしたから -2*X^2+2*Y^2=2 -X^2+Y^2=1 ★.双曲線 さらに90°回転すれば X^2-Y^2=1 ★.にすることができる |
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〓 {復習}行列の対角化.2行2列 〓
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〓 2次曲線の標準化 〓 ◎ 斜めに傾いた2次曲線を、標準形に直したい。行列を利用する。 ◤ xy平面上で、a*x^2+2*b*x*y+c*y^2=f x*yの項をなくしたい! ■ [A]=[a b|b c]=[<a b) & <b c)] と置けば、 [A]*<x y)=<a b)*x+<b c)*y <x
y>*{[A]*<x y)} ≫ <x y>*[A]*<x y)=a*x^2+2*b*x*y+c*y^2 ★. ■ [A]は対称行列であるから、次の2種類の行列のどちらかで、 [U]=[C -S|S C] or [U]=[C S|S -C]〔パラメータ t cos(t)=C sin(t)=S〕 [Ui]*[A]*[U]=[h1 0|0 h2] と書ける可能性がある。 ここで [Ui]=[Ut] 逆行列=転置行列 という重要な性質がある。 [A]=[U]*[h1 0|0 h2]*[Ut] <x y>*[A]*<x y)=<x y>*[U]*[h1 0|0 h2]*[Ut]*<x y) ここで [Ut]*<x y)=<X Y) と置く。 転置行列をとると 左辺=<x y>*[U] 右辺=<X Y> となるから、 <x y>*[U]=<X Y> とも書ける。 <x
y>*[A]*<x y)
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〓 計算例-2次曲線の標準化 〓 ◎ 固有値を求めて ★ 5*x^2-6*x*y+5*y^2=8 [A]=[5 -3|-3 5] det[A]=16 固有方程式 h^2-10*h+16=0 h=2,8 標準形 2*X^2+8*Y^2=8 X^2/2^2+Y^2=1 ★.横長楕円 ★ x^2+2*root3*x*y-y^2=2 [A]=[1 root3|root3 -1] 固有方程式 h^2-4=0 h=2,-2 2*X^2-2*Y^2=2 X^2-Y^2=1 |
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〓 2次曲線の標準化-レベル2 〓 ◤ a*x^2+2*b*x*y+c*y^2+d*x+e*y=f を標準化したい 行列とベクトルを用意する必要がある [A]=[a b|b c] <B>=<de> <x y>*[A]*<x y)+<B>*<x y)=f〔★〕 ■ [A]の対角化された行列 [D] [Rt]*[A]*[R]=[D] <X Y>=<x y>*[R] <x y)=[Rt]*<X Y) <x y>*[R]*[D]*[Rt]*<x y)+<B>*<x y)=f ([Rt]*<x y>)*[D]*([Rt]*<x y))+<B>*<x y)=f <X Y>*[D]*<X Y)+<B>*[R]*<X Y)=f {レベル2まで書いてある資料は少ない!2014/2}
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〓 計算例-2次曲線の標準化-レベル2 〓 ★ 9*x^2+2*root3*x*y+11*y^2-4*(3+2*root3)*x+4*(2-3*root3)*y=4 (9*x^2+2*root3*x*y+11*y^2)/4-(3+2*root3)*x+(2-3*root3)*y=1 [A]=[9 root3|root3 11]/4 det[A]=det[9 root3|root3 11]=6 <B>=-<3+2*root3 -2+3*root3> <x y>*[A]*<x y)+<B>*<x y)=1 固有方程式 h^2-5*h+6=0 h=3,h=2 固有ベクトル <root3/4 3-9/4)
⇔ <root3 3) ⇔ <1 root3)/2 [R]=[<1 root3)&<-root3 1)]/2=[1 -root3|root3 1]/2 [Ri]=[1 root3|-root3 1]/2 図形を右回りに60°回転 <X Y>*[3 0|0 2]*<X Y)=3*X^2+2*Y^2 [R]*<X Y)=([1 -root3|root3 1]/2)*<X Y)=<X-root3*Y root3*X+Y)/2 <B>*[R]*<X
Y) まとめて 3*X^2+2*Y^2-6*X+4*Y=1 3*(X-1)^2+2*(Y+1)^2=6 (X-1)^2/2+(Y+1)^2/3=1 縦長の楕円形 ※ 標準形の作り方は、横長の楕円形、縦長の楕円形と、2種類ある。回転角が90°違うことになる。したがって、次の式ができてもよい。 (X-1)^2/3+(Y+1)^2/2=1 ● 放物線 y=x^2 左回りに30°回転移動 3*X^2+2*root3*X*Y+Y^2+2*X-2*root3*Y=0 ★ 3*x^2+2*root3*x*y+y^2+2*x-2*root3*y=0 [A]=[3 root3|root3 1] <x y>*[A]*<x y)+2*<1 -root3>*<x y)=0 det[A]=0 固有方程式 h^2-4*h=0 h=4,h=0 固有ベクトル <root3 4-3)=<root3
1) ⇔ <root3 1)/2 [R]=[<root3 1)&<-1 root3)]/2=[root3 -1|1 root3]/2 [Ri]=[root3 1|-1 root3]/2 右回りに30°回転 <X Y>*[4 0|0 0]*<X Y)=4*X^2 2*<1
-root3>*[R]*<X Y) 4*X^2-4*Y=0 Y=X^2 {やっとできた!2014/2} ※ 固有ベクトルの選び方は1種類ではないので、回転角の選び方も1つではない。x=-y^2 という式もできる。 ● 放物線 y=x^2-4x 原点を中心に、右回りに30°回転移動すると 3*X^2+Y^2-2*root3*X*Y-(2+8*root3)*X+(8-2*root3)*Y=0 ★ 3*x^2+y^2-2*root3*x*y-(2+8*root3)*x+(8-2*root3)*y=0 [A]=[3 -root3|-root3 1] <B>=-2*<1+4*root3 -4+root3> <x y>*[A]*<x y)+<B>*<x y)=0 det[A]=0 固有方程式 h^2-4*h=0 h=4,h=0 固有ベクトル <-root3 4-3)=<-root3
1) ⇔ <root3 -1)/2 [R]=[<root3 -1)&<1 root3)]/2=[root3 1|-1 root3]/2 [Ri]=[root3 -1|1 root3]/2 図形を左回りに30°移動 <X Y>*[4 0|0 0]*<X Y)=4*X^2 [R]*<X Y) <B>*[R]*<X Y) まとめて 4*X^2-16*X-4Y=0 Y=X^2-4*X // ★ 2*x^2-2*x*y+(1/2)*y^2-12*x/root5+y/root5=-1/2 ■ [A]=[2 -1|-1 1/2] <B>=<-12,1>/root5 det[A]=0 固有方程式 h^2-(5/2)*h=0 h=5/2,h=0 固有ベクトル <-1 5/2-2)=<-1
1/2) ⇔ <2 -1)/root5 [R]=[<2 -1)&<1 2)]/root5=[2 1|-1 2]/root5 [Ri]=[2 -1|1 2]/root5 <X Y>*[5/2 0|0 0]*<X Y)=(5/2)*X^2 [R]*<X Y)=([2 1|-1 2]/root5)*<X Y)=<2*X+Y -X+2*Y)/root5 <B>*[R]*<X
Y) まとめて (5/2)*X^2-5*X-2*Y=-1/2 Y=(5/4)*X^2-(5/2)*X+1/4 放物線 |
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〓 計算例-2次曲線の標準化-レベル3- 〓 ◎ 空間における2次曲面の標準化 ★ 2*x^2-y^2-z^2-4*x*y+4*x*z+8*y*z=3 [A]=[2 -2 2|-2 -1 4|2 4 -1] <x y z>*[A]*<x y z)=3 固有方程式 0 固有値 -6 [8 -2 2|-2 5 4|2 4 5] 2*x-y=0 , z=0 <u1)=<1 2 0)/√5 固有値 3 [-1 -2 2|-2 -4 4|2 4 -4] x+2*y-2*z=0 <u2)=<2 -1 0)/√5 <u3)=<u1)#<u2)=<1 2 0)#<2 -1 0)/5=<0 0 1) [U]=[1 2 0|2 -1 0|0 0 √5]/√5 [Ut]=[1 2 0|2 -1 0|0 0 √5]/√5 [U]*<x y z)=<X Y Z) [] と置けば、 <X Y Z>*[D(-6,3,3)]*<X Y Z)=3 -6*X^2+3*Y^2+3*Z^2=3 -2*X^2+Y^2+Z^2=1 ※ 回転の方向を変えて X^2+Y^2-2*Z^2=1 とすることもできる |
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