数学 行列

2015/12-2012/6 Yuji.W

3行3列行列の対角化

◎ 対角行列を作る

単位行列 [E] [A]の逆行列 [Ai] 行列式 det[A] 対角和 Tr[A]

行列同士の積 [A]*[B] 行列と縦ベクトルの積 [A]*<B)

2つ並べた行列 [<A)&<B)] , [[A]&<C)] , [[A]&[B]]

対角行列 [D(h1,h2,…)]

〔表記〕ベクトル<> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積#〔物理定数
微分 y;x 2階微分 y;;x 
時間微分 y' 積分 ${f(x)*dx} 定積分 ${f(x)*dx}[x:a~b]
累乗 ^ 10^x≡Ten(x) 1/x≡Over(x) exp(i*x)≡expi(x) 複素共役 z!
.2015/11/13

◇3行3列行列の対角化◇

3行3列対角行列 [D(h1,h2,h3)]=[h1 0 0|0 h2 0|0 0 h3]

任意の3行3列行列 [A] 3行3列行列 [P] その逆行列 [Pi]

行列の対角化 [Pi]*[A]*[P] が対角行列になるようにしたい .

{まず目的をはっきりさせないといけない!2015/12}

☆3行3列行列の対角化

対角行列 [D(h1,h2,h3)]=[h1 0 0|0 h2 0|0 0 h3]

<A1)=<a d g) <A2)=<b e h) <A3)=<c f i) として、

 [A]=[<A1)&<A2)&<A3)]=[a b c|d e f|g h i]

 [A]*[D]
=[h1*a h2*b h3*c|h1*d h2*e h3*f|h1*g h2*h h3*i]
=[ h1*<a d g) & h2*<b e h) & h3*<c f i) ]
=[ h1*<A1) & h2*<A2) & h3*<A3) ]〔

◆ [A] の相異なる固有値3個 h1,h2,h3 対角行列 [D(h1,h2,h3)]

それに対応する固有ベクトル <P1),<P2),<P3) ※ 線型独立である

 [P]=[<P1)&<P2)&<P3)] 固有縦ベクトルを横に並べた3行3列行列

det[P]≠0 であって、[Pi] が存在する

■ [A]*[P]
=[A]*[<P1)&<P2)&<P3)]
=[ [A]*<P1) & [A]*<P2) & [A]*<P3)]
=[ h1*<P1) & h2*<P2) & h3*<P3)]

一方 [P]*[D(h1,h2,h3)]
=[<P1)&<P2)&<P3)]*[D(h1,h2,h3)]
=[ h1*<P1) & h2*<P2) & h3*<P3)]  対角行列の性質 {核心!}

⇒ [A]*[P]=[P]*[D]

左から [Pi] を掛けて、

 [Pi]*[A]*[P]=[D] 対角化できた

『3行3列行列の対角化-相異なる3個の固有値を持つとき』 2015/12

◆ 3行3列正方行列 [A] Tr[A]=A11+A22+A33 det[A]

次の関係を満たす場合 [A]*<X)=h*<X) h 固有値 <X) 固有ベクトル

■ ([A]-h*[E])*<X)=<O)

普通、この式を満たすのは、<X)=<O) に限られる。ただし、次の条件が満たされれば、<X) は不定形という形で解を持つ。

固有値が満たすべき方程式(固有方程式) det(h*[E]-[A])=0

その解(固有値) h1,h2,h3 h1+h2+h3=Tr[A] h1*h2*h3=det[A]

※ 固有方程式を解くとき、行の和か列の和を求めて、等しくなる成分があると、後の展開が楽

相異なる 3個の固有値があるとき

それぞれの固有値に対して、元の方程式を解いて、
固有ベクトル <P1),<P2),<P3) を求める。固有ベクトルは、定数倍してよいという任意性を持つ。

 対角行列 [D(h1,h2,h3)]=[h1 0 0|0 h2 0|0 0 h3]

 [P]=[<P1)&<P2)&<P3)] その逆行列 [Pi] [Pi]*[A]*[P]=[D]

※ [A]*[P]=[P]*[D]=[ h1*<P1) & h2*<P2) & h3*<P3) ] となる

※ [Pi] は具体的な形がわからなくてもよい

※ 重根を持つときは、別の方法を使う必要がある

■ 逆行列の求め方

@ 行基本変形を使う。どう行基本変形をしても、<O) は変化しないから、最初から書く必要はない。解は不定形になる。成分ごとの比だけが求められる。固有ベクトルは、定数倍の任意性がある。

A 余因子行列を作る

どっちにしても、楽ではない。固有ベクトルを修正し、簡単に逆行列を求める方法がある。

※ Excel で、逆行列を求める関数がある 配列変数 {=MINVERSE(A1:C3)}

☆3行3列行列の対角化-相異なる3個の固有値

◎ 相異なる固有値が3個のとき、その固有ベクトルは互いに直交する

★ [A]=[2 -1 1|-1 2 -1|-1 -1 2] Tr[A]=6 det[A]=0

固有方程式 0
=det[h-2 1 -1|1 h-2 1|1 1 h-2]
=det[h-2 1 0|1 h-2 h-1|1 1 h-1]
=(h-1)*det[h-2 1 0|1 h-2 1|1 1 1]
=(h-1)*det[h-2 1 0|0 h-3 0|1 1 1]
=(h-1)*(h-3)*det[h-2 0|1 1]
=(h-1)*(h-3)*(h-2)  固有値 1,2,3

固有値 1 [1 -1 1|-1 1 -1|-1 -1 1] ⇔ [1 -1 1|0 0 0|0 -2 2]

 x=0,y=z 固有ベクトル ∝ <0 1 1)

固有値 2 [0 -1 1|-1 0 -1|-1 -1 0] ⇔ [0 -1 1|1 0 1|1 1 0]

 -x=y=z 固有ベクトル ∝ <1 -1 -1)

固有値 3 [-1 -1 1|-1 -1 -1|-1 -1 -1] ⇔ [0 0 2|1 1 1|1 1 1]

 x=-y , z=0 固有ベクトル ∝ <1 -1 0)

 [P]=[<0 1 1)&<1 -1 -1)&<1 -1 0)]

{確かめ} [A]*[P]
=[2 -1 1|-1 2 -1|-1 -1 2]*[<0 1 1)&<1 -1 -1)&<1 -1 0)]
=[0 2 3|1 -2 -3|1 -2 0]

 [P]*[D(1,2,3)]
=[<0 1 1) & 2*<1 -1 -1) & 3*<1 -1 0)]
=[A]*[P]

★ [A]=[1 -1 -3|0 -1 1|0 3 1] det[A]=-4

 固有方程式 0=det([A]-h*[E])
=det[1-h -1 -3|0 -1-h 1|0 3 1-h]
=-(h-1)*det[-1-h 1|3 1-h]
=-(h-1)*(h-2)*(h+2)

 固有値 1,2,-2 その和=1=Tr[A] その積=-4=det[A]

固有値 1 に対して [A]-h*[E]=[0 -1 -3|0 -2 1|0 3 0]

 [0 -1 -3|0 -2 1|0 3 0] y=z=0 固有ベクトルの例 <1,0,0)

固有値 2 に対して [A]-h*[E]=[-1 -1 -3|0 -3 1|0 3 -1]

 x+y+3*z=0 3*y=z 固有ベクトルの例 <10,-1,-3)

固有値 -2 に対して [A]-h*[E]=[3 -1 -3|0 1 1|0 3 3]

 3*x-2*z=0 y=-z 固有ベクトルの例 <2,-3,3)

 [P]=[<1,0,0)&<10,-1,-3)&<2,-3,3)]=[1 10 2|0 -1 -3|0 -3 3]

 [Pi]=[1 3 7/3|0 -1/4 -1/4|0 -1/4 1/12]

{確かめ} [P]*[Pi]
=[1 10 2|0 -1 -3|0 -3 3]*[1 3 7/3|0 -1/4 -1/4|0 -1/4 1/12]
=[1 0 0|0 1 0|0 0 1]

 [A]*[P]
=[1 -1 -3|0 -1 1|0 3 1]*[1 10 2|0 -1 -3|0 -3 3]
=[1 20 -4|0 -2 6|0 -6 -6]

 [P]*[D]
=[1 10 2|0 -1 -3|0 -3 3]*[1 0 0|0 2 0|0 0 -2]
=[1 20 -4|0 -2 6|0 -6 -6]
=[A]*[P] {素晴らしい!2014/7}


★ [A]=[4 2 -7|3 3 -7|1 2 -4] Tr[A]=3 det[A]=-3

固有方程式 0
=det[h-4 -2 7|-3 h-3 7|-1 -2 h+4]
=det[h+1 -2 7|h+1 h-3 7|h+1 -2 h+4]
=(h+1)*det[1 -2 7|1 h-3 7|1 -2 h+4]
=(h+1)*det[1 -2 7|0 h-1 0|0 0 h-3]
=(h+1)*(h-1)*(h-3)

 固有値 h=1,3,-1 その和=3=Tr[A] その積=-3=det[A]

 [D]=[1 0 0|0 3 0|0 0 -1]

固有値 1 [3 2 -7|3 2 -7|1 2 -5] ⇒ [0 0 0|1 0 -1|1 2 -5]

 x-z=x+2*y-5*z=0 例えば x=z=1,y=2 <1 2 1)

固有値 3 [1 2 -7|3 0 -7|1 2 -7] ⇒ [1 2 -7|1 -1 0|0 0 0]

 x+2*y-7*z=x-y=0 例えば <7 7 3)

固有値 -1 [5 2 -7|3 4 -7|1 2 -3] ⇒ [1 0 -1|1 -1 0|0 1 -1]

 x=y=z 例えば <1 1 1)

対角化行列 [P]=[1 7 1|2 7 1|1 3 1] [Pi]=[-4 4 0|1 0 -1|1 -4 7]/4

{確かめ} [A]*[P]
=[4 2 -7|3 3 -7|1 2 -4]*[1 7 1|2 7 1|1 3 1]
=[1 21 -1|2 21 -1|1 9 -1]

 [P]*[D]
=[1 7 1|2 7 1|1 3 1]*[1 0 0|0 3 0|0 0 -1]
=[1 21 -1|2 21 -1|1 9 -1]
=[A]*[P]


★ [A]=[-5 -8 6|8 9 -4|7 8 -4] det[A]=6

固有方程式 0
=det[h+5 8 -6|-8 h-9 4|-7 -8 h+4]
=det[h+5 8 -6|-8 h-9 4|h-2 0 h-2]
=(h-2)*det[h+5 8 -6|-8 h-9 4|1 0 1]
=(h-2)*det[h+11 8 0|-12 h-9 0|1 0 1]
=(h-2)*(h-1)*(h+3)

 固有値 1,2,-3 その和=0=Tr[A] その積=-6

 [D]=[1 0 0|0 2 0|0 0 -3]

固有値 1 [-6 -8 6|8 8 -4|7 8 -5] ⇒ [1 0 1|0 2 -3|1 0 1]

 x+z=2*y-3*z=0 例えば <2 -3 -2)

固有値 2 [-7 -8 6|8 7 -4|7 8 -6] ⇒ [3 0 2|2 1 0|0 0 0]

 3*x+2*z=2*x+y=0 例えば <2 -4 -3)

固有値 -3 [-2 -8 6|8 12 -4|7 8 -1] ⇒ [0 1 -1|1 1 0|1 1 0]

 y-z=x+y=0 例えば <1 -1 -1)

 [P]=[<2 -3 -2)&<2 -4 -3)&<1 -1 -1)]=[2 2 1|-3 -4 -1|-2 -3 -1]

 det[P]=1 [Pi]=[1 -1 2|-1 0 -1|1 2 -2]

{確かめ} [A]*[P]
=[-5 -8 6|8 9 -4|7 8 -4]*[<2 -3 -2)&<2 -4 -3)&<1 -1 -1)]
=[2 4 -3|-3 -8 3|-2 -6 3]

 [P]*[D]
=[2 2 1|-3 -4 -1|-2 -3 -1]*[1 0 0|0 2 0|0 0 -3]
=[2 4 -3|-3 -8 3|-2 -6 3]
=[A]*[P]


★ [A]=[1 10 -2|0 -2 0|4 14 -5] det[A]=-6

固有方程式 0
=det[h-1 -10 2|0 h+2 0|-4 -14 h+5]
=(h+2)*det[h-1 2|-4 h+5]
=(h+1)*(h+2)*(h+3)

 固有値 -1,-2,-3 その和=-6=Tr[A] その積=-6=det[A]

 [D]=[-1 0 0|0 -2 0|0 0 -3]

固有値 -1 [2 10 -2|0 -1 0|4 14 -4] ⇒ [1 0 -1|0 1 0|1 0 -1]

 x-z=y=0 例えば <1 0 1)

固有値 -2 [3 10 -2|0 0 0|4 14 -3] ⇒ [1 2 0|0 0 0|0 2 -1]

 x+2*y=2*y-z=0 例えば <2 -1 -2)

固有値 -3 [4 10 -2|0 1 0|4 14 -2] ⇒ [2 0 -1|0 1 0|2 0 -1]

 2*x-z=y=0 例えば <1 0 2)

 [P]=[<1 0 1) & <2 -1 -2) & <1 0 2)]=[1 2 1|0 -1 0|1 -2 2] det[P]=-1

 [Pi]=[2 6 -1|0 -1 0|-1 -4 1]

{確かめ} [A]*[P]
=[1 10 -2|0 -2 0|4 14 -5]*[<1 0 1) & <2 -1 -2) & <1 0 2)]
=-[1 4 3|0 -2 0|1 -4 6]

 [P]*[D]
=-[1 2 1|0 -1 0|1 -2 2]*[1 0 0|0 2 0|0 0 3]
=-[1 4 3|0 -2 0|1 -4 6]
=[A]*[P]


★ [A]=[-4 4 -2|-4 6 -4|16 -8 2] Tr[A]=4 det[A]=-16

固有方程式 0
=det[h+4 -4 2|4 h-6 4|-16 8 h-2]
=(h+4)*det[h-6 4|8 h-2]+4*det[4 4|-16 h-2]+2*det[4 h-6|-16 8]
=(h+4)*(h^2-8*h-20)+16*(h+14)+32*(h-4)
=h^3-4*h^2-52*h-80+48*h+96
=h^3-4*h^2-4*h+16
=(h-2)*(h^2-2*h-8)
=(h-2)*(h+2)*(h-4)

固有値 2 [-6 4 -2|-4 4 -4|16 -8 0] ⇒ [1 0 -1|1 0 -1|2 -1 0]

 x-z=2*x-y=0 例えば <1 2 1)

固有値 -2 [-2 4 -2|-4 8 -4|16 -8 4] ⇒ [1 0 0|1 0 0|0 2 -1]

 [0 -3 1|0 -3 1|1 1 0] [0 2 -1|0 2 -1|1 0 0]

 x=2*y-z=0 例えば <0 1 2)

固有値 4 [-8 4 -2|-4 2 -4|16 -8 -2] ⇒ [-2 1 0|-2 1 0|0 0 1]

 z=2*x-y=0 例えば <1 2 0)

 [P]=[<1 2 1) & <0 1 2) & <1 2 0)]=[1 0 1|2 1 2|1 2 0] det[P]=-1

 [Pi]=[1 -2 1|0 1 0|0 2 -1]

{確かめ} [A]*[P]
=[-4 4 -2|-4 6 -4|16 -8 2]*[<1 2 1) & <0 1 2) & <1 2 0)]
=[2 0 4|4 -2 8|2 -4 0] 

 [P]*[D]
=[1 0 1|2 1 2|1 2 0]*[2 0 0|0 -2 0|0 0 4]
=[2 0 4|4 -2 8|2 -4 0]
=[A]*[P]


★ [A]=[1 2 0|2 2 2|0 2 3] 対称行列 Tr[A]=6

固有方程式 0
=det[h-1 -2 0|-2 h-2 -2|0 -2 h-3]
=(h-1)*det[h-2 -2|-2 h-3]+2*det[-2 -2|0 h-3]
=(h-1)*(h^2-5*h+2)+2*(-2*h+6)
=h^3-5*h^2+2*h-h^2+5*h-2-4*h+12
=h^3-6*h^2+3*h+10
=(h+1)*(h^2-7*h+10)
=(h+1)*(h-2)*(h-5)  固有値 -1,2,5

固有値 -1 [2 2 0|2 3 2|0 2 4] [1 1 0|0 1 2|0 0 0]

 x=-y , y=-2*z <u1)=<2 -2 1)/3

固有値 2 [-1 2 0|2 0 2|0 2 1] [0 2 1|1 0 1|0 0 0]

 2*y=-z , x=-z <u2)=<2 1 -2)/3

固有値 5 [-4 2 0|2 -3 2|0 2 -2] [-2 1 0|0 1 -1|0 0 0]

 2*x=y , y=z <u3)=<1 2 2)/3

※ [A] 対称行列だから、自動的に、固有ベクトルが直交している


★ [A]=[2 -1 0|-1 2 -1|0 -1 2] 対称行列 Tr[A]=6

det[A]=2*det[2 -1|-1 2]+det[-1 0|-1 2]=6-2=4

特性方程式 0
=det(h*[E]-[A])
=det[h-2 1 0|1 h-2 1|0 1 h-2]
=(h-2)*det[h-2 1|1 h-2]-det[1 1|0 h-2]
=(h-2)*(h^2-4*h+3)-(h-2)
=(h-2)*(h^2-4*h+2)

 h=2 , 2±√2 その和=6=Tr[A] その積=4=det[A]

 [D]=[2 0 0|0 2+√2 0|0 0 2-√2]

固有値 2 に対して [0 -1 0|-1 0 -1|0 -1 0]

 x=-z y=0 固有ベクトルの例 <1,0,-1)

固有値 2+√2 に対して [-√2 -1 0|-1 -√2 -1|0 -1 -√2]

 x=z √2*x+y=0 固有ベクトルの例 <1,-√2,1)

固有値 2-√2 に対して [√2 -1 0|-1 √2 -1|0 -1 √2]

 x=z √2*x=y 固有ベクトルの例 <1,√2,1)

※ [A] 対称行列 なので、固有ベクトルはすべて互いに直交している

 [P]
=[<1,0,-1)&<1,-√2,1)&<1,√2,1)]
=[1 1 1|0 -√2 √2|-1 √2 1] det[P]=3+2*√2

 [Pi]=-[3*√2 -√2+1 -2*√2|√2 -2 √2|√2 √2+1 √2]/(3+2*√2)

{確かめ} [A]*[P]
=[2 -1 0|-1 2 -1|0 -1 2]*[<1,0,-1)&<1,-√2,1)&<1,√2,1)]
=[2 2+√2 2-√2|0 -2-2*√2 -2+2*√2|-2 2+√2 2-√2] 

 [P]*[D]
=[1 1 1|0 -√2 √2|-1 √2 1]*[2 0 0|0 2+√2 0|0 0 2-√2]
=[2 2+√2 2-√2|0 -2-2*√2 -2+2*√2|-2 2+√2 2-√2]
=[A]*[P]

☆相異なる3個の固有値を持たないとき☆

◎ 3行3列行列が、相異なる 3個の固有値を持たないときはどうするのか。別の方法を使う必要がある。

「正規直交基底を作る」シュミットの正規直交化法

正規直交基底 <u1),<u2),<u3)

 u1=u2=u3=1 <u1)*<u2)=<u2)*<u3)=<u3)*<u1)=0

◆ <v1),<v2),<v3) ただし、3つは線型独立

正規直交基底 <u1),<u2),<u3)

■ <u1)=<v1)/v1

 <u2) ∝ <v2)-(<v2)*<u1))*<u1) 大きさを 1 にして <u2)

※ <u2) は、<v1)と<v2)が作る平面上にある

 <u3) ∝ <v3)-(<v3)*<u1))*<u1)-(<v3)*<u2))*<u2)

{別解} <u3)=<u1)#<u2)

直交行列 [U]=[<u1)&<u2)&<u3)] 正規直交基底でできている行列

 その転置行列 [Ut]=[<u1>|<u2>|<u3>]

 [Ut]*[U]
=[<u1>|<u2>|<u3>]*[<u1)&<u2)&<u3)]
=[<u1>*<u1) <u1>*<u2) <u1>*<u3)|<u2>*<u1) …|… <u3>*<u3)]
=[1 0 0|0 1 0|0 0 1]

 [Ut]=[Ui]  逆行列が、並べ替えるだけで得られる

対称行列 [At]=[A] となるとき

対称行列の固有値は、すべて実数

対称行列の相異なる固有値に対する固有ベクトルは、直交する

■ 3行3列正方行列 [A] が、相異なる 3個の固有値を持たない

固有値 h1,h2,h2 (h2 が重根) ただし、[At]=[A] となるときは、正規直交基底を作ることができる

線型独立な3個の固有ベクトルを作る <v1),<v2),<v3)

これから、正規直交基底を作る <u1),<u2),<u3)

 [U]=[<u1)&<u2)&<u3)] とすると、

 [Ut]*[A]*[U]=[D(h1,h2,h2)]

「3行3列行列の対角化」

◆ 3行3列正方行列 [A] Tr[A]=A11+A22+A33 det[A]

次の関係を満たす場合 [A]*<X)=h*<X) h 固有値 <X) 固有ベクトル

■ ([A]-h*[E])*<X)=<O)

普通、この式を満たすのは、<X)=<O) に限られる。ただし、次の条件が満たされれば、<X) は不定形という形で解を持つ。

固有値が満たすべき方程式(固有方程式) det[h*[E]-[A])=0

その解(固有値) h1,h2,h3 h1+h2+h3=Tr[A] h1*h2*h3=det[A]

※ det[h*[E]-[A]) の行の和、列の和が、等しくなると、共通因数として外に出せる

相異なる 3個の固有値があるとき

それぞれの固有値に対して、元の方程式を解いて、
固有ベクトル <P1),<P2),<P3) を求める。固有ベクトルは、定数倍してよいという任意性を持つ。

 対角行列 [D(h1,h2,h3)]=[h1 0 0|0 h2 0|0 0 h3]

 [P]=[<P1)&<P2)&<P3)] その逆行列 [Pi] [Pi]*[A]*[P]=[D]

※ [A]*[P]=[P]*[D]=[ h1*<P1) & h2*<P2) & h3*<P3) ] となる

※ [Pi] は具体的な形がわからなくてもよい

■ 3行3列正方行列 [A] が、相異なる 3個の固有値を持たない

固有値 h1,h2,h2 (h2 が重根) ただし、[At]=[A] となるときは、正規直交基底を作ることができる

線型独立な3個の固有ベクトルを作る <v1),<v2),<v3)

 <u1)=<v1)/v1

 <u2) ∝ <v2)-(<v2)*<u1))*<u1) 大きさを 1 にして <u2)

{別解} <u1)と直交する、かつ、固有ベクトルの条件を満たすのを作る

 <u3) ∝ <v3)-(<v3)*<u1))*<u1)-(<v3)*<u2))*<u2)

{別解} <u3)=<u1)#<u2)

<u1),<u2),<u3) は正規直交基底になって、[U]=[<u1)&<u2)&<u3)] とすると [Ut]*[A]*[U]=[D(h1,h2,h2)]

☆計算例-3行3列対称行列の対角化☆

◎ 相異なる固有値が2個しかない場合 正規直交基底を作る必要がある

★ [A]=[0 1 1|1 0 1|1 1 0] Tr[A]=0 det[A]=2

 固有方程式 0
=det[h -1 -1|-1 h -1|-1 -1 h]
=det[h-2 -1 -1|h-2 h -1|h-2 -1 h]
=(h-2)*det[1 -1 -1|1 h -1|1 -1 h]
=(h-2)*det[1 -1 -1|0 h+1 0|0 0 h+1]
=(h-2)*det[h+1 0|0 h+1]
=(h-2)*(h+1)^2

 固有値 2,-1,-1 その和=0=Tr[A] その積=2=det[A]

固有値 2 に対して [A]-h*[E]=[-2 1 1|1 -2 1|1 1 -2]

 x=y=z 固有ベクトルの例 <1,1,1) 正規化して <1,1,1)/√3

固有値 -1 に対して [A]-h*[E]=[1 1 1|1 1 1|1 1 1]

 x+y+z=0 固有ベクトルの例 <1,-1,0) 正規化して <1,-1,0)/√2

2つの固有ベクトルは直交している

3つめの固有ベクトルを求めて、

 <1,1,1)#<1,-1,0)√6=<1 1 -2)/√6

 [U]
=[<√2 √2 √2) & <√3 -√3 0) & <1 1 -2)]/√6
=[√2 √3 1|√2 -√3 1|√2 0 -2]/√6

 [Ut]
=[√2 √2 √2|√3 -√3 0|1 1 -2]/√6

{確かめ} [A]*[U]
=[0 1 1|1 0 1|1 1 0]*[<√2 √2 √2) & <√3 -√3 0) & <1 1 -2)]/√6
=[2*√2 -√3 -1|2*√2 √3 -1|2*√2 0 2]/√6

 [U]*[D]
=[<√2 √2 √2) & <√3 -√3 0) & <1 1 -2)]*[D(2,-1,-1)]/√6
=[2*<√2 √2 √2) & -<√3 -√3 0) & -<1 1 -2)]√6
=[2*√2 -√3 -1|2√2 √3 -1|2√2 0 2]√6
=[A]*[U]  {よかった、よかった!2014/7}

★ [A]=[2 1 1|1 2 1|1 1 2] Tr[A]=6 det[A]=4

 固有方程式 0
=det[h-2 -1 -1|-1 h-2 -1|-1 -1 h-2]
=det[h-4 -1 -1|h-4 h-2 -1|h-4 -1 h-2]
=(h-4)*det[1 -1 -1|1 h-2 -1|1 -1 h-2]
=(h-4)*det[1 -1 -1|0 h-1 0|0 0 h-1]
=(h-4)*(h-1)^2

 固有値 h=4,1,1 その和=6=Tr[A] その積=4=det[A]

固有値 4 [-2 1 1|1 -2 1|1 1 -2]

 [-2 1 1|1 -2 1|1 1 -2] [0 0 0|1 0 -1|0 1 -1]

 x-z=y-z=0 x=y=z 例えば x=y=z=1 <1 1 1)/√3

固有値 1 [1 1 1|1 1 1|1 1 1]

 x+y+z=0 例えば x=1,y=-1,z=0 <1 -1 0)/√2

2つの固有ベクトルは、直交している

3つめの固有ベクトルを求めて <1 1 1)#<1 -1 0)/√6=<1 1 -2)/√6

 [U]
=[<√2 √2 √2) & <√3 -√3 0) & <1 1 -2)]√6

{確かめ} [A]*[U]
=[2 1 1|1 2 1|1 1 2]*[<√2 √2 √2) & <√3 -√3 0) & <1 1 -2)]√6
=[4*√2 √3 1|4*√2 -√3 -1|4*√2 0 -2]√6

 [U]*[D]
=[<√2 √2 √2) & <√3 -√3 0) & <1 1 -2)]*[D(4,1,1)]√6
=[4*<√2 √2 √2) & <√3 -√3 0) & <1 1 -2)]√6
=[A]*[U]

★ [A]=[1 2 2|2 1 -2|2 -2 1] Tr[A]=3 det[A]=-27

固有方程式 0
=det[h-1 -2 -2|-2 h-1 2|-2 2 h-1]
=det[h-3 -2 -2|h-3 h-1 2|0 2 h-1]
=det[h-3 -2 -2|0 h+1 4|0 2 h-1]
=(h-3)*det[h+1 4|2 h-1]
=(h-3)*det[h+1 4|2 h-1]
=(h-3)*(h^2-9)
=(h+3)*(h-3)^2

 固有値 h=-3,3,3 その和=3=Tr[A] その積=-27=det[A]

固有値 -3 [4 2 2|2 4 -2|2 -2 4] [0 1 -1|0 1 -1|1 0 1]

 y-z=x+z=0 例えば x=1,y=z=-1 <1 -1 -1)/√3

固有値 3 [-2 2 2|2 -2 -2|2 -2 -2] [0 0 0|1 -1 -1|1 -1 -1]

 x-y-z=0 例えば x=y=1,z=0 <1 1 0)/√2

2つの固有ベクトルは直交している

3つめの固有ベクトルを作って <1 -1 -1)#<1 1 0)/√6=<1 -1 2)/√6

 [U]=[<√2 -√2 -√2)&<√3 √3 0)&<1 -1 2)]/√6

{確かめ} [A]*[U]
=[1 2 2|2 1 -2|2 -2 1]*[<√2 -√2 -√2)&<√3 √3 0)&<1 -1 2)]/√6
=[-3*√2 3*√3 3|3*√2 3*√3 -3|3*√2 0 6]/√6

 [U]*[D(-3,3,3)]
=[<√2 -√2 -√2)&<√3 √3 0)&<1 -1 2)]*[D(-3,3,3)]/√6
=[-3*<√2 -√2 -√2) & 3*<√3 √3 0) & 3*<1 -1 2)]/√6
=[A]*[U]

★ [A]=[2 -1 -1|-1 2 -1|-1 -1 2] Tr[A]=6

固有方程式 0
=det[h-2 1 1|1 h-2 1|1 1 h-2]
=det[h 1 1|h h-2 1|h 1 h-2]
=h*det[1 1 1|1 h-2 1|1 1 h-2]
=h*det[1 1 1|0 h-3 0|0 0 h-3]
=h*det[h-3 0|0 h-3]
=h*(h-3)^2  固有値 0,3,3

固有値 0 [2 -1 -1|-1 2 -1|-1 -1 2] [1 0 -1|0 1 -1|0 -1 1]

 x=y=z <u1)=<1 1 1)/√3=√2*<1 1 1)/√6

固有値 3 [-1 -1 -1|-1 -1 -1|-1 -1 -1]

 x+y+z=0 <u1> と直交するように作れば <u2)=<1 1 -2)/√6

3つめの固有ベクトル <1 1 1)#<1 1 -2)/(3*√2)=√3*<1 -1 0)/√6

 [U]=[√2*<1 1 1) & <1 1 -2) & √3*<1 -1 0)]/√6

{確かめ} [A]*[U]
=[2 -1 -1|-1 2 -1|-1 -1 2]*[√2*<1 1 1) & <1 1 -2) & √3*<1 -1 0)]/√6
=[0 3 3*√3|0 3 -3*√3|0 -6 0]/√6

 [U]*[D(0,3,3)]
=[<O) & 3*<1 1 -2) & 3*√3*<1 -1 0)]/√6
=[A]*[U]  {素晴らしい!2014/7}

★ [A]=[1 4 -4|4 1 4|-4 4 1] Tr[A]=3

固有方程式 0
=det[h-1 -4 4|-4 h-1 -4|4 -4 h-1]
=det[h-1 -4 4|h-9 h-1 -4|h-1 -4 h-1]
=det[h-1 -4 4|h-9 h-1 -4|0 0 h-5]
=(h-5)*det[h-1 -4|h-9 h-1]
=(h-5)*(h^2+2*h-35)
=(h+7)*(h-5)^2

固有値 -7 [8 4 -4|4 8 4|-4 4 8] [1 1 0|0 0 0|0 1 1]

 x=-y=z <u1)=<1 -1 1)/√3

固有値 5 [-4 4 -4|4 -4 4|-4 4 -4] [0 0 0|1 -1 1|0 0 0]
 x-y-z=0 <u1)と直交するように作ると <u2)=<1 1 0)/√2

 <u3)=<u1)#<u2)=<1 -1 1)#<1 1 0)/√6=<-1 1 2)/√6 方向を変えて

 <u3)=<1 -1 -2)/√6

 [U]=[√2*<1 -1 1) & √3*<1 1 0) & <1 -1 -2)]/√6

{確かめ} [A]*[U]
=[1 4 -4|4 1 4|-4 4 1]*[√2*<1 -1 1) & √3*<1 1 0) & <1 -1 -2)]/√6
=[-7*√2 5*√3 5|7*√2 5*√3 -5|-7*√2 0 -10]/√6

 [U]*[D(-7,5,5)]
=[-7*√2*<1 -1 1) & 5*√3*<1 1 0) & 5*<1 -1 -2)]/√6
=[A]*[U]  {完璧!2014/7}

  3行3列行列の対角化  

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