〓　円の面積　〓 .

◆ 円座標(r,a)　xy平面に半径 r の円　中心:原点　面積 S

■ (面積要素)=dr*(r*da)=r*dr*da ★_

　S/4
=$${r*dr*da}[r:0~r][a:0~Pi/2]

=(Pi/2)*${r*dr}[r:0~r]
=(Pi/2)*[r^2/2][r:0~r]
=(Pi/2)*(r^2/2)

　S=Pi*r^2 ★_

{別解}　x,y座表面上で　円 x^2+y^2=R^2　y=root(R^2-x^2)

　dS=root(R^2-x^2)*dx

　S/4=${root(R^2-x^2)*dx}[x:0~R]

x=R*sin(t)　[x:0~R]=[t:0~Pi/2]
root(R^2-x^2)=R*cos(t)　dx=R*cos(t)*dt

　cos(t)^2=[1+cos(2*t)]/2　に注意して、

　S/4
=R^2*${cos(t)^2*dt}[t:0~Pi/2]
=(1/2)*R^2*${[1+cos(2*t)]*dt}[t:0~Pi/2]
=(1/2)*R^2*[t-(1/2)*sin(2*t)][t:0~Pi/2]
=(1/2)*R^2*[Pi/2-(1/2)*sin(Pi)]
=Pi*R^2*/4

　S=Pi*R^2

〓　球の表面積　〓 .

★ 球(半径 r)　体積 V ★

極座標(r,a,b)  球を2つの平行平面で薄く切る。リンゴの皮をむくときの感じである。そのa〜a+d(a)の薄い輪切りの皮の表面積をdSとする。

　dS=(ドーナツ型の面積　半径 r*Ca　幅 r*da)=2Pi*r^2*cos(a)*da

　S/2
=2Pi*r^2*${cos(a)*da}[a:0~Pi/2]
=2Pi*r^2*[sin(a)][a:0~Pi/2]
=2Pi*r^2　　　　S=4Pi*r^2

{別解}　球の体積 V(r)=(4/3)*Pi*r^3　表面積 S(r)

　V(r)=${S*dr}[r:0~r]　r で微分すると、

　V;r=S

　S=V;r=(4/3)*Pi*(r^3);r=(4/3)*Pi*3*r^2=4Pi*r^2　{かしこい!}