数学 積分  2017/11-2011 Yuji.W

☆ 積分.回転体

積分 回転体の体積、表面積 solid of revolution _物理定数

【ベクトル】<A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 #
【関数】10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ; 時間微分 ' 積分 $

〓 回転体の体積,表面積 〓

◆ 回転体 x軸で回転 母線 y=f(x) [x:x1~x2] 体積 V 側面積 S

■ V=Pi*${y^2*dx}[x:x1~x2] _

■ 表面の線素 ds=root[(dx)^2+(dy)^2]=root[1+(y;x)^2]*dx

 S=2Pi*${y*root[1+(y;x)^2]*dx} _

〓 円錐の体積,表面積 〓

◎ 円錐の体積=円柱の体積/3 なぜ 1/3 なのか?

◆ 円錐 底面の半径 R 高さ H 母線 y=(R/H)*x [x:0~H]

母線の長さ L=root(R^2+H^2)

■【 体積 】

 ${y^2*dx}[x:0~H]
=(R/H)^2*${x^2*dx}[x:0~H]
=(R/H)^2*[x^3/3][x:0~H]
=(R/H)^2*(H^3/3)
=R^2*H/3

 V=Pi*R^2*H/3 _

{中学校以来の謎が解けた!2011}

■【 側面積-積分を使わないで 】

 S=(Pi*L^2)*(R/L)=Pi*R*L

■【 側面積-積分を使って 】

 y;x=R/H

 root[1+(y;x)^2]=root[1+R^2/H^2]=root(H^2+R^2)/H=L/H

 ${y*root[1+(y;x)^2]*dx}[x:0~H]
=(R*L/H^2)*${x*dx}[x:0~H]
=(R*L/H^2)*[x^2/2][x:0~H]
=(R*L/H^2)*(H^2/2)
=R*L/2

 S=2Pi*(R*L/2)=Pi*R*L _

〓 球の表面積 〓

◆ 球 半径 R 母線 y=root(R^2-x^2) 表面積 S

■ y;x=(1/2)*(-2*x)/root(R^2-x^2)=-x/root(R^2-x^2)

 1+(y;x)^2=1+x^2/(R^2-x^2)=R^2/(R^2-x^2)

 root[1+(y;x)^2]=R/root(R^2-x^2)

 y*root[1+(y;x)^2]=root(R^2-x^2)*[R/root(R^2-x^2)]=R {定数!}

 ${y*root[1+(y;x)^2]*dx}[x:0~R]
=R*${dx}[x:0~R]
=R*[x][x:0~R]
=R^2

 S/2=2Pi*R^2

 S=4Pi*R^2 _

{素晴らしい!2013/10}

{別解}極座標(r,a,b)  球をxy平面に平行な2つの平面で薄く切る。その平面間の球の表面積 dS を考える。天頂角 a〜a+da

 dS=[輪(幅 R*da 周 2Pi*R*Ca) の面積]
=2Pi*R^2*Ca*da

 S/2
=2Pi*R^2*${Ca*da}[a:0~Pi/2]
=2Pi*R^2*[Sa][a:0~Pi/2]
=2Pi*R^2

 S=4Pi*R^2

{別解}半径 r〜r+dr の薄い球殻の体積=S(r)*dr

 V=${S(r)*dr}

r で、微分すると V;r=S

 S(r)=V;r=[(4/3)*Pi*r^3];r=4Pi*r^2

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