数学 積分  2017/11-2011 Yuji.W

☆ 回転体の側面積や体積

積分 回転体 側面積 体積 表面積 solid of revolution _

【ベクトル】<A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 #
【関数】10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ; 時間微分 ' 積分 $

〓 回転体 〓

◆ 回転体 xy平面に母線 y=f(x) 0<x<X y≧0 回転軸:x軸

回転体の側面積 S 体積 V

■ x~x+dx の側面積 dS
=2*Pi*y*root[(dx)^2+(dy)^2]
=2*Pi*y*root[1+(y;x)^2]*dx

 S=2*Pi*${y*root[1+(y;x)^2]*dx}[x:0~X] _

x~x+dx の体積 dV=Pi*y^2*dx

 V=Pi*${y^2*dx}[x:0~X] _

〓  〓

◎ すべての球は相似であるから、半径 1 の球を考えればよい。

◆ 球 半径 1 母線 y=root(1-x^2)

y軸と作る角 a を使って x=sin(a) y=cos(a)

■ x;a=cos(a) y;x=-sin(a) (x;a)^2+(y;a)^2=cos(a)^2+sin(a)^2=1

 S/2
=2*Pi*${y*root[1+(y;x)^2]*dx}[x:0~1]
=2*Pi*${cos(a)*1*da}[a:0~Pi/2]
=2*Pi*[sin(a)][a:0~Pi/2]
=2*Pi*1
=2*Pi

 S=4*Pi _

■ y^2*dx=(1-x^2)*dx

 V/2
=Pi*${y^2*dx}[x:0~1]
=Pi*${(1-x^2)*dx}[x:0~1]
=Pi*[x-x^3/3][x:0~1]
=(2/3)*Pi

 V=(4/3)*Pi _

〓 円錐 〓

◎ 1/3 ?

◆ 円錐 底面の半径 R 高さ H 母線 y=(R/H)*x [x:0~H]

母線の長さ L=root(R^2+H^2)

■ y;x=(R/H) root[1+(y;x)^2]=root[1+(R/H)^2]=L/H

 S
=2*Pi*${y*root[1+(y;x)^2]*dx}[x:0~H]
=2*Pi*${(R/H)*x*(L/H)*dx}[x:0~H]
=2*Pi*(L*R/H^2)*[x^2/2][x:0~H]
=2*Pi*(L*R/H^2)*(H^2/2)
=Pi*L*R
=Pi*R*root(R^2+H^2)

》 S=Pi*L*R=Pi*root(R^2+H^2)*R _

V
=Pi*${y^2*dx}[x:0~H]
=Pi*(R/H)^2*${x^2*dx}[x:0~H]
=Pi*(R/H)^2*[x^3/3][x:0~H]
=Pi*(R/H)^2*(H^3/3)
=(1/3)*Pi*H*R^2

》 V=(1/3)*Pi*H*R^2 _

{中学校以来の謎が解けた!2011}

〓 三角関数 〓

◆ 母線 y=sin(x) [x:0~Pi/2] x軸で回転 回転体の側面積 S 体積 V

■ y;x=cos(x) root[1+(y;x)^2]=root[1+cos(x)^2]

 S
=2*Pi*${y*root[1+(y;x)^2]*dx}[x:0~Pi/2]
=2*Pi*${cos(x)*root[1+cos(x)^2]*dx}[x:0~H]
= ?

▲ {円錐[半径1 高さPi/2]の側面積}=Pi*root[1+Pi^2/4]*1~3.14*1.86~5.85

■ V=Pi*${y^2*dx}[x:0~Pi/2]=Pi*${sin(x)^2*dx}[x:0~Pi/2]

ここで sin(x)^2=[1-cos(2*x)]/2 だから、

 V
=(Pi/2)*${[1-cos(2*x)]*dx}[x:0~Pi/2]
=(Pi/2)*[x-sin(2*x)/2][x:0~Pi/2]
=(Pi/2)*(Pi/2)
=Pi^2/4 _
~2.46

▲ {円錐[半径1 高さPi/2]の体積}=(1/3)*Pi*(Pi/2)*1^2=Pi^2/6~1.64

〓 回転体の側面積や体積 〓

■ 球[半径 1] S=4*Pi V=(4/3)*Pi

■ 円錐[底面の半径 R 高さ H 母線の長さ L]

 S=Pi*L*R=Pi*root(R^2+H^2)*R V=(1/3)*Pi*H*R^2

■ 三角関数 y=sin(x) [x:0~Pi/2] S ? V=Pi^2/4

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