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☆ 積分.回転体 ☆ |
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〇 母線 長さ 側面積 体積 球 円錐 三角関数 2023.2-2021.5 Yuji.W ★ |
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◇ 2*3=6 Ten(3)=10^3=1000 微分 ; 偏微分 : 積分 $ e^(i*x)=expi(x) |
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〓 回転体の側面積、体積 〓 ▢ 回転体 xy平面に母線 y=f(x) 〔x:x1~x2〕 y≧0 回転軸:x軸 側面積 S 体積 V ▷ 微小量 dx x~x+dx の回転体を考える。 母線の長さ root[(dx)^2+(dy)^2]=root[1+(y;x)^2]*dx 側面積 dS=2*π*y*root[1+(y;x)^2]*dx S=2*π*${y*root[1+(y;x)^2]*dx〔x|x1~x2〕} ★ 体積 dV=π*y^2*dx V=π*${y^2*dx〔x|x1~x2〕} ★ |
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〓 回転体の側面積、体積 〓 ▢ 回転体 xy平面に母線 y=f(x) 〔x:x1~x2〕 y≧0 回転軸:x軸 側面積 S 体積 V ▷ S=2*π*${y*root[1+(y;x)^2]*dx〔x|x1~x2〕} V=π*${y^2*dx〔x|x1~x2〕} |
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〓 円錐 〓 ◎ なぜ 1/3 になるのか? ▢ 円錐 底面の半径 1 高さ 1 母線 y=x 〔x:0~1〕 ▷ 母線の長さ root[(dx)^2+(dy)^2]=√2*dx S/2=2*π*√2*${x*dx〔x|0~1〕}=2*π*√2*{x^2/2〔x|0~1〕}=π*√2~4.44 ★ {別解} 円錐の側面を切り開いて広げれば、平面、扇形になる。 扇形の半径 √2 扇形の弧の長さ 2*π S=√2*(2*π)/2=π*√2 ▷ V=π*${x^2*dx〔x|0~1〕}=π*{x^3/3〔x|0~1〕}=π/3~1.05 ★ ▶ 円錐 底面の半径 R 高さ H S=root(R^2+H^2)*(2*π*R)/2=π*R^2*root[1+(H/R)^2] ★ V=(π/3)*H*R^2 ★ |
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〓 球 〓 ▢ 半径 1 の球 母線 y=root(1-x^2) 表面積 S 体積 V ▷ x=cos(a) y=sin(a) と置く。 x;a=-sin(a) y;a=cos(a) 〔a|0~π/2〕 母線の長さ root[(dx)^2+(dy)^2]=1*da S/2=2*π*${sin(a)*da}〔a|0~π/2〕}=2*π*{-cos(a)}〔a|0~π/2〕}=2*π S=4*π~12.56 ★ ▷ V/2=π*${(1-x^2)*dx〔x|0~1〕}=π*{x-x^3/3〔x|0~1〕}=(2/3)*π V=(4/3)*π~4.19 ★ ▲ 半径 1 の球を取り囲む立方体の体積 8 球はおおよそその半分 {球って意外と小さいなあ!2021.5} |
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〓 三角関数から 〓 ▢ 回転体 母線 y=sin(x) 〔x:0~π/2〕 ❖ 円錐[半径 1 高さ π/2] 体積
(1/3)*π*(π/2)*1^2=π^2/6~1.64 ▷ y;x=cos(x) root[1+(y;x)^2]=root[1+cos(x)^2] S=2*π*${sin(x)*root[1+cos(x)^2]*dx〔x|0~π/2〕} ★ cos(x)=h と置くと -sin(x)*dx=dh 〔x:0~π/2〕=〔h:1~0〕 ${sin(x)*root[1+cos(x)^2]*dx}=+${root(1+h^2)*dh}〔h:0~1〕} ⦿ ${root(x^2+1)*dx}=x*root(x^2+1)/2+ln[x+root(x^2+1)]/2 ⦿ ${root(1+h^2)*dh}〔h:0~1〕}=(1/2)*[√2+ln(1+√2)] S=2*π*(1/2)*[√2+ln(1+√2)]=π*[√2+ln(1+√2)] S=π*[√2+ln(1+√2)]~2.295*π~7.211 ★ ▷ V=π*${y^2*dx〔x|0~π/2〕}=π*${sin(x)^2*dx〔x|0~π/2〕} ★ ⦿ sin(x)^2=[1-cos(2*x)]/2 ⦿ V V=π^2/4~2.46 ★ ▲ 数値積分 [x:0~π]を100等分して計算 結果を2で割って S~7.21 V~2.47 |
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☆ uzお勉強しよう since2011 Yuji.W |