数学-積分  2014/4-2011  Yuji.W

回転体 

◎ 積分 回転体の体積、表面積 ☆solid of revolution 〔

〔表示のお約束140710〕cos(a)=Ca sin(b)=Sb tan(x)=Tx 10^x=Ten(x)
ベクトル<> 単位ベクトル<-u> 縦ベクトル<) 成分<>:x 内積* 外積#
e^(x)=exp(x)=E(x) e^(i*x)=expi(x)=Ei(x) 微分;x 
時間微分' 物理定数

☆回転体の体積,表面積☆

◆〓  〓◆回転体 x軸で回転

■ 体積 V=Pi*${y^2*dx}

■ 表面の線素 ds=root[(dx)^2+(dy)^2]=root[1+(y;x)^2]*dx

 表面積(側面積) S=Pi*${y*ds}=2Pi*${y*root[1+(y;x)^2]*dx}

円錐の体積,表面積

◆〓  〓◆円錐 底面の半径 R 高さ H 体積 V

表面を表す関数 y=(R/H)*x 0<x<H

■ V
=(Pi*R^2/H^2)*${x^2*dx}[x:0~H]
=(Pi*R^2/H^2)*[(1/3)*x^3][x:0~H]
=(1/3)*Pi*R^2*H

{中学校以来の謎が解けた!2011}

●円錐の表面積(側面積) S
=Pi*(H^2+R^2)*[R/root(H^2+R^2)]
=Pi*R*root(H^2+R^2)

=Pi*底面の半径*母線の長さ

■ root[1+(y;x)^2]=root[1+R^2/H^2]=root(H^2+R^2)/H

 ${x*dx}[x:0~H]=[(1/2)*x^2][x:0~H]=(1/2)*H^2

 S
=[2Pi*root(H^2+R^2)/H]*(R/H)*${x*dx}[x:0~H]
=[2Pi*root(H^2+R^2)/H]*(R/H)*(1/2)*H^2
=Pi*R*root(H^2+R^2)
{素晴らしい!2013/10}

球の表面積

◆〓  〓◆球 半径 R y=root(R^2-x^2) 表面積 S

※R は、x や y の関数ではない。

■ y;x=(1/2)*(-2*x)/root(R^2-x^2)=-x/root(R^2-x^2)

 1+(y;x)^2=1+x^2/(R^2-x^2)=R^2/(R^2-x^2)

 root[1+(y;x)^2]=R/root(R^2-x^2)

 S
=2Pi*${[root(R^2-x^2)*R/root(R^2-x^2)]*dx}[x:-R~R]
=2Pi*R*2*R
=4Pi*R^2
{素晴らしい!2013/10}

{別解}極座標(r,a,b)  球をxy平面に平行な2つの平面で薄く切る。その平面間の球の表面積 dS を考える。天頂角 a〜a+da

 dS=[輪(幅 R*da 周 2Pi*R*Ca) の面積]
=2Pi*R^2*Ca*da

 S/2
=2Pi*R^2*${Ca*da}[a:0~Pi/2]
=2Pi*R^2*[Sa][a:0~Pi/2]
=2Pi*R^2

 S=4Pi*R^2

{別解}半径 r〜r+dr の薄い球殻の体積=S(r)*dr

 V=${S(r)*dr}

r で、微分すると V;r=S

 S(r)=V;r=[(4/3)*Pi*r^3];r=4Pi*r^2

 回転体 

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