数学 積分

2017/7-2011 Yuji.W

☆1/x の積分☆

_ 1/x の積分 なぜ ln|x| 絶対値記号をつけないといけないのか _

◇ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 #
 積 * 商 / 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ; 
時間微分 ' 積分 $

☆ln(x) の微分☆

◎ x>0 のとき ln(x);x ?

■ ln(x)=y と置く y;x を求めたい。逆関数の微分の公式 y;x=1/(x;y) を使う。

ln(x)=y より x=exp(y)

 x;y=exp(y);y=exp(y)

 y;x=1/(x;y)=1/exp(y)=1/x

≫ x>0 のとき ln(x);x=1/x _

☆1/x の積分☆

■ x>0 のとき ${dx/x}=ln(x)

■ 0<x1<x<x2 のとき

 ${dx/x}[x:x1~x2]=[ln(x)][x:x1~x2]=ln(x2)-ln(x1)=ln(x2/x1)

■ 0<x1<x<x2 のとき ${dx/x}[x:x1~x2]=ln(x2/x1)

☆関数 y=ln|x|☆

■ 関数 y=ln(x) [x,y:実数〕

 exp(y)=x x>0 であるから、ln(x) は x≦0 で、定義できない

それに対して、x=0 以外の、すべての実数で定義できる次の関数を考える ln|x|

ln|x| を定義する 

x>0 で y=ln|x|=ln(x) x=exp(y)

x<0 で y=ln|x|=ln(-x) -x=exp(y)

{ln|x| が出てきた、y軸対称であるグラフをイメージすればよいと思う!2015/9

☆ln|x| の微分☆

■【 ln(x) の微分 】 x>0 でしか定義できない。

y=ln(x) と置くと x=exp(y) 逆関数の微分の公式を使って、

 x;y=[exp(y)];y=exp(y)=x

 y;x=1/(x;y)=1/x

 [ln(x)];x=1/x

≫ x>0 で ln(x);x=1/x .

■【 ln|x| の微分 】

x の正負で分けて考える必要がある。

x>0 のとき [ln|x|];x=[ln(x)];x=1/x

x<0 のとき

 [ln|x|];x=[ln(-x)];x={[ln(-x)];(-x)}*[(-x);x]=[1/(-x)]*(-1)=1/x

 {別解} [ln(-x)];x={ln[x*(-1)};x={ln(x)+()}

x≠0 で [ln|x|];x=1/x .

■【 ln|k*x| の微分 】

k*x>0 で

 [ln|k*x|];x=[ln(k*x)];x=[ln(k*x);(k*x)]*[(k*x);x]=[1/(k*x)]*k=1/x

k*x<0 で

 [ln|k*x|];x
=[ln(-k*x)];x
=[ln(-k*x);(-k*x)]*[(-k*x);x]
=[1/(-k*x)]*(-k)=1/x

x≠0 で [ln|k*x|];x=1/x .

{知らなかった!2013}

☆1/x の積分☆

■【 1/x の積分 】

x≠0 で [ln|x|];x=1/x だから、

 ${dx/x}=ln|x|+積分定数 .

※ ln|x|+積分定数 の代わりに ln|積分定数*x| とも書ける

■【 定積分 】

x1 と x2 が同符号のとき

 ${dx/x}[x:x1~x2]=[ln|x|][x:x1~x2]=ln|x2|-ln|x1| .

※ 1/x は、x=0 で定義されないから、x1 と x2 とが異符号の場合の定積分は意味がない。

★ ${dx/x}[x:1~2]=ln|2|-ln|1|~0.69-0=0.69

★ ${dx/x}[x:-2~-1]=ln|-1|-ln|-2|=ln(1)-ln(2)~0-0.69=-0.69

 ※ -2~-1 で 1/x < 0 だから、これでよい

{やっと納得できた!40年間謎だった!2015/9}

☆お勉強しよう 2017-2011 Yuji.W☆

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