数学 積分 2018/4-2011 Yuji.W
☆ 1/x の積分 ☆
◎ 1/x の積分 なぜ ln|x| 絶対値記号をつけないといけないのか ★_
ベクトル <A> 内積 * 外積 # 10^x=Ten(x) 微分
;x 時間微分
' 積分 $
ネイピア数 e e^x=exp(x) i^2=-1 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x)
デカルト座標単位ベクトル
<xu>,<yu>,<zu>
円柱座標 (h,a,z)_C 座標単位ベクトル
<hu>,<au>,<zu>
球座標 (r,a,b)_S 座標単位ベクトル <ru>,<au>,<bu> 〔
180720
〕
〓 関数 y=ln|x| 〓 .
@ 関数 ln(x) と ln|x| は別の関数であると考えるとよい
■ 関数 y=ln(x) [x,y:実数〕
exp(y)=x x>0 であるから、ln(x) は x≦0 で、定義できない
それに対して、x=0 以外の、すべての実数で定義できる次の関数を考える ln|x|
■ ln|x| を定義する
x>0 で y=ln|x|=ln(x) x=exp(y)
x<0 で y=ln|x|=ln(-x) -x=exp(y)
{ln|x| が出てきた、y軸対称であるグラフをイメージすればよいと思う!2015/9
〓 ln|x| の微分 〓
■ x>0 で [ln|x|];x=[ln(x)];x=1/x
x<0 で [ln|x|];x=[ln(-x)];x=1/x ※ - はつかない{核心!}
ln|x|は減少関数だから 1/x < 0 で、つじつまが合う
まとめて x の正負に関係なく [ln|x|];x=1/x ★_
▲ ln(x) は正の数に対してしか定義できない。
ln|x| は、0 を除く実数に対して定義でき、その微分は 1/x
■ (ln|k*x|);x=1/x ★_
〓 1/x の積分 〓 .
■ (ln|k*x|);x=1/x だから ${dx/x}=ln|k*x|〔 k:任意の定数 〕 ★_
※ ln|k*x|=ln|k|+ln|x| ln|k| が積分定数であるから、
${dx/x}=ln|x|+積分定数 ★_
■ ${dx/(-x)}=-${dx/x}=-ln|x|+積分定数 ★_
〓 1/x の定積分 〓 .
● ${dx/x}=ln|x|+積分定数
◆ ${dx/x}[x1~x2] ? ※ x=0 で 1/x は定義できない
■ x1>0 & x2>0 のとき ${dx/x}[x1~x2]=ln|x2|-ln|x1|=ln(x2/x1)
x1<0 & x2<0 のとき ${dx/x}[x1~x2]=ln|x2|-ln|x1|=ln(x2/x1)
まとめて ${dx/x}[x1~x2]=ln(x2/x1)〔 x1 と x2 は同符号 〕 ★_
〓 {計算例} 1/x の定積分 〓 .
★ ${dx/x}[x:1~2]=ln(2/1)=ln(2)~0.69
★ ${dx/x}[x:-2~-1]=ln[-1/(-2)]=ln(1/2)=-ln(2)~-0.69
x<0 の範囲で 1/x < 0 だから、これでよい
{やっと納得できた!40年間謎だった!2015/9}{すっきりした!2018/4}
☆ お勉強しよう 2018-2011 Yuji Watanabe ☆