☆お勉強しようUz☆ 数学.積分

2016/8-2013/2 Yuji.W

☆曲線の長さ☆

◎ 曲線の長さ 円 三角関数 放物線 心臓形 対数螺旋

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数.

◇曲線の長さを数値計算で求める

◎ 数値計算をして、曲線の長さの近似値を求める事ができる。

■ 平面上の曲線 y=f(x)

50ステップで求める場合 x0〜x50

 l1=root{(x1-x0)^2+[f(x1)-f(x0)]^2}
 l2=root{(x2-x1)^2+[f(x2)-f(x1)]^2} …
 l50=root{(x50-x49)^2+[f(x50)-f(x49)]^2}

 x=x0~x50 の曲線の長さ L=l1+s2+…+l50

■ 数値計算の結果

円 y=root[1-x^2] x=0〜x=1 L=1.5704 2*L=3.1408

三角関数 y=sin(Pi*x) x=0〜x=0.5 L=1.152409331

放物線 y=x^2 x=0〜x=1 L=1.47891 ※ 正しい値=1.47894…

◇曲線の長さ◇

◎ 曲線の長さを、積分を使って求める

■ 経路の長さ L=${dl} dl=root[(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2]

■ 曲線 パラメータ t を使って x(t) , y(t) , z(t) のとき、

 経路の長さ L=${root[(x;t)^2+(y;t)^2+(z;t)^2]*dt} .

■ 曲線 x , y(x) , z(x) のとき、

 経路の長さ L=${root[1+(y;x)^2+(z;x)^2]*dx} .

◇円周◇

◆ 円〔半径 1〕 x^2+y^2=1 x=0~1 y=1~0 のときの円周の長さ L

■ パラメータ a を使って x=cos(a) y=sin(a) a=0~Pi/2

 x;a=-sin(a) y;a=cos(a)

 (x;a)^2+(y;a)^2=[-sin(a)]^2+[cos(a)]^2=1

 L=1*${da}[a:0~Pi/2]=Pi/2

 4*L=2*Pi .円周の長さ

{うまくできるものだな!2016/8}

◇三角関数◇

◆ 三角関数 y=sin(x) 0<x<Pi/2 0<y<1 長さ L

※ 2点 (0,0) , (Pi/2 , 1)を結ぶ線分の長さ root[1^2+(Pi/2)^2]~1.85

■ y;x=cos(x) 1+(y;x)^2=1+cos(x)^2=2*cos(x/2)^2

 root[1+(y;x)^2]=root2*cos(x/2)

 L
=root2*${cos(x/2)*dx}[x:0~Pi/2]
=root2*[2*sin(x/2)][x:0~Pi/2]
=root2*2*sin(Pi/4)
=root2*2*(root2/2)
=2 
.{整数になる!2016/8}

放物線

◆ 放物線 y=x^2 x=0〜1 y=0~1 長さ L

※ 原点と (1,1) を通る他の曲線の長さ

直線 L=root2=1.41421…

円 L=Pi/2~1.57

放物線(数値計算 50ステップ) L=1.47891

${root(x^2+A)*dx}=(1/2)*{x*root(x^2+A)+A*ln[x+root(x^2+A)]}

■ y=x^2 y;x=2*x (y;x)^2=4*x^2

 L
=${root[1+(y;x)^2]*dx}[x:0~1]
=${root[1+4*x^2]*dx}[x:0~1]
=2*${root[x^2+1/4]*dx}[x:0~1] 

ここで 2*${root[x^2+1/4]*dx}
=x*root(x^2+1/4)+(1/4)*ln[x+root(x^2+1/4)] だから、

 L
={x*root(x^2+1/4)+(1/4)*ln[x+root(x^2+1/4)]}[x:0~1]
=(1/2)*root5+(1/4)*ln(1+root5/2)-(1/4)*ln(1/2)
=root5/2+(1/4)*ln(1+root5/2)+(1/4)*ln(2)
~1.11803+0.18762+0.17329
=1.47894 
.


◆ 放物線 y=x^2 x=1〜10 y=1~100 長さ L

※ 2点 (1,1) ,(1,100) を結ぶ線分の長さ root(9^2+99^2)=root(9882)~99.4

■ L
={x*root(x^2+1/4)+(1/4)*ln[x+root(x^2+1/4)]}[x:1~10]
={10*root(100+1/4)+(1/4)*ln[10+root(100+1/4)]
-root5/2-(1/4)*ln(1+root5/2)
~100.1+0.7-1.6-0.2
=99.0 
.

心臓形 cardioid

◆ 心臓形 r=1-cos(a) 1周の長さ L

● sin(a/2)^2=(1/2)*(1-cos(a))

■ 円座標(r,a)で dr=+sin(a)*da

 (dl)^2
=(dr)^2+r^2*(da)^2
=[sin(a)^2+(1-cos(a))^2]*(da)^2
=2*(1-cos(a))*(da)^2

 1-cos(a)=2*sin(a/2)^2

 dl=root2*root[1-cos(a)]*da=2*sin(a/2)*da

 L
=2*${dl}[a:0~Pi]
=4*${sin(a/2)*da}[a:0~Pi]
=8*[-cos(a/2)][a:0~Pi]
=8 
.{整数になった!}

☆対数螺旋 たいすうらせん☆

◆ 対数螺旋 たいすうらせん Logarithmic spiral ベルヌーイの螺旋

 x=exp(-t)*cos(Pi*t) y=exp(-t)*sin(Pi*t) 0<t<2 の長さ L

「対数螺旋」

t

0

1/2

1

3/2

2

x

1

0

-1/e~-0.37

0

1/e^2~0.14

y

0

1/root(e)~0.61

0

-1/e^(3/2)~-0.22

0

■ x;t
=-exp(-t)*cos(Pi*t)-Pi*exp(-t)*sin(Pi*t)
=-exp(-t)*[cos(Pi*t)+Pi*sin(Pi*t)]

 y;t
=-exp(-t)*sin(Pi*t)+Pi*exp(-t)*cos(Pi*t)
=-exp(-t)*[sin(Pi*t)-Pi*cos(Pi*t)]

 [cos(Pi*t)+Pi*sin(Pi*t)]^2+[sin(Pi*t)-Pi*cos(Pi*t)]^2
=1+Pi^2

 (dl)^2/(dt)^2
=(x;t)^2+(y;t)^2
=exp(-t)^2*(1+Pi^2)

 dl=root(1+Pi^2)*exp(-t)*dt

 L
=root(1+Pi^2)*${exp(-t)*dt}[t:0~2]
=root(1+Pi^2)*[-exp(-t)][t:0~2]
=root(1+Pi^2)*(1-1/e^2)
~3.30*0.86
~2.85

 全長 s
=root(1+Pi^2)*[-exp(-t)][t:0~∞]
=root(1+Pi^2)
~3.30

  線積分  

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