〓　曲線の長さ　〓

◎ 曲線の長さを、積分を使って求める

■ 経路の長さ L=${dl}　dl=root[(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2]

■ 曲線　パラメータ t を使って　x(t) , y(t) , z(t)　のとき、

　経路の長さ L=${root[(x;t)^2+(y;t)^2+(z;t)^2]*dt}　★　

■ 曲線　x , y(x) , z(x)　のとき、

　経路の長さ L=${root[1+(y;x)^2+(z;x)^2]*dx}　★　

〓　円周　〓

▢ 円　半径 1　y=root(1-x^2)　x=0~1　円周 L

■ y;x=-2*x*(1/2)/root(1-x^2)=-x/root(1-x^2)

　(y;x)^2=x^2/(1-x^2)

　1+(y;x)^2=1+x^2/(1-x^2)=1/(1-x^2)

　root[1+(y;x)^2]=1/root(1-x^2)

　L/4=${dx/root(1-x^2)}[x:0~1]=[arcsin(x)][x:0~1]=Pi/2-0=Pi/2

　L=4*Pi/2=2Pi　★　

{別解}　パラメータ a を使って　x=cos(a)　y=sin(a)　a=0~Pi/2

　x;a=-sin(a)　y;a=cos(a)

　(x;a)^2+(y;a)^2=[-sin(a)]^2+[cos(a)]^2=1

　L/4=1*${da}[a:0~Pi/2]=Pi/2

　L=2*Pi　★　円周の長さ

{うまくできるものだな!2016/8}

〓　曲線の長さを数値計算で求める　〓

◎ 数値計算をして、曲線の長さの近似値を求める事ができる。

■ 平面上の曲線 y=f(x)

50ステップで求める場合　x0〜x50

　l1=root{(x1-x0)^2+[f(x1)-f(x0)]^2}
　l2=root{(x2-x1)^2+[f(x2)-f(x1)]^2}　…
　l50=root{(x50-x49)^2+[f(x50)-f(x49)]^2}

　x=x0~x50 の曲線の長さ L=l1+s2+…+l50

■ 数値計算の結果

円　y=root[1-x^2]　x=0〜x=1　L=1.5704　2*L=3.1408

三角関数　y=sin(Pi*x)　x=0〜x=0.5　L=1.152409331

放物線　y=x^2　x=0〜x=1　L=1.47891　※ 正しい値=1.47894…

〓　三角関数　〓　

▢ 三角関数　y=sin(x)　0<x<Pi/2　0<y<1　長さ L

※ 2点 (0,0) , (Pi/2 , 1)を結ぶ線分の長さ　root[1^2+(Pi/2)^2]~1.85

■ y;x=cos(x)　1+(y;x)^2=1+cos(x)^2=2*cos(x/2)^2

　root[1+(y;x)^2]=root2*cos(x/2)

　L
=root2*${cos(x/2)*dx}[x:0~Pi/2]
=root2*[2*sin(x/2)][x:0~Pi/2]
=root2*2*sin(Pi/4)
=root2*2*(root2/2)
=2　★　{整数になる!2016/8}

〓　放物線　〓　

● 双曲線関数を利用して、

　${root(1+a^2*x^2)*dx}
=x*root(1+a^2*x^2)/2+ln[a*x+root(1+a^2*x^2)]/(2*a)　

● 原点と (1,1) を通る他の曲線の長さ

直線　L=√2=1.41421…　　円　L=Pi/2~1.57

放物線(数値計算 50ステップ)　L=1.47891

▢ 放物線　y=x^2　x=0〜1　y=0~1　長さ L

■ y=x^2　y;x=2*x　(y;x)^2=4*x^2

　L=${root[1+(y;x)^2]*dx}[x:0~1]=${root[1+4*x^2]*dx}[x:0~1]

ここで　${root[1+4*x^2]*dx}
=x*root(1+4*x^2)/2+ln[2*x+root(1+4*x^2)]/4　

　${root[1+4*x^2]*dx}[x:0~1]
={x*root(1+4*x^2)/2+ln[2*x+root(1+4*x^2)]/4}[x:0~1]　
=√5/2+ln(2+√5)/4　

　L=√5/2+ln(2+√5)/4~1.1180+0.3609=1.4789　★　

{数値計算と一致したと言える!19.8}

〓　心臓形 cardioid　〓　

▢ 心臓形　r=1-cos(a)　1周の長さ L

● sin(a/2)^2=(1/2)*(1-cos(a))

■ 円座標(r,a)で　dr=+sin(a)*da

　(dl)^2
=(dr)^2+r^2*(da)^2
=[sin(a)^2+(1-cos(a))^2]*(da)^2
=2*(1-cos(a))*(da)^2

　1-cos(a)=2*sin(a/2)^2

　dl=root2*root[1-cos(a)]*da=2*sin(a/2)*da

　L
=2*${dl}[a:0~Pi]
=4*${sin(a/2)*da}[a:0~Pi]
=8*[-cos(a/2)][a:0~Pi]
=8　★　{整数になった!}

〓　対数螺旋 たいすうらせん　〓　

▢ 対数螺旋 たいすうらせん Logarithmic spiral ベルヌーイの螺旋

　x=exp(-t)*cos(Pi*t)　y=exp(-t)*sin(Pi*t)　0<t<2 の長さ L

■ x;t
=-exp(-t)*cos(Pi*t)-Pi*exp(-t)*sin(Pi*t)
=-exp(-t)*[cos(Pi*t)+Pi*sin(Pi*t)]

　y;t
=-exp(-t)*sin(Pi*t)+Pi*exp(-t)*cos(Pi*t)
=-exp(-t)*[sin(Pi*t)-Pi*cos(Pi*t)]

　[cos(Pi*t)+Pi*sin(Pi*t)]^2+[sin(Pi*t)-Pi*cos(Pi*t)]^2
=1+Pi^2

　(dl)^2/(dt)^2
=(x;t)^2+(y;t)^2
=exp(-t)^2*(1+Pi^2)

　dl=root(1+Pi^2)*exp(-t)*dt

　L
=root(1+Pi^2)*${exp(-t)*dt}[t:0~2]
=root(1+Pi^2)*[-exp(-t)][t:0~2]
=root(1+Pi^2)*(1-1/e^2)
~3.30*0.86
~2.85

　全長 s
=root(1+Pi^2)*[-exp(-t)][t:0~∞]
=root(1+Pi^2)
~3.30