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☆ 逆関数の微分 ☆ |
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▢ (dy/dx)*(dx/dy)=1 (yの微分)*(yの逆関数の微分)=1 ? 逆三角関数 逆双曲線関数 ♡ 50年ほど混乱してた項目{!} ★ |
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・2*3=6 6/2=3 3^2=9 1000=10^3=Ten(3) 000 py- 0table-202012 |
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〓 逆関数 〓 ◇ 微分 ; 〇 関数 1対1対応 逆関数 ▷ 変数 x , y に関係があるとする。 「y は x の関数である」 x の値を定めると、y の値が1つ定まる。異なる x の値に対して、同じ y の値になっても構わない。 「x は y の関数である」 y の値を定めると、x の値が1つ定まる。異なる y の値に対して、同じ x の値になっても構わない。 y が x の関数であっても、x が y の関数ではない事がありうる。 「x と y が 1対1対応」 y が x の関数であって、x も y の関数である場合。 「x≧0 , y≧0 において y=x^2」 とすれば、1対1対応になる。 ▷ x と y が 1対1対応しているとき、 y=f(x) を解いて x=g(y) x と y を入れ替えて Y=g(X) Y=g(X) を 「y=f(x) に対する逆関数」と言う。 ※ 普通、逆関数も y=g(x) と表す。 ☆ 1次関数 y=2*x+3 x=(y-3)/2 x と y を入れ替えて 逆関数 Y=(X-3)/2 ☆ x≧0 , y≧0 において 2次関数 y=x^2 x=root(y) x と y を入れ替えて 逆関数 Y=root(X) ☆ 0≦x , 1≦y において 指数関数 y=e^x=exp(x) x=ln(y) x と y を入れ替えて 逆関数 Y=ln(X) ☆ 0≦x≦Pi , -1≦y≦1 において 三角関数 y=cos(x) x=arccos(y) x と y を入れ替えて 逆関数 Y=arccos(X) |
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〓 (y;x)*(x;y)=1 〓 ◇ 微分 ; ▢ 1対1対応の x と y 微小変化量 Δx , Δy ▷ y;x=lim[Δx->0 , Δy->0]{Δy/Δx} また x;y=lim[Δx->0 , Δy->0]{Δx/Δy} ⇒ (y;x)*(x;y)=lim[Δx->0 , Δy->0]{(Δy/Δx)*(Δx/Δy)}=lim[Δx->0 , Δy->0]{1}=1 (y;x)*(x;y)=1 ★ ☆ x≧0 , y≧0 において y=x^2 , x=root(y) y;x=2*x & x;y=1/[2*root(y)] (y;x)*(x;y)=(2*x)/[2*root(y)]=x/root(y)=x/x=1 ☆ 0≦x , 1≦y において y=exp(x) , x=ln(y) y;x=exp(x) & x;y=1/y (y;x)*(x;y)=exp(x)/y=y/y=1 |
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〓 逆関数の微分 〓 ◇ 微分 ; ☆ x≧0 , y≧0 において y=x^2 , x=root(y) x と y を入れ替えて 逆関数 Y=root(X) X=Y^2 y;x=2*x & x;y=1/[2*root(y)] また Y;X=1/[2*root(X)] & X;Y=2*Y (y;x)*(x;y)=(2*x)/[2*root(y)]=x/root(y)=x/x=1 (Y;X)*(X;Y)={1/[2*root(X)]}*2*Y=root(X)/root(X)=1 ところが、 (y;x)*(Y;X)=(2*x)/[2*root(X)]=x/root(X) x=X としてしまうと (y;x)*(Y;X)=root(x) ? ▲ (y;x)*(x;y)=1 逆関数でも (Y;X)*(X;Y)=1 が、成り立つ。 しかし (y;x)*(Y;X) ? (関数の微分)*(逆関数の微分)=1 になると安易に覚えると、間違える{!} ★ |
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〓 対数関数の微分 〓 〇 公式 (y;x)*(x;y)=1 を利用して ln(x);x を求める ▢ 0≦x , 1≦y において y=exp(x) 逆関数 Y=ln(X) ▷ y;x=exp(x) x;y=1/(y;x)=1/exp(x)=1/y xとyを入れ替えて Y;X=1/X ln(X);X=1/X ln(x);x=1/x ★ ▷ {別解} y=exp(x) xとyを入れ替えて X=exp(Y) ln(X)=Y X;Y=exp(Y)=X Y;X=1/(X;Y)=1/X ln(X);X=1/X ln(x)=1/x ★ |
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〓 逆三角関数の微分 〓 〇 公式 (y;x)*(x;y)=1 を利用して arccos(x);x を求める ▢ 0≦x<Pi , 0≦y≦1 において 三角関数 y=cos(x) 逆関数 Y=arccos(X) ▷ y;x=-sin(x) x;y=1/(y;x)=-1/sin(x)=-1/root[1-cos(x)^2]=-1/root(1-y^2) xとyを入れ替えて Y;X=-1/root(1-X^2) arccos(x);x=-1/root(1-x^2) ★ ▷ {別解} y=cos(x) xとyを入れ替えて X=cos(Y) & Y=arccos(X) X;Y=-sin(Y)=-root[1-cos(Y)^2]=-root(1-X^2) Y;X=1/(X;Y)=-1/root(1-X^2) arccos(x);x=-1/root(1-x^2) ★ |
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〓 逆双曲線関数の微分 〓 〇 公式 (y;x)*(x;y)=1 を利用して arcosh(x);x を求める ▢ x≧0 , y≧1 において y=cosh(x)=[exp(x)+exp(-x)]/2 逆関数 Y=arcosh(X) ▷ y;x=[exp(x)-exp(-x)]/2=sinh(x) x;y=1/(y;x)=1/sinh(x)=1/root[cosh(x)^2-1]=1/root(y^2-1) xとyを入れ替えて Y;X=1/root(X^2-1) arcosh(X);X=1/root(X^2-1) arcosh(x);x=1/root(x^2-1) ★ ▷ {別解} y=cosh(x) xとyを入れ替えて X=cosh(Y)=[exp(Y)+exp(-Y)]/2 & Y=arcosh(X) X;Y=[exp(Y)-exp(-Y)]/2=sinh(Y) Y;X=1/(X;Y)=1/sinh(Y)=1/root[cosh(Y)^2-1]=1/root(X^2-1) arcosh(X);X=1/root(X^2-1) arcosh(x);x=1/root(x^2-1) ★ |
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