☆お勉強しようUz☆ 数学.積分

2016/9-2011 Yuji.W

積分とは何か

◎ 積分の意味 {全然わかってなかった!}

◇ ベクトル<A> 単位ベクトル<Au> 内積* 外積#  物理定数.
◆ ネイピア数 e 虚数単位 i exp(i*x)=expi(x) 微分;x 積分$ 10^x=Ten(x)

☆40年前に高校で習った事☆

◎ 1970年代、高校で次のように習った。

@ 不定積分は、微分の逆演算である。-不定積分の定義-

A 定積分は、不定積分した関数に、始めの値と、終わりの値を代入した量から求めるものである。-定積分の定義-

微分の逆演算したものに、値を代入して、引き算したものは、いったいどういう意味があるのか。定積分の意味がまるでつかめなかった。変だなあと思いつつ、無理矢理暗記して次へ進んだ。ここでのモヤモヤが、結局最後まで、積分はなんだかわからないという気持ちを抱かせた原因だと思う。

積分の計算はできても、積分をどの場面で使えばいいのかわからなかった。かけ算は、割り算の逆演算だと習って、九九を覚えて計算できるようになっても、かけ算の意味がわからなくて、いつどの場面でかけ算を使えばいいのかわからないのと同じだった。{!2013/7}

■ 次のように、教え方を変える必要がある。

@不定積分は、微分の逆演算である。-不定積分の定義-

A定積分は、微少量 dx に対するかけ算 f(x)*dx 集めたものである。-定積分の定義-

B定積分は、不定積分した関数に、始めの値と、終わりの値を代入した量から求めることができる。-証明する必要がある-

定積分の定義のイメージ

◎ どんなものでも、イメージをしっかりさせないといけない。イメージの中にこそ、本質がある。

■ 積で表せる量を考える。例えば、

 縦×横=面積 速さ×時間=距離 力×距離=エネルギー

上記の公式は、
 縦の長さ(横の長さが変わっても)=一定
 速さ(時間に依らずに)=一定
 力の大きさ(位置が変わっても)=一定

という、暗黙の了解の上に成り立っている。

では、一定ではなく、(ある量)×(その量に応じて刻々と変化する量) という量をどう求めればよいか。積分が使える。

xの関数 f(x) f(x)*x という量が成立する(意味がある)場合を考える。

x が x〜x+dx と変化する所を考える。dx は小さいとし、その小さな変化の間、関数 f(x) は変化しないで、一定の値 f(x) を取るとみなす。その値と、xの値の増加分 dx との積(普通のかけ算) f(x)*dx を考える。そのようなかけ算を、xの値をずらし、順々に集める。 .

x=a の所から、x=b の所まで集めた値が、定積分 ${f(x)*dx}[x:a~b]である。

 ${f(x)*dx}[x:a~b]
=…+f(x-2*dx)*dx+f(x-dx)*dx+f(x)*dx+f(x+dx)*dx+f(x+2*dx)*dx+…

▲ この後、本当に定義するためには、もっと複雑な面倒な事を言わなければならないが、積分の本質をつかむためには、上記のような理解が必要であると考える。

☆積分=面積 ?☆

■【 長年の疑問 】

「積分とは、面積を表したものである」なんて書いてある資料がよくある。

だが、例えば ${sin(x)*dx}=-cos(x) 面積を表すはずなのに マイナス ?

■【 定積分が面積を表す場合 】

2つの関数 f(x),g(x) 定数 a,b〔 a<b 〕 a≦x≦b で f(x)≧g(x) である場合、

2つの関数と、直線 x=a , x=b に囲まれた図形の面積 S

 S(a~b)=${[f(x)-g(x)]*dx}[x:a~b] .

特別に g(x)=0…x軸 のとき

a≦x≦b で f(x)≧0 である場合 S(a~b)=${f(x)*dx}[x:a~b] .

『定積分が面積を表す場合』 2016/9

◆ 2つの関数 f(x),g(x) 定数 a,b〔 a<b 〕 a≦x≦b で f(x)≧g(x)

2つの関数に挟まれ、範囲 x=a~b にある図形の面積 S(a~b)

 S(a~b)=${[f(x)-g(x)]*dx}[x:a~b]

■【 sin(x)の積分 】

@ sin(x) の不定積分 -cos(x)

A 0≦x≦Pi で sin(x) と x軸に挟まれ、0~x の範囲内にある図形の面積 S(0~x)

 S(0~x)=${sin(x)*dx}[x:0~x]=[-cos(x)][x:0~x]=-cos(x)+cos(0)=-cos(x)+1

≫ S(0~x)=-cos(x)+1 .

 S(v0)=-cos(0)+1=0
 S(0~Pi/2)=-cos(Pi/2)+1=-0+1=1 S(0~Pi)=-cos(Pi)+1=+1+1=2

{この当たりをあいまいにするから、混乱する!2016/9}

■【 1/x の積分 】

1≦x で 1/x とx軸に囲まれ、1~x の範囲内にある図形の面積 S(1~x)

 S(1~x)=${(1/x)*dx}[x:1~x]=[ln(x)][x:1~x]=ln(x)-ln(1)=ln(x)-0=ln(x)

≫ S(1~x)=ln(x) .

 S(1~1)=ln(1)=0 S(1~2)=ln(2)~0.69 S(1~3)=1.10

■【 -1/x の積分 】

x≦-1 で -1/x とx軸に囲まれ、x~-1 の範囲内にある図形の面積 S(x~-1)

 S(x~-1)
=${(-1/x)*dx}[x:x~-1]
=[-ln|x|][x:x~-1]
=-ln|-1|+ln|x|
=-ln(1)+ln|x|
=0+ln|x|
=ln|x|

≫ S(x~-1)=ln|x| .

 S(-1~-1)=ln|-1|=ln(1)=0

 S(-2~-1)=ln|-2|=ln(2)~0.69 S(-3~-1)=ln|3|=ln(3)~1.10

『1/x の定積分』 2016/9

■ 1/x とx軸に挟まれ、範囲 1~x〔 x>1 〕にある図形の面積 S(1~x)

 S(1~x)=ln(x)

■ -1/x とx軸に挟まれ、範囲 x~-1〔 x<-1 〕にある図形の面積 S(x~-1)

 S(x~-1)=ln(-x)

☆不定積分と定積分☆

◎ 不定積分と定積分との関係を証明しよう。

「B定積分は、不定積分した関数に、始めの値と、終わりの値を代入した量から求めることができる。」

● 微分積分学の基本公式 (${f(t)*dt}[t:a~x]);x=f(x)

◆ ${f(x)*dx}=F(x) F(x);x=f(x) B(x)=${f(t)*dt}[t:a~x]-F(x)+F(a)

このとき x で微分 B(x);x=0

■ B(x);x=(${f(t)*dt}[t:a~x]);x-F(x);x+F(a);x=f(x)-f(x)+0=0

◆ ${f(x)*dx}=F(x) F(x);x=f(x) のとき、

 ${f(x)*dx}[x:a~b]=F(b)-F(a) .

{証明の方法} 次の関数を考える。B(x)=${f(t)*dt}[t:a~x]-F(x)+F(a)

 B(b)=${f(t)*dt}[t:a~b]-F(b)+F(a) だから、

B(b)=0 が成り立てば ${f(t)*dt}[t:a~b]=F(b)-F(a)

すなわち ${f(x)*dx}[x:a~b]=F(b)-F(a) が言える。

{証明} B(a)=${f(t)*dt}[t:a~a]-F(a)+F(a)=0…@

 B(x);x=0…A

@とAより、任意の x に対して B(x)=0

だから B(b)=0 』

☆微分積分学の基本公式☆

※ こういう名前の公式{!}

■ F(x)=${f(t)*dt}[t:a~x] を考える。x の関数となっている。

x で微分すると F(x);x=f(x)

すなわち (${f(t)*dt}[t:a~x]);x=f(x) .微分積分学の基本公式

{証明} 微少範囲 x~x+dx での 積 f(x)*dx を、a~b の範囲で集めたものが、定積分であるから、微少範囲 x~x+dx では、積 f(x)*dx そのものになる。

 ${f(t)*dt}[t:x~x+dx]=f(x)*dx

F(x) を考えて、

 F(x)=${f(t)*dt}[t:a~x]

 F(x+dx)
=${f(t)*dt}[t:a~x+dx]
=${f(t)*dt}[t:a~x]+${f(t)*dt}[t:x~x+dx]

 [F(x);x]*dx=F(x+dx)-F(x)=${f(t)*dt}[t:x~x+dx]=f(x)*dx

 F(x);x=f(x) 』

  積分とは  

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