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☆ 積分とは ☆ |
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〇 定積分の定義 微分積分学の基本公式 2023.2-2013.7 Yuji.W ★ |
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◇ 2*3=6 Ten(3)=10^3=1000 微分 ; 偏微分 : 積分 $ e^(i*x)=expi(x) |
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〓 定積分とは 1970年頃に高校で習った事 〓 〇 ① 不定積分は、微分の逆演算 ② 定積分は、不定積分した関数に、始めの値と、終わりの値を代入して求めた値 ①はわかる。逆演算ね。 ② 微分の逆演算したものに、値を代入して求めた値に、いったいどういう意味があるのだろう。定積分の意味がわからなかった。 変だなあと思いつつ、無理矢理暗記して次へ進んだ。ここでのモヤモヤが、結局最後まで、積分はなんだかわからないという気持ちを抱かせた原因だと思う。積分をどういう場合に使えばいいのかわからない。九九を覚えても、どういう場合にかけ算を使えばいいのかわからないのと同じだった。{!2013.7} 〇 次のように、教え方を変える必要があると思う。 ① 不定積分は、微分の逆演算 ② 定積分は、微少量 dx に対するかけ算 f(x)*dx 集めたもの ★ ③ 定積分は、不定積分した関数に、始めの値と、終わりの値を代入した量から求めることができる。-証明する必要がある- |
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〓 定積分の定義 〓 ◇ 定積分 ${f(x)*dx〔x|a~b〕} 〇 変数 x xの関数 f(x) xとf(x)の積 f(x)*x 微少量 Δx に対して x～x+Δx の範囲を考える。 f(x) の値は変化するのだが、その範囲では f(x)=一定 とみなせるとする。 次の様な和を考える。 f(a)*Δx+f(a+Δx)*Δx+f(a+2*Δx)*Δx+…+f(b-Δx)*Δx Δx->0 の極限をとって、 定積分 ${f(x)*dx〔x|a~b〕} この式を定積分の定義とする。 |
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〓 微分積分学の基本公式 〓 ◇ 微分 ;x 定積分 ${f(x)*dx〔x|a~b〕} 〇 定数 a 変数 t , x ${f(t)*dt〔t|a~x〕} は x の関数 微分積分学の基本公式 (${f(t)*dt〔t|a~x〕});x=f(x) ★ ▢ 定数 a 変数 t , x xの関数 f(x) 定積分 F(x)=${f(t)*dt〔t|a~x〕} ▷ 以下、Δx->0 の極限を考える。 F(x) の x は、定積分の上端を表している事に過ぎないから、 F(x)=[f(a)+f(a+Δx)+f(a+2*Δx)+…+f(x-Δx)]*Δx F(x+Δx)=[f(a)+f(a+Δx)+f(a+2*Δx)+…+f(x-Δx)+f(x)]*Δx ⇒ F(x+Δx)-F(x)=f(x)*Δx 微分の定義より、 F(x);x=[F(x+Δx)-F(x)]/Δx=f(x)*Δx/Δx=f(x) ≫ (${f(t)*dt〔t|a~x〕});x=f(x) ★ 微分積分学の基本公式 |
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〓 不定積分と定積分 〓 ◎ 「③定積分は、不定積分した関数に、始めの値と、終わりの値を代入した量から求めることができる。」 ▢ 定数 a 変数 x , t xの関数 f(x) f(x)の不定積分 F(x)=${f(x)*dx} ▷ 「① 不定積分は、微分の逆演算」だから F(x);x=f(x) ▷ ${f(t)*dt〔t|a~x〕} は xの関数 次の関数を考える B(x)=${f(t)*dt〔t|a~x〕}-F(x)+F(a) x で微分すると、 B(x);x=(${f(t)*dt〔t|a~x〕});x-F(x);x+F(a);x 微分積分学の基本公式より (第1項)=f(x) 不定積分の微分 (第2項)=f(x) 定数の微分 (第3項)=0 ⇒ B(x);x=f(x)-f(x)+0=0 B(x)=定数 定数 a , b に対して B(b)=B(a) ここで B(b)=${f(t)*dt〔t|a~b〕}-F(b)+F(a) B(a)=${f(t)*dt〔t|a~a〕}-F(a)+F(a)=0 ⇒ ${f(t)*dt〔t|a~b〕}-F(b)+F(a)=0 ${f(t)*dt〔t|a~b〕}=F(b)-F(a) ★ 定積分は、不定積分した関数に、始めの値と、終わりの値を代入した量から求めることができる {おーなるほど!} ♡ 以下の順に教えてくれると、わかりやすかったと思う。 ①不定積分の定義 微分の逆演算 ③④は高校生にはわかりにくいから、④を定積分の定義としてしまえというのが、当時の文部省の考え方だったのだろうか。逆効果であったと思う。 |
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☆ uzお勉強しよう since2011 Yuji.W |