数学 積分

2015/11-2013/7 Yuji.W

広義積分

◎ 元の関数が、ある所で発散していても、定積分を定義することができる{知らなかった。これが出てくるといつも、変だなあと思って終わっていた!2013/7} 

☆ improper integral

〔表記〕ベクトル<> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積#〔物理定数
微分 y;x 2階微分 y;;x 
時間微分 y' 積分 ${f(x)*dx} 定積分 ${f(x)*dx}[x:a~b]
累乗 ^ 10^x≡Ten(x) 1/x≡Over(x) exp(i*x)≡expi(x) 複素共役 z!
.2015/11/13

☆広義積分 ?☆

◎ 発散しているのに、積分値は存在するのか?

◆ ${[1/root(x)]*dx}[x:0~1] 1/root(x) は x=0 で発散している(無限大になる)

一定の積分値を持つのだろうか ?

■ 0<Δx<<1 である Δx において、

Δx=0.1 のとき 1/root(Δx)~3.16

Δx=0.01 のとき 1/root(Δx)=10

Δx=0.001 のとき 1/root(Δx)~31.6

Δx=0.0001 のとき 1/root(Δx)=100

Δx が 0 に近づくにつれ、1/root(Δx) の値は大きくなる。

 Δx->∞ で 1/root(Δx)->∞ 積分できない ?

${[1/root(x)]*dx}[x:Δx~1] という積分を考える。

 積分の近似値
=[1/root(Δx)]*Δx+[1/root(2*Δx)]*Δx+[1/root(3*Δx)]*Δx+…

[1/root(Δx)]*Δx の値は、

Δx=0.1 のとき [1/root(Δx)]*Δx~3.16*0.1=0.316

Δx=0.01 のとき [1/root(Δx)]*Δx=10*0.01=0.1

Δx=0.001 のとき [1/root(Δx)]*Δx~31.6*0.001=0.0316

Δx=0.0001 のとき [1/root(Δx)]*Δx=100*0.0001=0.01

Δx が 0 に近づくにつれ、[1/root(Δx)]*Δx の値は小さくなる。

 Δx->0 で [1/root(Δx)]*Δx->0 積分できる

----- まとめ -----

1/root(x) は、〔 x->0 で f(x)->∞ 〕ではあるのだが、

[1/root(Δx)]*Δx は、〔 Δx->0 で [1/root(Δx)]*Δx->0 〕であるので、次のように定義すれば、積分値を求める事ができる .

 ${[1/root(x)]*dx}[x:0~1]≡lim[h->0]{${[1/root(x)]*dx}[x:h~1]}

{普通は、以上のような説明がないまま、広義積分の話が進む。発散するのに積分値は存在する?モヤモヤが残ったまま進むから、わからなくなる!2015/11}

▲ Δx->0 のときに f(Δx) が大きくなる割合と、Δx が小さくなる割合の比較の問題になる。その大小によって、広義積分できる場合とできない場合がある。

例えば、1/x^2 は、x->0 のときに、Δx が小さくなる割合を超えて、急激に大きくなるので、x->0 まで広義積分できない。

■ ${[1/root(x)]*dx}[x:0~1]
=lim(h->0){${[1/root(x)]*dx}[h:h~1]}
=lim(h->0){[2*root(x)][h:h~1]}
=lim(h->0){2-2*root(h)}
=2

≫ ${[1/root(x)]*dx}[x:0~1]=2 .

■ ${[1/x^2]*dx}[x:0~1]
=lim(h->0){${[1/x^2]*dx}[h:h~1]}
=lim(h->0){[-1/x][h:h~1]}
=lim(h->0){-1+1/h}
->∞ 広義積分できない
.

☆シミュレイション ${[dx/root(x)}[x:0~1]☆

◎ Excel を使って、広義積分 ${dx/root(x)}[x:0~1] を求めよう

■ 1/root(x) は、x=0 で発散する

 ${dx/root(x)}[x:0~1]=lim[h->0]{${dx/root(x)}[x:h~1]}

ステップ数 n 1/n=Δx として、次の値を求める。

 I={1/root(Δx)+1/root(2*Δx)+1/root(3*Δx)+…+1/root(n*Δx)}*Δx

【 結果 】

n=10 I~1.63

 ※ ${dx/root(x)}[x:0.1~1]=2*[1-root(0.1)]~1.36

 ${dx/x}[x:0.1~1]=-ln(0.1)~2.30

n=100 I~1.86

 ※ ${dx/root(x)}[x:0.01~1]=2*[1-root(0.01)]~1.80

 ${dx/x}[x:0.1~1]=-ln(0.01)~4.61

n=1000 I~1.95

 ※ ${dx/root(x)}[x:0.001~1]=2*[1-root(0.001)]~1.94

 ${dx/x}[x:0.1~1]=-ln(0.001)~6.91

n=10000 I~1.99

 ※ ${dx/root(x)}[x:0.0001~1]=2*[1-root(0.0001)]~1.98

 ${dx/x}[x:0.1~1]=-ln(0.0001)~9.21

----- まとめ -----

 ${dx/root(x)}[x:0~1]=2 ${dx/x}[x:0~1]=発散してしまう

☆広義積分☆

■ x=b で発散している関数 f(x) に対して、${f(x)*dx}[x:b~c] を考える。

b<a<c となる値 a を選んで、発散しない範囲 a~c で、定積分を求める。

 a->b の極限を求める。その極限値を、定積分の値とする。

 ${f(x)}*dx}[x:b~c]=lim[a->b]{${f(x)}*dx}[x:a~c]} .

その極限値が必ず有限の値をとるわけではない。発散してしまうこともある。

■ c で発散しているときも、同様に定義できる。

 ${f(x)}*dx}[x:a~∞]=lim[h->∞]{${f(x)}*dx}[x:a~h]} .

☆1/root(1-x^2)☆

● 0≦a<Pi/2 で sin(a) は単調増加関数 cos(a) は単調減少関数

その範囲で、両関数とも逆関数を定義できる。しかも、両関数とも、正の値しかとらない。

● 0≦x<1 で ${[1/root(1-x^2)]*dx} を求めよう。

x=sin(a) と置く 0≦x<1 ⇔ 0≦a<Pi/2

 dx=cos(a)*da

 root(1-x^2)=root[1-sin(a)^2]=root[cos(a)^2]=cos(a) ※ cos(a)≧0 だから

 ${[1/root(1-x^2)]*dx}=${cos(a)*da/cos(a)]}=${1*da}=a=arcsin(x)

≫  0≦x<1 で ${[1/root(1-x^2)]*dx}=arcsin(x)

◆ ${[1/root(1-x^2)]*dx}[x:0~1] 元の関数は x=1 で発散している 広義積分できる?

■ ${[1/root(1-x^2)]*dx}[x:0~1]
=lim[h->1]{${[1/root(1-x^2)]*dx}[x:0~h]}
=lim[h->1]{[arcsin(x)][x:0~h]}
=lim[h->1]{arcsin(h)-arcsin(0)}
=arcsin(1)-arcsin(0)
=Pi/2-0
=Pi/2
.

≫ ${[1/root(1-x^2)]*dx}[x:0~1]=Pi/2 .

☆1/root(A^2-x^2)☆

● 0≦x<A で ${dx/root(A^2-x^2)} を求めよう。

次のように置く x=A*X 0≦x<A 0≦X<1

 dx=A*dX root(A^2-x^2)=A*root(1-X^2)

 ${dx/root(A^2-x^2)}
=${[A*dX/[A*root(1-X^2)}
=${dX/root(1-X^2)}
=arcsin(X)
=arcsin(x/A)

≫ ${dx/root(A^2-x^2)}=arcsin(x/A)

◆ ${[dx/root(A^2-x^2)}[x:0~A] 〔A:正の定数〕元の関数は x=A で発散している

■ ${[dx/root(A^2-x^2)}[x:0~A]
=lim[h->A]{${dx/root(A^2-x^2)}[x:0~h]}
=lim[h->A]{[arcsin(x/A)][x:0~h]}
=lim[h->A]{arcsin(h/A)-arcsin(0/A)}
=arcsin(1)-arcsin(0)
=Pi/2-0
=Pi/2

≫ ${[dx/root(A^2-x^2)}[x:0~A]=Pi/2 .

〔A:正の定数〕 ${dx/root(A^2-x^2)}[x:0~A]=Pi/2

  広義積分  

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