☆ガウス積分-まとめ☆

☆ガウス積分-まとめ☆

「ガウス積分-レベル1」　-2014/8-

● √Pi~1.78

■ ${exp(-x)*dx}[x:0~∞]=1　${exp(-x^2)*dx}[x:0~∞]=√Pi/2~0.89

　${x^2*exp(-x^2)*dx}[0~∞]=√Pi/4~0.44

　${x*exp(-x^2)*dx}[x:0~∞]=0.5　${x^3*exp(-x^2)*dx}[x:0~∞]=0.5

■ ${exp(-a*x)*dx}[x:0~∞]=1/a

　${exp(-a*x^2)*dx}[x:0~∞]=(√Pi/2)/√a

　${x^2*exp(-a*x^2)*dx}[0~∞]=(√Pi/4)/a^(3/2)

　${x*exp(-a*x^2)*dx}[x:0~∞]=(1/2)/a

　${x^3*exp(-a*x^2)*dx}[x:0~∞]=(1/2)/a^2

「ガウス積分-レベル2」

■ ${x^(2*n)*exp(-a*x^2)*dx}[0~∞]
=1*3*…*(2*n-1)*√Pi/[2^(n+1)*a^(n+1/2)]

　${x^(2*n+1)*exp(-a*x^2)*dx}[x:0~∞]=n!/[2*a^(n+1)]

■ ${(x^2+y^2)*exp[-a*(x^2+y^2)]*dx*dy}[x,y:-∞~∞]=Pi/a^2

■ ${exp[-a*(x^2+y^2+z^2)]*dx*dy*dz}[x,y,z:-∞~∞]=(Pi/a)^(3/2)

　${(x^2+y^2+z^2)*exp[-a*(x^2+y^2+z^2)]*dx*dy*dz}[x,y,z:-∞~∞]
=(3/2)*Pi^(3/2)/a^(5/2)