◎ exp(-x^2)　x^2*exp(-x^2)　x^4*exp(-x^2)

〔表記〕ベクトル<>　座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu>　内積*　外積#〔物理定数〕
微分 y;x　2階微分 y;;x　時間微分 y'　積分 ${f(x)*dx}　定積分 ${f(x)*dx}[x:a~b]
累乗 ^　10^x≡Ten(x)　exp(i*x)≡expi(x)　複素共役 z! ★.2015/11/13

◎ 単純に積分できない。特別な方法を使う。

■ まず、次の積分を求める。

　$${exp[-(x^2+y^2)]*dx*dy}[x:-∞~∞][y:-∞~∞]

円座標(r.,b)　dx*dy=r.*dr.*db

積分する関数 exp(-r.^2)　方位角 b に依らない関数

　$${exp[-(x^2+y^2)]*dx*dy}[x:-∞~∞][y:-∞~∞]
=2Pi*${r.*exp(-r.^2)*dr.}[r.:0~∞]

　▼ ${x*exp(-x^2)*dx}[x:0~∞]=1/2 ▼

　$${exp[-(x^2+y^2)]*dx*dy}[x:-∞~∞][y:-∞~∞]
=2Pi*${r.*exp(-r.^2)*dr.}[r.:0~∞]
=2Pi*(1/2)
=Pi ★.

一方　▼ exp[-(x^2+y^2)=exp(-x^2)*exp(-y^2) ▼

　$${exp[-(x^2+y^2)]*dx*dy}[x:-∞~∞][y:-∞~∞]
=(${exp(-x^2)*dx}[x:-∞~∞])*(${exp(-y^2)*dy}[y:-∞~∞])
=(${exp(-x^2)*dx}[x:-∞~∞])^2

　(${exp(-x^2)*dx}[x:-∞~∞])^2=Pi

　${exp(-x^2)*dx}[x:-∞~∞]=root(Pi) ★.ガウス積分の基本形

　${exp(-x^2)*dx}[x:0~∞]=root(Pi)/2~0.89 ★.

※ [x:-∞~∞][y:-∞~∞] ⇔ [r.:0~∞][b:0~2Pi]

　[x:0~∞][y:0~∞] ⇔ [r.:0~∞][b:0~Pi/2]

■ 2つのずれた正規分布の和

 exp[-(x-0.5)^2]　exp[-(x+0.5)^2]　その和

■ root(a)*x=X と置くと、dx=dX/root(a)

　${exp[-a*x^2]*dx}[x:0~∞]
=[1/root(a)]*${exp[-X^2]*dX}[X:0~∞]
=[root(Pi)/2]/root(a) ★.

■ 標準正規分布　f(x)=[1/root(Pi)]*exp(-x^2) ★.

　f(x)=[1/root(2Pi)]*exp(-x^2/2) ★.

x軸で左右対称

▲0〜2.5 を三角形と見なせば、

その面積~0.368*2.5/2~0.46

極大

　[x^2*exp(-x^2)];x=2x*exp(-x^2)-x^2*2x*exp(-x^2)
=2x*exp(-x^2)*(1-x^2)

　x=1 で　最大値 1/e~0.368

平均　x=1 よりやや大きい値のときに、平均値を取る。

■ ${x^2*exp(-x^2)*dx}[x:0~∞]　を求めよう。

　exp(-x^2);x=-2*x*exp(-x^2)

　x^2*exp(-x^2)=-(1/2)*x*[-2*x*exp(-x^2)]=-(1/2)*x*[exp(-x^2);x]

部分積分を使って、[x:0~∞] を省略すると、

　${x^2*exp(-x^2)*dx}
=-(1/2)*x*exp(-x^2)+(1/2)*${x;x*exp(-x^2)*dx}

ここで、定積分[x:0~∞]をとると、∞*exp(-∞)=0 に注意して、

　${x^2*exp(-x^2)*dx}[x:0~∞]
=0+(1/2)*${exp(-x^2)*dx}[x:0~∞]
=root(Pi)/4~0.44

≫　${x^2*exp(-x^2)*dx}[x:0~∞]=root(Pi)/4~0.44 ★.

■ ${x^2*exp(-a*x^2)*dx}[0~∞] を求めよう。

　root(a)*x=X と置くと　root(a)*dx=dX

　${x^2*exp(-a*x^2)*dx}[0~∞]
={1/[a*root(a)]}*${X^2*exp(-X^2)*dX}[0~∞]
=root(Pi)/[4*a^(3/2)]

≫　${x^2*exp(-a*x^2)*dx}[0~∞]=root(Pi)/[4*a^(3/2)] ★.

◆ 次の4つの関数を 0~∞ で広義積分する

�@ exp(-x)　�A x*exp(-x)　�B exp(-x^2)　�C x^2*exp(-x^2)

大小関係はいかに ?

■ 結果

�@ 1　�A 1　�B root(Pi)/2~0.8862　�C root(Pi)/4~0.4431　　�C < �B < �@ = �A

◆ ${x^(2*n)*exp(-x^2)*dx}[0~∞]=Ge(n)

■ Ge(0)=${exp(-x^2)*dx}[0~∞]=root(Pi)/2

　Ge(1)=${x^2*exp(-x^2)*dx}[0~∞]=root(Pi)/4

■ Ge(n+1)=${x^(2*n+2)*exp(-x^2)*dx}[0~∞]

　exp(-x^2);x=-2*x*exp(-x^2)

　x^(2*n+2)*exp(-x^2)
=-(1/2)*x^(2*n+1)*[-2*x*exp(-x^2)]
=-(1/2)*x^(2*n+1)*exp(-x^2);x

部分積分を使って、[x:0~∞] を省略すると、

　${x^(2*n+2)*exp(-x^2)*dx}
=${-(1/2)*x^(2*n+1)*exp(-x^2);x*dx}
=-(1/2)*x^(2*n+1)*exp(-x^2)+(1/2)*$[x^(2*n+1)];x*exp(-x^2)*dx}
=-(1/2)*x^(2*n+1)*exp(-x^2)
+(1/2)*(2*n+1)*$[x^(2*n)*exp(-x^2)*dx}

ここで、定積分[x:0~∞]をとると、∞*exp(-∞)=0 に注意して、 

　Ge(n+1)=(1/2)*(2*n+1)*Ge(n)　★…

　Ge(1)=(1/2)*Ge(0)=root(Pi)/4

　Ge(2)=(3/2)*Ge(1)=3*root(Pi)/8

　Ge(n)
=${x^(2*n)*exp(-x^2)*dx}[0~∞]
=root(Pi)*1*3*5*…*(2*n-1)/2^(n+1)　★…

★ ${x^2*exp(-x^2)*dx}[0~∞]=root(Pi)/4

　${x^4*exp(-x^2)*dx}[0~∞]=root(Pi)*3/8

　${x^6*exp(-x^2)*dx}[0~∞]=root(Pi)*15/16

■ root(a)*x=X と置いて　root(a)*dx=dX

　${x^(2*n)*exp(-a*x^2)*dx}[0~∞]
={1/[(a^n)*root(a)]}*${X^(2*n)*exp(-X^2)*dX}[0~∞]
=root(Pi)*1*3*…*(2*n-1)/[2^(n+1)*a^(n+1/2)]　★…

　★　ガウス積分.偶関数　★