数学-積分 2013/9-2012/10 Yuji.W
☆ x^3/[exp(x)-1]の積分 ☆
〔★〕
〔表示のお約束140710〕cos(a)=Ca sin(b)=Sb tan(x)=Tx 10^x=Ten(x)
ベクトル<> 単位ベクトル<-u> 縦ベクトル<) 成分<>:x 内積* 外積#
e^(x)=exp(x)=E(x) e^(i*x)=expi(x)=Ei(x) 微分;x 時間微分' 物理定数
| ◇x^3/[exp(x)-1] の積分◇ |
| 「${x^3*exp(-n*x)*dx}[x:0~∞]」 ●微分と積分の順序の交換 (${f(a,x)*dx}[x:x1~x2]);a=${[f(a,x);a]*dx}[x:x1~x2] ■n>0 の場合、 ${exp(-n*x)*dx}[x:0~∞]=1/n n について、3回微分すると、 左辺=-${x^3*exp(-n*x)*dx}[x:0~∞] 右辺=-6/n^4 ${x^3*exp(-n*x)*dx}[x:0~∞]=6/n^4 |
●1+1/16+1/81+…+(1/n)^4+…=Pi^4/90
■1/(exp(x)-1)=exp(-x)/[1-exp(-x)]
=exp(-x)*[1+exp(-x)+exp(-2x)+exp(-3x)+…]
=exp(-x)+exp(-2x)+exp(-3x)+…
${x^3/(exp(x)-1)*dx}[x:0~∞]
=${[x^3*exp(-x)+x^3*exp(-2x)+…]*dx}[x:0~∞]
=6(1+1/16+1/81+…)=6*Pi^4/90=Pi^4/15 ★
※x=0
では定義されていない。
lim[x->0]{x/(exp(x)-1)}=1 lim[x->0]{x^3/(exp(x)-1)}=0 ★
★ x^3/[exp(x)-1] の積分 ★