◎ ネイピア数 e~2.718281828　x^n*exp(-A*x) の積分　0~∞ の広義積分　{きれいな公式が得られる!2015/12}

◇ ベクトル<A>　縦ベクトル<A)　単位ベクトル<-u>　内積*　外積#　微分;x　時間微分'　10^x=Ten(x)　exp(i*x)=expi(x)　共約複素数\z　物理定数- ★.

■

■【 x^2*exp(-x) 】ネイピア数 e~2.718281828

　lim[x->∞]{x^2*exp(-x)}=∞/exp(∞)=0

[x^2*exp(-x)];x=0　を解こう

　0=[x*exp(-x)];x=2*x*exp(-x)-x^2*exp(-x)　解 x=0,2

関数 x^2*exp(-x) は、x=2 のとき、最大値 4/e^2~0.54 をとる

■【 x^2*exp(-x) の積分 】

　[x^2*exp(-x)];x=2*x*exp(-x)-x^2*exp(-x)　両辺を積分すると、

　x^2*exp(-x)+積分定数=2*${x*exp(-x)*dx}-${x^2*exp(-x)*dx}

ここで　${x*exp(-x)*dx}=-x*exp(-x)-exp(-x)+積分定数　だから、

　x^2*exp(-x)+積分定数=-2*x*exp(-x)-2*exp(-x)-${x^2*exp(-x)*dx}

　${x^2*exp(-x)*dx}=-exp(-x)*(x^2+2*x+2)+積分定数 ★.

{おもしろいなあ!2016/8}　

■【 定数 A　x^2*exp(-A*x) の積分 】

　[x^2*exp(-A*x)];x=2*x*exp(-A*x)-A*x^2*exp(-A*x)　両辺を積分すると、

　x^2*exp(-A*x)+積分定数=2*${x*exp(-A*x)*dx}-A*${x^2*exp(-A*x)*dx}

ここで　${x*exp(-A*x)*dx}=-x*exp(-A*x)/A-exp(-A*x)/A^2+積分定数　だから、

　x^2*exp(-A*x)+積分定数
=-2*x*exp(-A*x)/A-2*exp(-A*x)/A^2-A*${x^2*exp(-A*x)*dx}

　x^2*exp(-A*x)+積分定数
=-2*x*exp(-A*x)/A-2*exp(-A*x)/A^2-A*

　${x^2*exp(-A*x)*dx}=-exp(-A*x)*(x^2/A+2*x/A^2+2/A^3)+積分定数 ★.

■【 定数 A　x^2*exp(-A*x) の定積分 】

　${x^2*exp(-A*x)*dx}[x:0~x]
=2/A^3-exp(-A*x)*(x^2/A+2*x/A^2+2/A^3)

正の定数 A　${x^2*exp(-A*x)*dx}[x:0~∞]=2/A^3

■

◎ 部分積分を利用する

◆ I(n,1)=${x^n*exp(-x)*dx}

■ I(0,1)=${exp(-x)*dx}=-exp(-x)

■ I(1,1)
=${x*exp(-x)*dx}
=${x*[-exp(-x);x]*dx}
=-x*exp(-x)+${[-exp(-x)]*dx}
=-x*exp(-x)-exp(-x)
=-(x+1)*exp(-x)

≫　I(1,1)=${x*exp(-x)*dx}=-(x+1)*exp(-x)

■ I(n,1)
=${x^n*exp(-x)*dx}
=${x^n*[-exp(-x);x]*dx}
=${x^n*[-exp(-x);x]*dx}
=-x^n*exp(-x)+n*${x^(n-1)*exp(-x)*dx}
=-x^n*exp(-x)+n*I(n-1,1)

≫　I(n,1)=-x^n*exp(-x)+n*I(n-1,1) ★.漸化式

■ I(1,1)=-x*exp(-x)+I(0,1)=-x*exp(-x)-exp(-x)=-(x+1)*exp(-x)

　I(2,1)
=-x^2*exp(-x)+2*I(1)
=-x^2*exp(-x)-2*(x+1)*exp(-x)
=-(x^2+2*x+2)*exp(-x)

　I(3,1)
=-x^3*exp(-x)+3*I(2,1)
=-x^3*exp(-x)-3*(x^2+2*x+2)*exp(-x)
=-(x^3+3*x^2+6*x+6)*exp(-x)

◆ I(n,a)=${x^n*exp(-A*x)*dx}

■ I(0,a)=${exp(-A*x)*dx}=-(1/A)*exp(-x)

同様にして、

　I(0,a)=-(1/A)*exp(-A*x)

　I(1,a)=-(x/A+1/A^2)*exp(-A*x)

　I(2,a)=-(x^2/A+2*x/A^2+2/A^3)*exp(-A*x)

　I(3,a)=-(x^3/A+3*x^2/A+6*x/A^2+6/A^3)*exp(-A*x)

　I(n,a)=-(x^n/A)*exp(-A*x)+(n/A)*\I(n-1,a)

■

◎ x^n*exp(-x) を 0~∞ と広義積分する

◆ \I(n,1)=${x^n*exp(-x)*dx}[x:0~∞]=lim[h->∞]{${x^n*exp(-x)*dx}[x:0~h]}

■ \I(0,1)=${exp(-x)*dx}[x:0~∞]=1

I(n,1)=${x^n*exp(-x)*dx}=-x^n*exp(-x)+n*I(n-1,1)　を使って、

　\I(n,1)=-[x^n*exp(-x)][x:0~∞]+n*\I(n-1,1)=n*\I(n-1,1)

　\I(n,1)=n*\I(n-1,1)=n!*\I(0,1)=n!

≫　${x^n*exp(-x)*dx}[x:0~∞]=n! ★.{素晴らしい!}

◆ a:正の定数　\I(n,a)
=${x^n*exp(-A*x)*dx}[x:0~∞]
=lim[h->∞]{${x^n*exp(-A*x)*dx}[x:0~h]}

■ \I(0,a)=${exp(-A*x)*dx}[x:0~∞]=1/A

I(n,a)=${x^n*exp(-A*x)*dx}=-(x^n/A)*exp(-A*x)+(n/A)*\I(n-1,a)　を使って、

　\I(n,a)=-[(x^n/A)*exp(-A*x)][x:0~∞]+(n/A)*\I(n-1,a)=(n/A)*\I(n-1,a)

　\I(n,a)=(n/A)*\I(n-1,1)=(n!/A^n)*\I(0,a)=(n!/A^n)*(1/A)=n!/A^(n+1)

≫　${x^n*exp(-A*x)*dx}[x:0~∞]=n!/A^(n+1) ★.{素晴らしい!}

■ ${exp(-A*x)*dx}[x:0~∞]=1/A

　${x*exp(-A*x)*dx}[x:0~∞]=1/A^2

　${x^2*exp(-A*x)*dx}[x:0~∞]=2/A^3

　${x^3*exp(-A*x)*dx}[x:0~∞]=6/A^4

{いろいろ計算してみるとおもしろい!2015/12}

■ ${x*exp(A*x)*dx}=x*exp(A*x)/A-exp(A*x)/A^2 ★

{確かめ}　右辺;x=[exp(A*x)/A+x*exp(A*x)]-exp(A*x)/A=x*exp(A*x)

■ ${x*exp(x)*dx}=(x-1)*exp(x) ★

{確かめ}　右辺;x=exp(x)+(x-1)*exp(x)=x*exp(x)

■ ${x^2*exp(x)*dx}=(x^2-2*x+2)*exp(x) ★

{確かめ}　右辺;x=(2*x-2)*exp(x)+(x^2-2*x+2)*exp(x)=x^2*exp(x)

■ ${x^3*exp(x)*dx}=(x^3-3*x^2+6*x-6)*exp(x) ★

{確かめ}　右辺;x=(2*x-2)*exp(x)+(x^2-2*x+2)*exp(x)=x^2*exp(x)

■ ${x*exp(A*x)*dx}=x*exp(A*x)/A-exp(A*x)/A^2 ★

{確かめ}　右辺;x=exp(A*x)/A+x*exp(A*x)-exp(A*x)/A=x*exp(A*x)

■ ${x^2*exp(A*x)*dx}=[(1/A)*x^2-(2/A^2)*x+(2/A^3)]*exp(A*x) ★

{確かめ}　右辺;x
=[(2/A)*x-(2/A^2)]*exp(A*x)+[x^2-(2/A)*x+(2/A^2)]*exp(A*x)
=x^2*exp(A*x)　{めでたし、めでたし!2013/9}

◆ ${x^n*exp(A*x)*dx}=I(n)*exp(A*x)

■ I(0)=1/A

　I(1)=(1/A)*x-(1/A^2)

　I(2)=(1/A)*x^2-(2/A^2)*x+(2/A^3)

　I(3)=(1/A)*x^3-(3/A)*x^2+(6/A^2)*x-(6/A^3)

　I(n)=(1/A)*x^n-(n/A)*I(n-1) ★

　★　指数関数の積分-2-　★