☆お勉強しようUz☆ 数学.積分

2016/8-2012/10 Yuji.W

☆指数関数の積分☆

◎ ネイピア数 e~2.718281828 exp(x) exp(-x) exp(A*x) exp(-A*x) x*exp(x) x*exp(-A*x)

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数.

◇exp(A*x) の積分◇

■ exp(x);x=exp(x) 両辺を積分して、

 exp(x)+積分定数=${exp(x)*dx}

 ${exp(x)*dx}=exp(x)+積分定数 .

■ A=定数 exp(A*x);x=A*exp(A*x) 両辺を積分して、

 exp(A*x)+積分定数=A*${exp(A*x)*dx}

 ${exp(A*x)*dx}=exp(A*x)/A+積分定数 .

◇A^x の積分◇

■ A=定数 A=exp[ln(A)]

 A^x=exp[ln(A)]^x=exp[ln(A)*x] .{使えないんだなあ!2016/8}

★ 3=exp[ln(3)] 3^x=exp[ln(3)*x]~exp[1.099*x]

x=2 のとき 左辺=3^2=9

 右辺=exp[1.099*2]=exp(2.198)~9.007

★ 10=exp[ln(10)] 10^x=exp[ln(10)*x]~exp(2.303*x)

x=2 のとき 左辺=10^2=100

 右辺=exp(2.303*2)=exp(4.606)~100.08

■ ${A^x*dx}=${exp[ln(A)*x]*dx}=exp[ln(A)*x]/ln(A)+積分定数 .

◇exp(-A*x) の積分◇

■ exp(-x)=1/exp(x)

x

0

1

2

3

4

5

exp(x)

1

2.72

7.39

20.1

54.6

148

exp(-x)

1

0.37

0.14

0.05

0.02

0.01

■ [exp(-x)];x=-exp(-x) 両辺を積分して、

 exp(-x)+積分定数=-${exp(-x)*dx}

 ${exp(-x)*dx}=-exp(-x)+積分定数 .

■ ${exp(-x)*dx}[x:0~a]=exp(0)-exp(-a)=1-1/exp(a)

■ 広義積分 ${exp(-x)*dx}[x:0~∞]
=lim[a->∞]{${exp(-x)*dx}[x:0~a]}
=lim[a->∞][1-1/exp(a)]
=1

≫ ${exp(-x)*dx}[x:0~∞]=1 .

『exp(-x) の定積分』

範囲

0~1

0~2

0~3

0~∞

積分値

0.63

0.86

0.95

1

■ 正の定数 A ${exp(-A*x)*dx}=-exp(-A*x)/A+積分定数

 ${exp(-A*x)*dx}[x:0~a]=1/A-exp(-A*a)/A

 ${exp(-A*x)*dx}[x:0~∞]=1/A .

◇x*exp(-A*x) の積分◇

■【 x*exp(-x) 】

『x*exp(-x)』

 

x

0

1

2

3

4

5

exp(-x)

1

0.37

0.14

0.05

0.02

0.01

0

x*exp(-x)

0

0.37

0.28

0.15

0.08

0.05

0

 lim[x->∞]{x*exp(-x)}=∞/exp(∞)=0

[x*exp(-x)];x=0 を解こう

 0=[x*exp(-x)];x=exp(-x)-x*exp(-x) 解 x=1

関数 x*exp(-x) は、x=1 のとき、最大値 1/e~0.37 をとる

■【 x*exp(-x) の積分 】

 [x*exp(-x)];x=exp(-x)-x*exp(-x) 両辺を積分すると、

 x*exp(-x)+積分定数=${exp(-x)*dx}-${x*exp(-x)*dx}

 x*exp(-x)+積分定数=-exp(-x)-${x*exp(-x)*dx}

 ${x*exp(-x)*dx}=-x*exp(-x)-exp(-x)+積分定数 .

■【 正の定数 A x*exp(-A*x) の積分 】

 [x*exp(-A*x)];x=exp(-A*x)-A*x*exp(-A*x) 両辺を積分すると、

 x*exp(-A*x)+積分定数=${exp(-A*x)*dx}-A*${x*exp(-A*x)*dx}

 x*exp(-A*x)+積分定数=-exp(-A*x)/A-A*${x*exp(-A*x)*dx}

 ${x*exp(-A*x)*dx}=-x*exp(-A*x)/A-exp(-A*x)/A^2+積分定数 .

■【 正の定数 A x*exp(-A*x) の定積分 】

 ${x*exp(-A*x)*dx}[x:0~a]=1/A^2-a*exp(-A*a)/A-exp(-A*a)/A^2

 ${x*exp(-A*x)*dx}[x:0~∞]=1/A^2

{まとめ}指数関数の積分

『指数関数の積分』 2016/8 ◇ 積分定数 C

■ ${exp(x)*dx}=exp(x)+C

定数 A ${exp(A*x)*dx}=exp(A*x)/A+C

■ ${A^x*dx}=exp[ln(A)*x]/ln(A)+C

■ ${exp(-x)*dx}=-exp(-x)+C

 ${exp(-x)*dx}[x:0~a]=1-1/exp(a) ${exp(-x)*dx}[x:0~∞]=1

■ 定数 A ${exp(-A*x)*dx}=-exp(-A*x)/A+C

 ${exp(-A*x)*dx}[x:0~a]=1/A-exp(-A*a)/A

正の定数 A ${exp(-A*x)*dx}[x:0~∞]=1/A

■ ${x*exp(-x)*dx}=-x*exp(-x)-exp(-x)+C

定数 A ${x*exp(-A*x)*dx}=-x*exp(-A*x)/A-exp(-A*x)/A^2+C

 ${x*exp(-A*x)*dx}[x:0~a]=1/A^2-a*exp(-A*a)/A-exp(-A*a)/A^2

正の定数 A ${x*exp(-A*x)*dx}[x:0~∞]=1/A^2

  指数関数の積分  

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