数学　積分　　2017/12　Yuji.W

☆ 扇形の質量の中心 ☆

◎ 扇形　質量の中心　重心 ★_

〓　縦にスライスした円の質量の中心　〓　

◆ xy平面上に円　半径 1　中心:原点　y=root(1-x^2)

次の４つの曲線や直線に囲まれた図形を考える

�@ 半径1の円　�A x軸　�B y軸　�C 直線 x=X　〔 X:1より小さい正の定数 〕

■ 弧の長さ L=arcsin(X)　面積 A=arcsin(X)/2+sin[2*arcsin(X)]/4

　弧の質量の中心のy座標 GLy=X/arcsin(X)

　面積Aの質量の中心のy座標 GAy=(1/2)*(X-X^3/3)/A

〓　扇形の弧の質量の中心　〓　

◆ xy平面上に扇形　半径 R　中心:原点　弧の中央:x軸上　中心角 A　弧の長さ L=R*A　弧の質量の中心のx座標 GLx

■ 扇形をx軸で分けて、２つの部分に分ける

　(y>0 にある扇形の弧の質量の中心のx座標)
=R*sin(A/2)/(A/2)
=2*(R^2/L)*sin[L/(2*R)]

　(y<0 にある扇形の弧の質量の中心のx座標)=2*(R^2/L)*sin[L/(2*R)]

2つの部分の面積は等しいから、

　GLx=2*(R^2/L)*sin[L/(2*R)] ★_

〓　扇形の質量の中心　〓　

◎ 「ファイマン物理学問題集1 問題14.9 (b)」

◆ xy平面上に扇形　半径 R　中心:原点　弧の中央:x軸上　中心角 A　弧の長さ L=R*A　扇形の面積 S=(1/2)*R*L=(1/2)*R^2*A

扇形の質量の中心のx座標 GAx

■ x軸のx座標 x を通る弧の長さ L(x)=A*x

　その弧の面積=L(x)*dx=A*x*dx

　x^2/L(x)=x^2/(A*x)=x/A　また　L(x)/(2*x)=A*x/(2*x)=A/2

　(x~x+dx を通る弧の質量の中心のx座標)=2*(x/A)*sin(A/2)　{核心!}

　GAx
=(${[2*(x/A)*sin(A/2)]*(A*x*dx)}[x:0~R])/S
=(2*sin(A/2)*${x^2*dx)}[x:0~R])/S
=(2*sin(A/2)*[x^3/3][x:0~R])/S
=2*sin(A/2)*(R^3/3)/[(1/2)*R^2*A]
=(4/3)*(R/A)*sin(A/2)

》 GAx=(4/3)*(R/A)*sin(A/2) ★_扇形の質量の中心のx座標

{やったあ、できた!2017/11}

▲ A->0　GAx=(2/3)*R*sin(A/2)/(A/2)

ここで　A->0　で　sin(A/2)/(A/2)->1　だから、

　GAx=(2/3)*R ★_普通の三角形の場合と同じになる

{なるほどね!2017/11}

〓　扇形の質量の中心(重心)　〓　

◆ 扇形OAB　中心角 ∠O　質量の中心 G

■ OG/OA=(4/3)*sin(∠O/2)/∠O

〓　{計算例}扇形の質量の中心　〓　

★ ∠O=Pi/3　OG/OA=(4/3)*sin(Pi/6)*(3/Pi)=2/Pi~0.64

★ ∠O=Pi/2　OG/OA=(4/3)*sin(Pi/4)*(2/Pi)=4*root2/(3*Pi)~0.60

★ 分度器　∠O=Pi　OG/OA=(4/3)*sin(Pi/2)/Pi=4/(3*Pi)~0.42

{おもしろいなあ!2017/11}