数学-積分  2015/6-2011  Yuji.W

☆置換積分☆

◎ {うまく使えてない!わかるととても便利!2015/6}

※ 積分定数を明示しない 積分定数の違いを無視する

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数.

置換積分

◆ 任意の関数 f(x) f(x) の積分はわかっているとき、定数 k に対して f(k*x) の積分を求めたい

■ d(k*x)=k*dx dx=d(k*x)/k

 ${f(k*x)*dx}=${f(k*x)*[d(k*x)/k]}=(1/k)*${f(k*x)*d(k*x)} 

★ ${(3*x)^2*dx}=(1/3)*${(3*x)^2*d(3*x)}=(1/3)*[(3*x)^3/3]=3*x^3

{確かめ} ${(3*x)^2*dx}=${9*x^2*dx}=3*x^3


◆ 任意の関数 f(x) f(x) の積分はわかっている ある関数 s(x) に対して f(s(x)) と書ける

 f(s(x))*[s(x);x] の積分を求めたい

■ [s(x);x]*dx}=d(s(x) と書ける

 ${f(s(x))*[s(x);x]*dx}=${f(s(x))*d(s(x)) 

★ ${exp(x)*dx}=exp(x) exp(x^2)*2*x を積分したい

 d(x^2)=2*x*dx

 ${exp(x^2)*2*x*dx}
=${exp(x^2)*d(x^2)}
=exp(x^2)

★ ${(2*x+3)^2*dx}
=(1/2)*${(2*x+3)^2*d(2*x+3)}
=(1/2)*[(2*x+3)^3/3]
=(2*x+3)^3/6+積分定数
=(8*x^3+36*x^2+54*x+27)/6
=4*x^3/3+6*x^2+9*x+9/2

{確かめ} ${(2*x+3)^2*dx}
=${(4*x^2+12*x+9)*dx}
=4*x^3/3+6*x^2+9*x
=4*x^3/3+6*x^2+9*x

★ ${x^3*dx}=x^4/4 d(sin(x))=cos(x)*dx

 ${sin(x)^3*cos(x)*dx}=${sin(x)^3*d(sin(x))}=sin(x)^4/4

★ ${exp(x)*dx}=exp(x) d(x^3+1)=3*x^2*dx

 ${exp(x^3+1)*3*x^2*dx}=${exp(x^3+1)*d(x^3+1)}=exp(x^3+1)

★ ${(1/x)*dx}=ln(x) d(x^2+3x+2)=(2*x+3)*dx

 ${[(2x+3)/(x^2+3x+2)]*dx}
=${[1/(x^2+3x+2)]*d(x^2+3x+2)}
=ln|x^2+3x+2|

置換積分 

inserted by FC2 system