数学 積分

2017/5-2012/2 Yuji.W

1/(x^2+A^2)^n の積分

1/root(x^2+A^2) 1/(x^2+A^2)^n _

◇ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 縦ベクトル <A) 内積 * 外積 #
10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 y;x 
時間微分 x' 積分 ${f(x)*dx}

◇${dx/r^3}◇

■ r=root(x^2+A^2) のとき、

 r;x=(1/2)*(2*x)/r=x/r @

 (1/r);x=[(1/r);r]*[r;x]=(-1/r^2)*(x/r)=-x/r^3 A

 (x/r);x
=(x;x)/r+x*[(1/r);r]
=1/r-x*(x/r^3)
=1/r-x^2/r^3
=(r^2-x^2)/r^3
=A^2/r^3 B

@より ${(x/r)*dx}=r _

Aより ${(x/r^3)*dx}=-1/r _

Bより ${(1/r^3)*dx}=(1/A^2)*x/r _

● r=root(x^2+A^2) のとき

${x*dx/r}=r ${(x*dx/r^3}=-1/r ${dx/r^3}=(1/A^2)*x/r

◇積分 1/(x^2+1)^n◇

◎ tan を利用する

● 1+tan(a)^2=1+[sin(a)/cos(a)]^2=1/cos(a)^2

 tan(a);a=[sin(a)/cos(a)];a=1/cos(a)^2=1+tan(a)^2

◆ x=tan(a)〔 -Pi/2<a<Pi/2 〕と置くと、

 dx=[1+tan(a)^2]*da=(x^2+1)*da [1/(x^2+1)]*dx=da

 [1/root(x^2+1)]=cos(a)

■ ${[1/(x^2+1)]*dx}=${da}=a _

■ [1/(x^2+1)^(3/2)]*dx=[1/root(x^2+1)]*da=cos(a)*da

 ${[1/(x^2+1)^(3/2)]*dx}=${cos(a)*da}=sin(a) _

◆ x=tan(a)〔 -Pi/2<a<Pi/2 〕と置く

■ ${[1/(x^2+1)]*dx}=a ${[1/(x^2+1)^(3/2)]*dx}=sin(a)

◇積分 1/(x^2+A^2)^n◇

◆ A>0  x^2+A^2=A^2*[(x/A)^2+1]

まず x/A=h と置くと x^2+A^2=A^2*(h^2+1) dx=A*dh

さらに h=tan(a)〔 -Pi/2<a<Pi/2 〕と置く x=A*tan(a)

■ ${[1/(x^2+A^2)]*dx}
=(1/A^2)*${[1/(h^2+1)]*A*dh}
=(1/A)*${[1/(h^2+1)]*dh}
=a/A

≫ ${[1/(x^2+A^2)]*dx}=a/A _

■ [1/(x^2+A)^(3/2)]*dx=(1/A^3)/(h^2+1)^(3/2)

 ${[1/(x^2+A)^(3/2)]*dx}
=(1/A^3)*${[1/(h^2+1)^(3/2)]*A*dh}
=(1/A^2)*${[1/(h^2+1)^(3/2)]*dh}
=sin(a)/A^2

≫ ${[1/(x^2+A)^(3/2)]*dx}=sin(a)/A^2 _

◆ x=A*tan(a)〔 A>0 -Pi/2<a<Pi/2 〕と置く

■ ${[1/(x^2+A^2)]*dx}=a/A ${[1/(x^2+A)^(3/2)]*dx}=sin(a)/A^2

{まとまってきたなあ!2017/5}

{別解}積分 1/(x^2+A^2)^n

◆ x=A*tan(a)〔 A>0 -Pi/2<a<Pi/2 〕と置くと、

 x^2+A^2=A^2*[tan(a)^2+1]=A^2/cos(a)^2

 dx=A*[1+tan(a)^2]*da=[A/cos(a)^2]*da=(1/A)*(x^2+A^2)*da

 [1/(x^2+A^2)]*dx=(1/A)*da

■ ${[1/(x^2+A^2)]*dx}=(1/A)*${da}=a/A _

■ [1/(x^2+A)^(3/2)]*dx
=[1/root(x^2+A)]*(1/A)*da
=[cos(a)/A]*(1/A)*da
=[cos(a)/A^2]*da

 ${[1/(x^2+A^2)^(3/2)]*dx}=(1/A^2)*${cos(a)*da}=sin(a)/A^2 _

◇積分 1/(x^2+A^2)^n◇

◎ tan を利用する

● tan(a);a=1/cos(a)^2

■ x=A*tan(a) と置く x;a=A/cos(a)^2

[x:0~∞]=[a:0~Pi/2] [x:-∞~∞]=[a:-Pi/2~Pi/2]

 x^2+A^2=A^2*[tan(a)^2+1]=A^2/cos(a)^2

 x^2+A^2=A^2*[tan(a)^2+1]=A^2/cos(a)^2

■ ${dx/(x^2+A^2)}
=${[A*da/cos(a)^2]/[A^2/cos(a)^2]}
=(1/A)*${da}
=a/A
=(1/A)*arctan(x/A) 
.

■ ${dx/(x^2+A^2)^(3/2)}
=${[cos(a)/A]^3*[A/cos(a)^2]*da}
=${[cos(a)/A^2]*da}
=sin(a)/A^2
=(1/A^2)*[x/root(x^2+A^2)] 
.

■ ${[1/(x^2+A^2)^2]*dx}
=${[cos(a)^2/A^2]^2*(A/cos(a)^2)*da}
=(1/A^3)*${cos(a)^2*da}
=(1/A^3)*${[(1+cos(2*a))/2]*da}
=[1/(4*A^3)]*[2*a+sin(2*a)]

■ ${[1/(A^2+x^2)^(5/2)]*dx}
=${(cos(a)/A)^5*(A/cos(a)^2)*da}
=(1/A^4)*${cos(a)^3*da}
=(1/A^4)*${(1-sin(a)^2)*cos(a)*da}
=(1/A^4)*${(1-sin(a)^2)*d(sin(a))}
=[1/(3*A^4)]*[3*sin(a)-sin(a)^3]

■ ${[x^2/(A^2+x^2)^(5/2)]*dx}
=${(A*sin(a)/cos(a))^2*(cos(a)/A)^5*(A/cos(a)^2)*da}
=(1/A^2)*${sin(a)^2*cos(a)*da}
=(1/A^2)*${sin(a)^2*d(sin(a))}
=[1/(3*A^2)]*sin(a)^3

『分子に (x^2+A^2)^n がある式の積分』 2015/9

■ x=A*tan(a) と置く [x:-∞~∞]=[a:-Pi/2~Pi/2]

 dx=A*da/cos(a)^2 x^2+A^2=A^2/cos(a)^2

■【 積分 】

 1/(x^2+A^2) ⇒ a/A=(1/A)*arctan(x/A)

 1/(x^2+A^2)^(3/2) ⇒ sin(a)/A^2=(1/A^2)*[x/root(x^2+A^2)]

 1/(x^2+A^2)^2 ⇒ [1/(4*A^3)]*[2*a+sin(2*a)]

 1/(A^2+x^2)^(5/2) ⇒ [1/(3*A^4)]*[3*sin(a)-sin(a)^3]

 x^2/(A^2+x^2)^(5/2) ⇒ [1/(3*A^2)]*sin(a)^3

{難しそうでも、トライしてみると、できるものだ!2014/2}

双曲線関数の利用

「積分-双曲線関数、逆双曲線関数」 2015/4

■ sinh(x) ⇒ cosh(x) cosh(x) ⇒ sinh(x) 1/cosh(x)^2 ⇒ tanh(x)

■ cosh(x/a) ⇒ a*sinh(x/a) sinh(x/a) ⇒ a*cosh(x/a)

 1/cosh(x)^2 ⇒ a*tanh(x/a)

■ 1/root(x^2-1) ⇒ arcosh(x)=ln[x+root(x^2-1)]

 1/root(x^2+1) ⇒ arsinh(x)=ln[x+root(x^2+1)]

 1/(1-x^2) ⇒ artanh(x)=(1/2)*ln[(1+x)/(1-x)]

■ 1/root(x^2-a^2) ⇒ arcosh(x/a)=ln[x+root(x^2-a^2)]-ln(a)

 1/root(x^2+a^2) ⇒ arsinh(x/a)=ln[x+root(x^2+a^2)]-ln(a)

 1/(a^2-x^2) ⇒ artanh(x/a)=(1/2)*ln[(a+x)/(a-x)]

■ 1/root(a^2-x^2) ⇒ arcsin(x/a)

 1/(x^2+1)} ⇒ arctan(x) 1/(x^2+a^2) ⇒ (1/a)*arctan(x/a)

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