.★ アポロニウスの円　平面上　空間上　垂直二等分線

◇ ベクトル<A>　単位ベクトル<Au>　内積*　外積#　〔物理定数〕.★  ★.
◆ ネイピア数 e　虚数単位 i　exp(i*x)=expi(x)　微分;x　積分$　10^x=Ten(x)

◆ △ABP の 内角∠APB の二等分線 PD　∠APD=∠BPD　�@

■ AP:PB=AD:BD ★.点Ｄは、線分ABを AP:PB に内分した点

{証明}　二等辺三角形PBF を作る　PF=PB　{ここが工夫したところ!}

　∠PBF=∠PFB　�A　　∠PBF+∠PFB=∠APB　�B

�@�A�Bより　∠APD=∠BPD=∠PBF=∠PFB　PD‖FB　{核心!}

△ABF で　AP:PF=AD:DB　

左辺　PF=PB　だったから　AP:PB=AP:PF=AD:DB　‖

※ 二等辺三角形を作る代わりに、平行線を引いても証明できる。

◆ △ABP の 外角∠FPB の二等分線 PE　∠FPE=∠BPE　�@

■ AP:PB=AE:BE ★.点Eは、線分ABを AP:PB に外分した点

{証明}　二等辺三角形PBC を作る　PB=PC　{ここが工夫したところ!}

　∠PBC=∠PCB　�A　　∠PBC+∠PCB=∠BPF　�B

�@�A�Bより　∠FPE=∠BPE=∠PBC=∠PCB　CB‖PE　{核心!}

△AEP で　AP:PC=AE:BE

左辺　PB=PC　だったから　AP:PB=AP:PC=AE:BE　‖

※ 二等辺三角形を作る代わりに、平行線を引いても証明できる。

■ 以上の定理の逆を考えれば、次の定理が得られる。

▲ 上記の定理より、アポロニウスの円の定理がすぐ得られる。

.★ 　三角形の角の二等分線　 ★.