お勉強しよう 〕 数学.図形

2016/12 Yuji.W

☆回転楕円体☆

. 回転楕円体 体積 spheroid

◇ ベクトル<A> 座標単位ベクトル<xu> 内積* 外積# 〔物理定数〕 .
ネイピア数 e 虚数単位 i exp(i*x)=expi(x) 微分;x 積分$ 10^x=Ten(x)

{まとめ}楕円

『楕円』 2016/3

■ 楕円[xy平面上 中心:原点] X,Y,F:正の定数 x^2/X^2+y^2/Y^2=1

面積=Pi*X*Y

■【 横長楕円 】0<Y<X 長半径 X 短半径 Y F^2+Y^2=X^2 焦点 F1(F,0),F2(-F,0) x^2/X^2+y^2/(X^2-F^2)=1

離心率 e=F/X=root[1-(Y/X)^2] 通径 l=Y^2/X=(X^2-F^2)/X X=l/(1-e^2) Y=l/root(1-e^2) F=l*e/(1-e^2)

焦点F1を原点とし、円座標(r,a)で表すと x=r*cos(a)+F y=r*sin(a) r=l/[1+e*cos(a)]

■【 縦長楕円 】0<X<Y 長半径 Y 短半径 X F^2+X^2=Y^2 焦点 F1(0,F),F2(0,-F) x^2/(Y^2-F^2)+y^2/Y^2=1

離心率 e=F/Y=root[1-(X/Y)^2] 通径 l=X^2/Y=(Y^2-F^2)/Y Y=l/(1-e^2) X=l/root(1-e^2) F=l*e/(1-e^2)

■ F1から楕円上までの最短距離 r0=l/(1+e) e=l/r0-1 F1から楕円上までの最遠距離 r1=l/(1-e)

焦点 F1,F2 楕円上の任意の点 P(x,y) PF1+PF2=一定

◇回転楕円体◇

■【 回転楕円体 】xz平面上にある楕円 x^2/X^2+z^2/Z^2=1 をz軸で回転

⇒ 楕円体 r^2/R^2+z^2/Z^2=1

 r^2=x^2+y^2 R,Z:正の定数 楕円体[半径 R 直径 2*R 長さ 2*Z]

■【 すっきり回転楕円体 0<R<Z 】

 F=root(Z^2-R^2) 焦点 F1(0,0,F),F2(0,0,-F)

 r^2/(Z^2-F^2)+z^2/Z^2=1

離心率 e=F/Z=root[1-(R/Z)^2] 通径 l=R^2/Z=(Z^2-F^2)/Z

 Z=l/(1-e^2) R=l/root(1-e^2) F=l*e/(1-e^2)

■【 でぶでぶ回転楕円体 0<Z<R 】

 F=root(R^2-Z^2)

 r^2/R^2+z^2/(R^2-F^2)=1

離心率 e=F/R=root[1-(Z/R)^2] 通径 l=Z^2/R=(R^2-F^2)/R

 R=l/(1-e^2) Z=l/root(1-e^2) F=l*e/(1-e^2)

『回転楕円体』 2016/12

■ z軸で回転した楕円体 r^2/R^2+z^2/Z^2=1

 r^2=x^2+y^2 R,Z:正の定数 楕円体[半径 R 直径 2*R 長さ 2*Z]

■【 すっきり回転楕円体 0<R<Z 】

 F=root(Z^2-R^2) 離心率 e=F/Z=root[1-(R/Z)^2]

 r^2/(Z^2-F^2)+z^2/Z^2=1

■【 でぶでぶ回転楕円体 0<Z<R 】

 F=root(R^2-Z^2) 離心率 e=F/R=root[1-(Z/R)^2]

 r^2/R^2+z^2/(R^2-F^2)=1

◇回転楕円体の体積◇

◆ 楕円体 r^2/R^2+z^2/Z^2=1 直径 2*R 長さ 2*Z 体積 V

■ V
=2*Pi*${r^2*dz}[z:0~Z]
=2Pi*R^2*${(1-z^2/Z^2)*dz}[z:0~Z]
=2Pi*R^2*[z-(1/3)*z^3/Z^2][z:0~Z]
=2Pi*R^2*[Z-(1/3)*Z]
=(4Pi/3)*Z*R^2

≫ V=(4Pi/3)*Z*R^2 .

 .  回転楕円体  . 

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