数学 図形 2018/7-2016/2 Yuji.W
☆ 楕円体 ☆
◎ 楕円体 回転楕円体 体積 spheroid ★_
ベクトル <A> 内積 * 外積 # 10^x=Ten(x) 微分
;x 時間微分
' 積分 $
ネイピア数 e e^x=exp(x) i^2=-1 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x)
デカルト座標単位ベクトル
<xu>,<yu>,<zu>
円柱座標 (h,a,z)_C <Ah Aa Az>_C 座標単位ベクトル
<hu>,<au>,<zu>
球座標 (r,a,b)_S <Ar Aa Ab>_S 座標単位ベクトル <ru>,<au>,<bu> 180722
〓 楕円 〓
■ 楕円[xy平面上 中心:原点] X,Y,F:正の定数 x^2/X^2+y^2/Y^2=1
面積=Pi*X*Y
■【 横長楕円 】0<Y<X 長半径 X 短半径 Y F^2+Y^2=X^2 焦点 F1(F,0),F2(-F,0) x^2/X^2+y^2/(X^2-F^2)=1
離心率 e=F/X=root[1-(Y/X)^2] 通径 l=Y^2/X=(X^2-F^2)/X X=l/(1-e^2) Y=l/root(1-e^2) F=l*e/(1-e^2)
焦点F1を原点とし、円座標(r,a)で表すと x=r*cos(a)+F y=r*sin(a) r=l/[1+e*cos(a)]
■【 縦長楕円 】0<X<Y 長半径 Y 短半径 X F^2+X^2=Y^2 焦点 F1(0,F),F2(0,-F) x^2/(Y^2-F^2)+y^2/Y^2=1
離心率 e=F/Y=root[1-(X/Y)^2] 通径 l=X^2/Y=(Y^2-F^2)/Y Y=l/(1-e^2) X=l/root(1-e^2) F=l*e/(1-e^2)
■ F1から楕円上までの最短距離 r0=l/(1+e) e=l/r0-1 F1から楕円上までの最遠距離 r1=l/(1-e)
焦点 F1,F2 楕円上の任意の点 P(x,y) PF1+PF2=一定
〓 楕円体 〓
■ 楕円体 どの方向から見ても楕円または円に見える立体(あらゆる方向の射影が楕円
適当に座標軸を定めれば、楕円体の表面は、次の式で表すことができる。
x^2/X^2+y^2/Y^2+z^2/Z^2=1 〔 X,Y,Z:正の定数 〕
■ 回転楕円円体 ある特別な方向からは円に見える楕円体
z軸方向からは円に見える回転楕円体の表面で、
X=Y=H x^2+y^2=h^2 と置けば、
h^2/H^2+z^2/Z^2=1
〓 回転楕円体 〓
■【 回転楕円体 】xz平面上にある楕円 x^2/X^2+z^2/Z^2=1 をz軸で回転
⇒ 楕円体 h^2/H^2+z^2/Z^2=1
h^2=x^2+y^2 H,Z:正の定数 楕円体[半径 H 直径 2*H 長さ 2*Z]
■【 すっきり回転楕円体 0<H<Z 】
F=root(Z^2-H^2) 焦点 F1(0,0,F),F2(0,0,-F)
h^2/(Z^2-F^2)+z^2/Z^2=1
離心率 e=F/Z=root[1-(H/Z)^2] 通径 l=H^2/Z=(Z^2-F^2)/Z
Z=l/(1-e^2) H=l/root(1-e^2) F=l*e/(1-e^2)
■【 でぶでぶ回転楕円体 0<Z<H 】
F=root(H^2-Z^2)
h^2/H^2+z^2/(H^2-F^2)=1
離心率 e=F/H=root[1-(Z/H)^2] 通径 l=Z^2/H=(H^2-F^2)/H
H=l/(1-e^2) Z=l/root(1-e^2) F=l*e/(1-e^2)
〓 回転楕円体の体積 〓
◆ 楕円体 h^2/H^2+z^2/Z^2=1 直径 2*H 長さ 2*Z 体積 V
■
V
=2*Pi*${h^2*dz}[z:0~Z]
=2Pi*H^2*${(1-z^2/Z^2)*dz}[z:0~Z]
=2Pi*H^2*[z-(1/3)*z^3/Z^2][z:0~Z]
=2Pi*H^2*[Z-(1/3)*Z]
=(4Pi/3)*Z*H^2
≫ V=(4Pi/3)*Z*H^2 ★.
☆ お勉強しよう 2018-2011 Yuji W. ☆