数学 複素数 2017/12-2014/8 Yuji.W

☆ 3乗根

複素数 3次方程式 _

2018/1 〕3の2乗 3^2 10^x=Ten(x) yをxで微分 y;x 時間微分 ' 積分 $

ネイピア数 e e^x=exp(x) 底a log(a,x) log(e,x)=ln(x) log(10,x)=LOG(x)

虚数単位 i i^2=-1 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x) 複素数zの共役複素数 \z

ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 #

〓 3乗根 〓 

◆ 複素数 ω=cos(120°)+i*sin(120°)=-1/2+i*root3/2 を考える。

■ ωの共役複素数 \ω=cos(-120°)+i*sin(-120°)=-1/2-i*root3/2

 ω^2=cos(240°)+i*sin(240°)=-1/2-i*root3/2=\ω

 ω^2+ω+1=\ω+ω+1=-1+1=0 同様に \ω^2+\ω+1=0

 ω^3=cos(360°)+i*sin(360°)=cos(0°)+i*sin(0°)=1 同様に \ω^3=1

ω : 3乗根

〓 3乗根 〓 

3乗根 ω=cos(120°)+i*sin(120°)=-1/2+i*root3/2

ωの共役複素数 \ω=cos(-120°)+i*sin(-120°)=-1/2-i*root3/2

ω^2=\ω

■ ω と \ω=ω^2 は、次の2つの複素方程式の解である。

 z^2+z+1=0 & z^3=1

〓 -1の3乗根 〓 

◆ 複素数 Ω=cos(60°)+i*sin(60°)=1/2+i*root3/2

■ \Ω=cos(-60°)+i*sin(-60°)=1/2-i*root3/2

 Ω^2=cos(120°)+i*sin(120°)=-1/2+i*root3/2=ω

 Ω^2-Ω+1=(-1/2+i*root3/2)-(1/2+i*root3/2)+1=0

同様に \Ω^2-\Ω+1=0

また Ω^3=cos(180°)+i*sin(180°)=-1 同様に \Ω^3=-1

 ω3^3=cos(-180°)+i*sin(-180°)=-1

》複素方程式 z^3=-1 の解は次の3つ

 -1 1/2+i*root3/2 1/2-i*root3/2

〓 -1の3乗根 〓 

3乗根 ω=cos(120°)+i*sin(120°)=-1/2+i*root3/2

 ωの共役複素数 \ω=cos(-120°)+i*sin(-120°)=-1/2-i*root3/2

複素数 Ω=cos(60°)+i*sin(60°)=1/2+i*root3/2

 Ωの共役複素数 \Ω=cos(-60°)+i*sin(-60°)=1/2-i*root3/2

ω^2=\ω Ω^2=ω

■ ω と \ω=ω^2 は、次の2つの複素方程式の解である。

 z^3=1 & z^2+z+1=0

■ Ω と \Ω は、次の2つの複素方程式の解である。

 z^3=-1 & z^2-z+1=0

〓 3乗根の利用 〓 

ω^4=ω^3*ω=1*ω=ω ω^5=ω^3*ω^2=1*ω^2=ω^2

■ 自然数 n

 ω^(3*n+1)=ω^(3*n+1)=ω^(3*n)*ω=(ω^3)^n*ω==1^n*ω=1*ω=ω

同様に ω^(3*n+2)=ω^2

3乗根 ω=(-1+i*root3)/2 自然数 n ω^(3*n+1)=ω ω^(3*n+2)=ω^2 _

★ ω^100=ω^99*ω=ω^(3*33)*ω=ω

〓 多項式の因数の定理 〓 

3乗根 ω z の多項式 f(z) f(ω)=f(ω^2)=0

■ f(z) は (z-ω)*(z-ω^2) を因数に持つ

ここで (z-ω)*(z-ω^2)=z^2-(z^2+z)*x+z^3=z^2+z+1 となるから、

f(z) は z^2+z+1 を因数に持つ。 _

〓 多項式の因数の定理 〓 

◆ 3乗根 ω z の多項式 f(z) f(ω)=f(ω^2)=0

f(z) は z^2+z+1 を因数に持つ

〓 多項式の因数の利用 〓 

◆ f(z)=(z^100+1)^100+(z^2+1)^100+1

3乗根 ω

 f(ω)
=(ω^100+1)^100+(ω^2+1)^100+1
=(ω+1)^100+(-ω)^100+1
=(-ω^2)^100+(-ω)^100+1
=ω^200+ω^100+1
=ω^2+ω+1
=0

 f(ω^2)
=[(ω^2)^100+1]^100+[(ω^2)^2+1]^100+1
=(ω^200+1)^100+(ω^4+1)^100+1
=(ω^2+1)^100+(ω+1)^100+1
=(-ω)^100+(-ω^2)^100+1
=ω+ω^2+1
=0

f(ω)=f(ω^2)=0 になるので f(z) は z^2+z+1 を因数に持つ。 _

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