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2016/3-2014/8 Yuji.W

3乗根

◇ ベクトル<A> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 縦ベクトル<A) 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x)物理定数

◇3乗根◇

◆ 虚数単位 i ω1=(-1+i*√3)/2 ω2=(-1-i*√3)/2

■ ω1+ω2=-1 ω1*ω2=(1+3)/4=1 ω1,ω2 は、x^2+x+1=0 の解

 ω1^2=(-1+i*√3)^2/4=(1-3-i*2*√3)/4=(-1-i*√3)/2=ω2

 ω2^2=(-1-i*√3)^2/4=(1-3+i*2*√3)/4=(-1+i*√3)/2=ω1

 ω1^3=ω1*ω1^2=ω1*ω2=1 ω2^3=1

■ ω2=ω1^2 だから、次のように書き直す事ができる

 ω=(-1+i*√3)/2 ω^2=(-1-i*√3)/2

■ ω^2+ω+1=0 ω^3=1

「3乗根」

◆ 虚数単位 i ω=(-1+i*√3)/2 ※ (-1-i*√3)/2 を ω としてもよい

■ ω^2+ω+1=0 ω^3=1 ω^2 は ω の共約複素数

■ 整数 n ω^(3*n)=(w^3)^n=1^n=1

◇3乗根の利用◇

● (x-ω)*(x-ω^2)=x^2-(ω^2+ω)*x+ω^3=x^2+x+1

■ x の多項式 f(x) が x^2+x+1 を因数に持つ
⇔ f(x) が (x-ω)*(x-ω^2) を因数に持つ ⇔ f(ω)=f(ω^2)=0〔

★ f(x)=(x^100+1)^100+(x^2+1)^100+1 は x^2+x+1 を因数に持つ

{証明} f(ω)=f(ω^2)=0 を言えばよい。

 f(ω)
=(ω^100+1)^100+(ω^2+1)^100+1
=(ω+1)^100+(-ω)^100+1
=(-ω^2)^100+ω^100+1
=ω^200+ω^100+1
=ω^2+ω+1
=0

 f(ω^2)
=(ω^100+1)^100+(ω^2+1)^100+1
=(ω+1)^100+(-ω)^100+1
=(-ω^2)^100+(-ω)^100+1
=ω^200+ω^100+1
=ω^2+ω+1
=0

f(ω)=f(ω^2)=0 だから f(x) は (x-ω)*(x-ω^2) を、因数に持つ

すなわち f(x) は x^2+x+1 を因数に持つ 』

  3乗根  

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