☆ 3乗根 ☆

《 お勉強しよう　数学　複素数　行列,テンソル　Python 》

〇 　2022.12-2014.8　Yuji.W　★　

◇ 2*3=6　Ten(3)=10^3=1000　微分 ;　偏微分 :　積分 $　e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A>　縦ベクトル <A)　単位ベクトル <xu>　内積 *　外積 #　

〓　3乗根　〓　

〇 3乗根 ω=e^(i*2*π/3)=(-1+i*√3)/2　ω の複素共役 $ω=-(1+i*√3)/2　

　ω^2=[e^(i*2*π/3)]^2=e^(i*4*π/3)=-(1+i*√3)/2=$ω

　ω^3=[e^(i*2*π/3)]^3=e^(i*2*π)=1　同様に　$ω^3=1

　ω^2+ω+1=$ω+ω+1=-1+1=0　同様に　$ω^2+$ω+1=0

ω と $ω は、次の2つの複素方程式の解である。

　z^3=1　&　z^2+z+1=0

〓　-1の3乗根　〓　

〇 -1の3乗根 Ω=e^(i*π/3)=(1+i*√3)/2　複素共役 $Ω=(1-i*√3)/2

　Ω^2=[e^(i*π/3)]^2=e^(i*2*π/3)=(-1+i*√3)/2=ω

　Ω^3=[e^(i*π/3)]^3=e^(i*π)=-1　同様に　$ω^3=-1

　Ω^2-Ω+1=(-1+i*√3)/2-(1+i*√3)/2+1=0　同様に　$ω^2-$ω+1=0

Ω と $Ω は、次の2つの複素方程式の解である。

　z^3=-1　&　z^2-z+1=0

〓　3乗根の利用　〓　

〇 ω^4=ω^3*ω=1*ω=ω　ω^5=ω^3*ω^2=1*ω^2=ω^2

 自然数 n に対して、

　ω^(3*n+1)=ω^(3*n)*ω=(ω^3)^n*ω=1^n*ω=1*ω=ω

また　ω^(3*n+2)=ω^2

★ ω^100=ω^99*ω=ω^(3*33)*ω=ω

〓　多項式の因数の定理　〓　

〇 3乗根 ω　z の多項式 f(z)　f(ω)=f(ω^2)=0　のとき、

f(z)　は　(z-ω)*(z-ω^2)　を因数に持つ

　(z-ω)*(z-ω^2)=z^2-(z^2+z)*ω+ω^3=z^2+z+1　

f(z)　は　z^2+z+1　を因数に持つ　★　

〓　多項式の因数の利用　〓　

▢ 複素数 z の関数 f(z)=(z^100+1)^100+(z^2+1)^100+1

f(z)　は　z^2+z+1　を因数に持つ

3乗根 ω

▷ f(ω)
=(ω^100+1)^100+(ω^2+1)^100+1
=(ω+1)^100+(-ω)^100+1
=(-ω^2)^100+(-ω)^100+1
=ω^200+ω^100+1
=ω^2+ω+1
=0

　f(ω^2)
=[(ω^2)^100+1]^100+[(ω^2)^2+1]^100+1
=(ω^200+1)^100+(ω^4+1)^100+1
=(ω^2+1)^100+(ω+1)^100+1
=(-ω)^100+(-ω^2)^100+1
=ω+ω^2+1
=0

f(ω)=f(ω^2)=0　になるので　f(z)　は　z^2+z+1　を因数に持つ

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