数学 関数

2015/10-2014/8 Yuji.W

フーリエ変換

◎ fourier transform

◇ ベクトル<> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積#
微分 y;x 2階微分 y;;x 
時間微分 y' 積分 ${f(x)*dx} 定積分 ${f(x)*dx}[x:a~b]
2^3=8 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 複素共役 z! 〔
物理定数.2015/10/07

☆いろいろなフーリエ級数☆

『いろいろなフーリエ級数』 2015/10 周期 [-Pi~Pi]

■ 矩形波 f(-Pi<x<0)=-1 f(0<x<Pi)=1

 f(x)=(4/Pi)*[sin(x)+sin(3*x)/3+sin(5*x)/5+…]

■ x/Pi=(2/Pi)*[sin(x)-sin(2*x)/2+sin(3*x)/3-sin(4*x)/4+sin(5*x)/5-…]

 x=2*[sin(x)-sin(2*x)/2+sin(3*x)/3-sin(4*x)/4+sin(5*x)/5-…]

■ 偶関数の三角波 f(-Pi<x<0)=x+Pi/2 f(0<x<Pi)=-x+Pi/2

 f(x)=(Pi/4)*[cos(x)+cos(3*x)/9+cos(5*x)/25+…]

■ 奇関数の三角波 f(-Pi<x<-Pi/2)=-x-Pi f(-Pi/2<x<Pi/2)=x f(Pi/2<x<Pi)=-x+Pi

 f(x)=(Pi/4)*[sin(x)-sin(3*x)/9+sin(5*x)/25+…]

■ x^2=Pi^2/3-4*[cos(x)-cos(2*x)/4+cos(3*x)/9-cos(4*x)/16+…]

■ ${x*sin(a*x)*dx}=-x*cos(a*x)/a+sin(a*x)/a^2

 ${x*cos(a*x)*dx}=x*sin(a*x)/a+cos(a*x)/a^2

■ ${x^2*cos(a*x)*dx}=(x^2/a-2/a^3)*sin(a*x)+2*x*cos(a*x)/a^2

 ${x^2*sin(a*x)*dx}=(-x^2/a+2/a^3)*cos(a*x)+2*x*sin(a*x)/a^2

◇フーリエ変換◇

『フーリエ変換』 2015/10

■ t の関数 f(t) f(t) をフーリエ変換した関数 F(h)

 F(h)=${f(t)*expi(-2*Pi*h*t)*dt}[t:-∞~∞] フーリエ変換 

 f(t)=${F(h)*expi(2*Pi*h*t)*dh}[h:-∞~∞] 逆フーリエ変換 

■ t の関数 f(t) f(t) をフーリエ変換した関数 F(w)

 F(w)=[1/root(2Pi)]*${f(t)*expi(-w*t)*dt}[t:-∞~∞] フーリエ変換 

 f(t)=[1/root(2Pi)]*${F(w)*expi(w*t)*dh}[w:-∞~∞] 逆フーリエ変換 

sin(x)+sin(3*x)/3+sin(5*x)/5+sin(7*x)/7+sin(9*x)/9

${x*sin(a*x)*dx}=-x*cos(a*x)/a+sin(a*x)/a^2

■ f(t)=sin(t)+sin(3*t)/3+sin(5*t)/5+sin(7*t)/7+sin(9*t)/9 をフーリエ変換してみよう

F(h)=${f(t)*expi(-2*Pi*h*t)*dt}[t:-∞~∞]

sin(t) に対して 

sin(3*t)/3 に対して 

sin(5*t)/5 に対して 

+sin(7*t)/7 に対して 

+sin(9*t)/9 に対して  

 

 

矩形波

★ 矩形波 f(-a<t<a)=b=定数 それ以外で 0

 F(w)
=b*${expi(-w*t)*dt}[t:-a~a]
=+i*(b/w)*[expi(-w*t)][t:-a~a]
=+i*(b/w)*[expi(-w*a)-expi(w*a)]
=2*b*sin(w*a)/w

 

 

 

周期 [x:-Pi~Pi] のとき x^2
=Pi^2/3-4*cos(x)+cos(2*x)-4*cos(3*x)/9+cos(4*x)/4…
=Pi^2/3-4*[cos(x)-cos(2*x)/4+cos(3*x)/9-cos(4*x)/16+…]
.

 

 

◇フーリエ変換◇

「フーリエ変換」

■ F(w)=${f(t)*expi(-w*t)*dt}[t:-∞~∞]

 逆フーリエ変換 f(t)=[1/(2Pi)]*${F(w)*expi(w*t)*dw}[w:-∞~∞]

※ 積分の前の係数は、両方の係数の積が 1/(2Pi) になるようにすればよい

「デルタ関数」

■ ${f(x)*δ(x-a)*dx}[x:-∞~∞]=f(a) ${f(x)*[δ(x-a);x]*dx}[x:-∞~∞]=-f(a);x

sin(x)+sin(3*x)/3+sin(5*x)/5+sin(7*x)/7+sin(9*x)/9

 

★ δ(x) のフーリエ変換

 F(w)=${δ(x)*expi(-w*t)*dt}[t:-∞~∞]=expi(0)=1

逆 f(t)
=[1/(2Pi)]*${1*expi(w*t)*dw}[w:-∞~∞]
=[1/(2Pi*t)][expi(w*t)][w:-∞~∞] 

★ 矩形波 f(-a<t<a)=b=定数 それ以外で 0

 F(w)
=b*${expi(-w*t)*dt}[t:-a~a]
=+i*(b/w)*[expi(-w*t)][t:-a~a]
=+i*(b/w)*[expi(-w*a)-expi(w*a)]
=2*b*sin(w*a)/w

◇フーリエ変換◇

「フーリエ変換」

■ F(w)=${f(t)*expi(-w*t)*dt}[t:-∞~∞]

 逆フーリエ変換 f(t)=[1/(2Pi)]*${F(w)*expi(w*t)*dw}[w:-∞~∞]

※ 積分の前の係数は、両方の係数の積が 1/(2Pi) になるようにすればよい

「デルタ関数」

■ ${f(x)*δ(x-a)*dx}[x:-∞~∞]=f(a) ${f(x)*[δ(x-a);x]*dx}[x:-∞~∞]=-f(a);x

★ δ(x) のフーリエ変換

 F(w)=${δ(x)*expi(-w*t)*dt}[t:-∞~∞]=expi(0)=1

逆 f(t)
=[1/(2Pi)]*${1*expi(w*t)*dw}[w:-∞~∞]
=[1/(2Pi*t)][expi(w*t)][w:-∞~∞] 

★ 矩形波 f(-a<t<a)=b=定数 それ以外で 0

 F(w)
=b*${expi(-w*t)*dt}[t:-a~a]
=+i*(b/w)*[expi(-w*t)][t:-a~a]
=+i*(b/w)*[expi(-w*a)-expi(w*a)]
=2*b*sin(w*a)/w

◇計算例-フーリエ変換◇

★ f(-T<t<T)=cos(w0*t) それ以外で f(t)=0

 F(w)=${cos(w0*t)*expi(-w*t)*dt}[t:-T~T]

● expi(x)=cos(x)+i*sin(x) Ca*Cb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2 ●

cos(x)*sin(x) は奇関数だから、-T~T で積分すれば 0 になるから、

 F(w)
=2*${cos(w0*t)*cos(w*t)*dt}[t:0~T]
=${{cos[(w0+w)*t]+cos[(w0-w)*t]}*dt}[t:0~T]
=[{sin[(w0+w)*t]/(w0+w)+sin[(w0-w)*t]/(w0-w)}][t:0~T]
=sin[(w0+w)*T]/(w0+w)+sin[(w0-w)*T]/(w0-w)

{難しく計算してある資料が多い!2014/8}

★ f(-T<t<T)=sin(w0*t) それ以外で f(t)=0

 F(w)=i*sin[(w0+w)*T]/(w0+w)-i*sin[(w0-w)*T]/(w0-w)

  フーリエ変換  

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