指数関数の微分Uz

2016/9-2011　Yuji.W

☆指数関数の微分☆

◎ [exp(x)];x　(a^x);x

■ cos(x)+i*sin(x)=expi(x) ★.オイラーの公式

◇ ベクトル<A>　単位ベクトル<Au>　内積*　外積#　　物理定数- ★.
◆ ネイピア数 e　虚数単位 i　exp(i*x)=expi(x)　微分;x　積分$　10^x=Ten(x)

{復習}ネイピア数

『ネイピア数』　2016/9

■ h->∞　で、

　(1+1/h)^h -> e~2.718281828=ネイピア数{定義}

　(1+x/h)^h -> e^x　[1+1/(2h)]^[(2h)*(1/2)] -> √e

■ h->0　で、

　(1+h)^(1/h) -> e

　ln(1+h)/h -> 1　(e^h-1)/h -> 1　(a^h-1)/h -> ln(a)　x*ln(x) -> 0

■

◇指数関数の微分◇

■【 exp(x);x 】

{定義}　exp(x);x=lim[h->0]{[exp(x+h)-exp(x)]/h}

ここで　exp(x+h)-exp(x)=exp(x)*exp(h)-exp(x)=exp(x)*[exp(h)-1]

また　lim[h->0]{[exp(h)-1]/h}=1　を使って、

　exp(x);x
=exp(x)*(lim[h->0]{[exp(h)-1]/h})
=exp(x)

≫　exp(x);x=exp(x) ★.

{うまくできてるなあ!2016/9}

■ a^x;x=exp[ln(a)*x];x=ln(a)*exp[ln(a)*x]=ln(a)*a^x ★

★ 3^x;x=ln(3)*3^x~1.10*3^x

◇極限の利用◇

■ lim[h->∞]{[1+1/(2h)]^[(2h)*(1/2)]}
=lim[n->∞]({[1+1/(2h)]^(2h)}^(1/2))
=e^(1/2)=root(e)

◇(x^n);x◇

◆ f(x);x=lim[h->0]{[f(x+h)-f(x)]/h}

● ネイピア数の定義により　exp(x);x=exp(x)　ln(x);x=1/x

■ (x^n);x
=lim[h->0]{[(x+h)^n-x^n]/h}
=lim[h->0]{[n*x^(n-1)+(h の項)+(h^2 の項)+…}
=n*x^(n-1) ★.

{別解}　y=x^n　と置く。y;x を求めたい。

、両辺の対数をとると　ln(y)=n*ln(x)
微分すると　(1/y)*(y;x)=n/x　ゆえに、
　y;x=(n/x)*y=(n/x)*x^n=n*x^(n-1)

☆指数の微分☆

◎ (x^3);x=3*x^2　(e^x);x=e^x　(3^x);x=?

■【 (3^x);x 】

　3=exp[ln(3)]

　3^x={exp[ln(3)]}^x=exp[ln(3)*x]

　(3^x);x=ln(3)*exp[ln(3)*x]=ln(3)*3^x

■ a>0 のとき　(a^x);x=ln(a)*a^x ★.

{ちゃんと教わった記憶がないなあ!2013/10}

　★　指数関数の微分　★　