お勉強しようUz 数学.関数

2016/3-2011 Yuji.W

☆指数関数☆

◎ ネイピア数 e~2.718281828 exp(x) exp(-x) 1/[1+exp(1/x)]

◇ ベクトル<A> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 縦ベクトル<A) 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x)物理定数

◇指数法則◇

■ 2^3*2^4=2^7 (2*5)^3=2^3*5^3 (2^3)^2=2^6

『指数法則』 2015/10

■ a^m*a^n=a^(m+n) (a*b)^m=(a^m)*(b^m) (a^m)^n=a^(m*n)

※ a,b,m,n は、整数のみならず、複素数まで拡張できる

◇指数関数◇

◆ ネイピア数 e e^x=exp(x)

■ exp(0)=1 exp(1)=e~2.7 exp(2)=e^2~7.3 exp(3)=e^3~19.7

exp(-1)=1/e~0.37 exp(-2)=1/e^2=0.14 exp(-3)=1/e^3~0.05

■ 任意の値 x x~x+1 の値の比を調べる

 exp(x+1)/exp(x)=exp(x)*e/exp(x)=e~2.7

x が 1 増えると、exp(x) は、e~2.7 倍になる〔

exp(-x) なら、x が 1 増えると、exp(-x) は、1/e~0.37 倍になる〔

{わかってなかったなあ!2014/8}

■ x~x+Δx で、exp(x) が、2倍になるとしよう。

 2=exp(x+Δx)/exp(x)=exp(Δx)

 Δx=ln2~0.7 ※ ln2~0.7 は e^0.7~2 という意味

x が 0.7 増えると、exp(x) は 2倍になる。exp(-x) は 1/2 になる〔

■ 時間 t 定数 T exp(t/T)

t が T 増えるごと、exp(t/T) は e倍になり、ln2*T 増えるごと 2倍になる

t が T 増えるごと、exp(-t/T) は 1/e 倍になり、ln2*T 増えるごと 1/2倍になる

ln2*T~0.7*T を半減期と呼ぶ

■ exp(x) と ln(x) とは逆関数同士だから、

 a=exp[ln(a)]〔

{あたりまえ過ぎて、忘れてしまう。暗記すべき!2014/1}

★ 3=exp(ln3)~e^1.10 10=exp(ln10)~e^2.30

 2=exp(ln2)=e^0.69

■ さらに a^x={exp[ln(a)]}^x=exp[ln(a)*x]〔〕{使えるようにすべき!}

★ 3^x=exp(ln3*x)~exp(1.10*x) 10^x=exp(ln10*x)~exp(2.30*x)

◇1/[1+exp(1/x)]◇

『1/[1+exp(1/x)]』 2016/7

x

0.1

0.5

1

1.5

2

2.5

3

1/[1+exp(1/x)]

0

0.12

0.27

0.35

0.38

0.40

0.42

0.5

◇近似式◇

■ |x|<<1 のとき exp(x)=1+x

■ f(x)=2^x ln[f(x)]=ln(2)*x x で微分すると、

 左辺=[f(x);x]/f(x)=[(2^x);x]/2^x 右辺=ln(2)

 [(2^x);x]/2^x=ln(2)

 (2^x);x=ln(2)*2^x~0.693*2^x 

|x|<<1 のとき 2^x=2^0+x*ln(2)*2^0=1+ln(2)*x 

■ |x|<<1 のとき exp(x)=1+x 2^x=1+ln(2)*x (1/2)^x=1-ln(2)*x

★ 2^0.1~1.072 1+ln(2)*0.1=1.069

 2^0.01~1.00696 1+ln(2)*0.01=1.00693

★ exp(0.1)~1.105 1+0.1=1.1

★ exp(0.01)~1.01005 1+0.01=1.01

★ exp[5*Ten(-3)]~1.00501 exp[5*Ten(-3)]=1+5*Ten(-3)=1.005

■ 定数 A 2<x のとき exp[A*Ten(-x)]=1+A*Ten(-x)

◇exp(x) と Ten(x)◇

◇ e^x=exp(x) 10^x=Ten(x)

◎ exp(x) から Ten(x) を求める

● e~2.7183 ln(2)~0.69315 ln(10)~2.3026

■ Ten(x)/exp(x)=(10/e)^x

対数をとると、

 ln[Ten(x)]-ln[exp(x)]=x*[ln(10)-ln(e)]

 ln[Ten(x)]-x=x*[ln(10)-1]

 ln[Ten(x)]=x*ln(10)

 Ten(x)=exp[x*ln(10)] .

★ root(10)=Ten(0.5)=exp(0.5*2.3026)=exp(1.1513)~3.1623

 3.1623^2~10.0001

■ |x|<<1 のとき exp(x)=1+x

 Ten(x)=exp[x*ln(10)]=[exp(x)]^ln(10)=(1+x)^ln(10)=1+x*ln(10) .

■ |x|<<1 のとき exp(x)=1+x

両辺の対数をとると x=ln(1+x)

また LOG(1+x)=ln(1+x)/ln(10)=x/ln(10)

● e~2.7183 ln(2)~0.69315 ln(10)~2.3026

■ Ten(x)=exp[x*ln(10)]

■ |x|<<1 のとき

 exp(x)=1+x Ten(x)=1+x*ln(10) ln(1+x)=x LOG(1+x)=x/ln(10)

◇指数関数の概数◇

【 底 10 の対数関数 LOG 底 e の対数関数 ln 】

◎ exp(x) の概数が知りたい

● ln(x)=ln(10)*LOG(x)~2.303*LOG(x)

■ LOG[exp(x)]=ln[exp(x)]/ln(10)=x/ln(10)~x/2.303

 exp(x)=10^[x/ln(10)] {これ使える!2015/8}

■ exp(x)=10^[x/ln(10)]

★ exp(3)~20.1 exp(3)~10^(3/2.303)~10^1.3 > 10

★ exp(10)~22026 exp(10)~10^(10/2.303)~10^4.3 > 10000

★ exp(-5)~0.0067

 exp(-5)~10^(-5/2.303)~10^(-2.2)~1/10^(2.2) < 1/100

  指数関数  

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