数学 積分

2015/11-2013/7 Yuji.W

楕円関数

◎ 第1種楕円関数 二重階乗 1/root[cos(x)]の積分 単振り子の周期 ☆

〔表記〕ベクトル<> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積#〔物理定数
微分 y;x 2階微分 y;;x 
時間微分 y' 積分 ${f(x)*dx} 定積分 ${f(x)*dx}[x:a~b]
累乗 ^ 10^x≡Ten(x) 1/x≡Over(x) exp(i*x)≡expi(x) 複素共役 z!
.2015/11/13

☆シミュレイション ${[1/root[sin(a)]*da}☆

◎ Excel を使って、広義積分 ${dx/root[sin(x)]}[x:0~Pi/2] を求めよう

■ 1/root[sin(x)] は、x=0 で発散する

 ${dx/root[sin(x)]}[x:0~Pi/2]=lim[h->0]{${dx/root[sin(x)]}[x:h~1]}

ステップ数 n (Pi/2)/n=Δx として、次の値を求める。

 I
={1/root[sin(Δx)]+1/root[sin(2*Δx)]+1/root[sin(3*Δx)]+…+1/root[sin(n*Δx)]}*Δx

n=10 I~2.12

n=100 I~2.45

n=1000 I~2.56

n=10000 I~2.60

※ ${dx/root[sin(x)]}[x:0~Pi/2]~2.62

■ 同様にして I=${dx/root[1-cos(x)]}[x:0~Pi/2]

n=10000 I~2.8

☆二重階乗☆

◆ 自然数n

■ n が奇数のとき n!!=1*3*5*…*n=奇数の階乗

■ n が偶数のとき n!!=2*4*6*…*n=偶数の階乗

■ (2*n)!!=2^n*n!

■ (2*n+1)!!=(2*n+1)!/(2*n)!!

★ 5!!=15 7!!=105 9!!=945

★ 4!!=8 6!!=48 8!!=384 10!!=3840

☆第1種完全楕円関数☆

〔A:正の定数〕 ${dx/root(A^2-x^2)}[x:0~A]=Pi/2

■ 第1種完全楕円関数 K(k)
=${[1/root(1-k^2*sin(x)^2)]*dx}[x:0~Pi/2]
=(Pi/2)*Σ{[(2*n-1)!!/(2*n)!!]^2*(k^2)^n}[n:0~∞]

 1項目の係数=(1!!/2!!)^2=(1/2)^2

 2項目の係数=(3!!/4!!)^2=(3/8)^2

 3項目の係数=(5!!/6!!)^2=(15/48)^2=(5/16)^2

 4項目の係数=(35/128)^2

 5項目の係数=(63/256)^2

 K(k)
=(Pi/2)*[1+(1/2)^2*k^2+(3/8)^2*(k^2)^2+(5/16)^2*(k^2)^3
+(35/128)^2*(k^2)^4+(63/256)^2*(k^2)^5+…]

■ K(0)=Pi/2=1.57

■ k=sin(a0/2) のとき、

a0

10°

30°

45°

60°

80°

90°

k=sin(a0/2)

0

0.0087

0.017

0.08

0.259

0.383

0.5

0.643

0.707

K(k)

1.57

1.57

1.57

1.57

1.60

1.63

1.69

1.79

1.85

1

1

1

1

1.02

1.04

1.08

1.14

1.18

■ a0=Pi/2 のとき k=sin(Pi/4)=root2/2 k^2=1/2

 K(root2/2)=(Pi/2)*[1+(1/2)^2/2+(3/8)^2/4+(5/16)^2/8
+(35/128)^2/16+(63/256)^2/32+…]
=(Pi/2)*[1+0.125+0.035+0.012+0.005+0.002+…]
=(Pi/2)*[1+0.125+0.035+0.012+0.005+0.002+…]
=(Pi/2)*1.179
~1.85

☆${[1/root[cos(a)-cos(a0)]*da}☆

■ sin(a0/2)=k とすれば、

 ${[1/root[cos(a)-cos(a0)]*da}[a:0~a0]=root2*K(k)

{証明} sin(a0/2)=k sin(a/2)=k*sin(x) cos(a/2)=root(1-k^2*sin(x)^2)

0<a<a0<Pi 0<b<Pi/2 と置く。 [a:0~a0] ⇔ [x:0~Pi/2]

 (1/2)*cos(a/2)*da=k*cos(x)*dx だから、

 da=[2*k*cos(x)/root(1-k^2*sin(x)^2)]*dx

倍角の公式 cos(a)=1-2*sin(a/2)^2 を使って、

 root(cos(a)-cos(a0)
=root2*root[sin(a0/2)^2-sin(a/2)^2]
=root2*root[k^2-k^2*S(x)^2]
=root2*k*root[1-sin(x)^2]
=root2*k*cos(x)

まとめて、

 ${[1/root[cos(a)-cos(a0)]*da}[a:0~a0]
=${[1/(root2*k*cos(x))]*[2*k*cos(x)/root(1-k^2*sin(x)^2)]*dx}[x:0~Pi/2]

=root2*${[1/root(1-k^2*sin(x)^2)]*dx}[x:0~Pi/2]
=root2*K(k) 』{やっとできた。ていねいにひとつひとつ確かめていけば、難しくない!2013/7}

☆1/root[cos(x)] の積分☆

〓◆ 関数 [1/root(cos(x))] Excel で数値積分してみた

x=Pi/2 で発散している 広義積分 ${[1/root(cos(x))]*dx}[x:0~Pi/2]

■ ${[1/root(cos(x))]*dx}[x:0~a]

a

10°

30°

45°

60°

89°

積分値

0.035

0.052

0.193

0.554

0.850

1.189

2.438

■ ${([1/root[cos(x)])*dx}[x:0~Pi/2]
=lim[a->Pi/2]{${(1/root[cos(x)])*dx}[x:0~a]}
~2.62

☆まとめ☆

「第1種完全楕円関数 K(k)」

■ K(k)=${[1/root(1-k^2*sin(x)^2)]*dx}[x:0~Pi/2]

■ sin(a0/2)=k ${[1/root[cos(a)-cos(a0)]*da}[a:0~a0]=root2*K(k)

■ K(0)=Pi/2=1.57 K(root2/2)=1.85

K(0.9)=2.28 K(0.99)=3.36 K(0.999)=4.50

「1/root[cos(x)] の積分」 第1種完全楕円関数 K(k)

■ ${([1/root[cos(x)])*dx}[x:0~Pi/2]
=lim[a->Pi/2]{${(1/root[cos(x)])*dx}[x:0~a]}
=root2*K(root2/2)
~1.414*1.85
~2.62

  楕円関数  

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