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◎ 第1種楕円関数 二重階乗 1/root[cos(x)]の積分 単振り子の周期 ☆ |
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〔表記〕ベクトル<> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積#〔物理定数〕 |
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◎ Excel を使って、広義積分 ${dx/root[sin(x)]}[x:0~Pi/2] を求めよう ■ 1/root[sin(x)] は、x=0 で発散する ${dx/root[sin(x)]}[x:0~Pi/2]=lim[h->0]{${dx/root[sin(x)]}[x:h~1]} ステップ数 n (Pi/2)/n=Δx として、次の値を求める。 I n=10 I~2.12 n=100 I~2.45 n=1000 I~2.56 n=10000 I~2.60 ※ ${dx/root[sin(x)]}[x:0~Pi/2]~2.62 ■ 同様にして I=${dx/root[1-cos(x)]}[x:0~Pi/2] n=10000 I~2.8 |
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◆ 自然数n ■ n が奇数のとき n!!=1*3*5*…*n=奇数の階乗 ★ ■ n が偶数のとき n!!=2*4*6*…*n=偶数の階乗 ★ ■ (2*n)!!=2^n*n! ■ (2*n+1)!!=(2*n+1)!/(2*n)!! ★ 5!!=15 7!!=105 9!!=945 ★ 4!!=8 6!!=48 8!!=384 10!!=3840 |
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第1種完全楕円関数
K(k) 1項目の係数=(1!!/2!!)^2=(1/2)^2 2項目の係数=(3!!/4!!)^2=(3/8)^2 3項目の係数=(5!!/6!!)^2=(15/48)^2=(5/16)^2 4項目の係数=(35/128)^2 5項目の係数=(63/256)^2
K(k) ■ K(0)=Pi/2=1.57 ■ k=sin(a0/2) のとき、
■ a0=Pi/2 のとき k=sin(Pi/4)=root2/2 k^2=1/2 K(root2/2)=(Pi/2)*[1+(1/2)^2/2+(3/8)^2/4+(5/16)^2/8 |
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■ sin(a0/2)=k とすれば、 ${[1/root[cos(a)-cos(a0)]*da}[a:0~a0]=root2*K(k) ★ {証明} sin(a0/2)=k sin(a/2)=k*sin(x) cos(a/2)=root(1-k^2*sin(x)^2) 0<a<a0<Pi 0<b<Pi/2 と置く。 [a:0~a0] ⇔ [x:0~Pi/2] (1/2)*cos(a/2)*da=k*cos(x)*dx だから、 da=[2*k*cos(x)/root(1-k^2*sin(x)^2)]*dx 倍角の公式 cos(a)=1-2*sin(a/2)^2 を使って、 root(cos(a)-cos(a0) まとめて、 ${[1/root[cos(a)-cos(a0)]*da}[a:0~a0] =root2*${[1/root(1-k^2*sin(x)^2)]*dx}[x:0~Pi/2] |
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〓◆ 関数 [1/root(cos(x))] Excel で数値積分してみた x=Pi/2 で発散している 広義積分 ${[1/root(cos(x))]*dx}[x:0~Pi/2] ■ ${[1/root(cos(x))]*dx}[x:0~a]
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${([1/root[cos(x)])*dx}[x:0~Pi/2] |
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★ 楕円関数 ★ |