数学 図形 2018/5-2016/10 Yuji.W
☆ アポロニウスの円(球) ☆
◎ アポロニウスの円 アポロニウスの球 内分 外分
◇ ベクトル <A> 内積 * 外積 # 10^x=Ten(x) 微分
;x 時間微分
' 積分 $
ネイピア数 e e^x=exp(x) i^2=-1 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x)
★_
〓 内分,外分 〓.
◆ AーーーーIーーBーーOーーーーE
線分 AB を k:1 に内分する点 I k:1 に外分する点 E IE の中点 O 〔 k>1 〕
AO=l IO=OE=r
■ AI/AB=k/(k+1) AE/AB=k/(k-1) r/AB=k/(k^2-1)
■ AO/r=l/r=k BO/r=r/l=1/k
〓 アポロニウスの円 2:1 〓.
◆ xy平面 A(0,0) B(1,0) P(x,y) PA:PB=2:1 Pの軌跡?
線分 AB を 2:1 に内分する点、外分する点を通る
■ 2*PB=PA
2*root[(x-1)^2+y^2]=root(x^2+y^2)
4*(x^2-2*x+1+y^2)=x^2+y^2
3*x^2-8*x+4+3*y^2=0
x^2-(8/3)*x+y^2=-4/3
(x-4/3)^2+y^2=-4/3+16/9
(x-4/3)^2+y^2=(2/3)^2 ★_円 中心 (4/3,0) 半径 2/3
〓 アポロニウスの円 k:1 〓.
◆ xy平面 A(0,0) B(1,0) P(x,y) PA:PB=k:1〔 k>1 〕 Pの軌跡?
線分 AB を k:1 に内分する点、外分する点を通る
■ k*PB=PA
k*root[(x-1)^2+y^2]=root(x^2+y^2)
k^2*(x^2-2*x+1+y^2)=x^2+y^2
(k^2-1)*x^2-2*k^2*x+(k^2-1)*y^2=-k^2
x^2-2*[k^2/(k^2-1)]*x+y^2=-k^2/(k^2-1)
[x-k^2/(k^2-1)]^2+y^2=-k^2/(k^2-1)+k^4/(k^2-1)^2
ここで、
右辺=[-k^2*(k^2-1)+k^4]/(k^2-1)^2=k^2/(k^2-1)^2=[k/(k^2-1)]^2
[x-k^2/(k^2-1)]^2+y^2=[k/(k^2-1)]^2 ★_円
円の半径 r 円の中心 O とすれば、
r=k/(k^2-1) OA=k^2/(k^2-1)=r*k OB=1/(k^2-1)=r/k
〓 アポロニウスの円(球) 〓.
◆ PA:PB=k:1〔 k>1 〕 Pの軌跡?
AーーーーIーーBーーOーーーーE
AB を k:1 に内分する点 I 外分する点 E IEの中点 O IO=OE=r AO=l
■ IE を直径とする円(球)になる
AI/AB=k/(k+1) AE/AB=k/(k-1) r/AB=k/(k^2-1)
■ AO/r=l/r=k BO/r=r/l=1/k
〓 三角形の内分点、外分点 〓.
■ 三角形の内角の二等分線の性質、外角の二等分線の性質の逆を考えれば、次の定理が得られる。
◆ △ABP の 辺ABを PA:PB に内分した点 D 外分した点 E
■ 直線PDは内角APBの二等分線 ∠CPD=∠BPD
直線PEは外角FPBの二等分線 ∠BPE=∠FPE
■ (以上の4つの角の和)=180° だから ∠DPE=90°
点Pは、線分DEを直径とする円の周上にある
〓 アポロニウスの円 〓.
◎ 2点からの距離の比が一定である点の軌跡
◆ 平面上 2点 A,B 点 P AP:BP=k:1〔 k:定数 k>1 〕
線分ABを内分する点 D 外分する点 E
AB=L OD=OE=R OA=h OB=s
■ 点Pは、内分点Dと外分点Eを結ぶ線分を直径とする円を描く ★.アポロニウスの円
AD/L=k/(k+1) AE/L=k/(k-1) R/L=k/(k^2-1) h/L=k^2/(k^2-1) s/L=1/(k^2-1) h/R=k s=R/k=R^2/h