お勉強しよう 〕 数学.図形

2016/11-2016/10 Yuji.W

☆アポロニウスの円☆

. アポロニウスの円 平面上 空間上 内分 外分

◇ ベクトル<A> 単位ベクトル<Au> 内積* 外積# 〔物理定数〕.  .
◆ ネイピア数 e 虚数単位 i exp(i*x)=expi(x) 微分;x 積分$ 10^x=Ten(x)

{復習}k:1 に内分,外分

『内分,外分』 2016/11

◆ 2定点 A,B を k:1 に内分する点 D 外分する点 E DEの中点 O〔 k>1 〕

 AーーDーBーOーーE  AB=L OD=OE=R OA=h OB=s

■ AD/L=k/(k+1) AE/L=k/(k-1) R/L=k/(k^2-1) h/L=k^2/(k^2-1)  s/L=1/(k^2-1) h/R=k s=R/k=R^2/h

{復習}三角形の内分点、外分点

■ 三角形の内角の二等分線の性質、外角の二等分線の性質の逆を考えれば、次の定理が得られる。

『三角形の内分点、外分点』 2016/10

◆ △ABP の 辺ABを PA:PB に内分した点 D 外分した点 E

■ 直線PDは内角APBの二等分線 ∠CPD=∠BPD

直線PEは外角FPBの二等分線 ∠BPE=∠FPE

■ (以上の4つの角の和)=180° だから ∠DPE=90°

点Pは、線分DEを直径とする円の周上にある

◇アポロニウスの円◇

◎ 2点からの距離の比が一定である点の軌跡

◆ 平面上 2点 A,B 点 P AP:BP=k:1〔 k:定数 k>1 〕

線分ABを内分する点 D 外分する点 E

 AB=L OD=OE=R OA=h OB=s

■ 点Pは、内分点Dと外分点Eを結ぶ線分を直径とする円を描く .アポロニウスの円

 AD/L=k/(k+1) AE/L=k/(k-1) R/L=k/(k^2-1) h/L=k^2/(k^2-1)  s/L=1/(k^2-1) h/R=k s=R/k=R^2/h

『アポロニウスの円』 2016/11

◆ 平面上 2点 A,B 点 P AP:BP=k:1〔 k:定数 k>1 〕

線分ABを内分する点 D 外分する点 E

 AB=L OD=OE=R OA=h OB=s

■ 点Pは、内分点Dと外分点Eを結ぶ線分を直径とする円(空間上では球)を描く .アポロニウスの円

 AD/L=k/(k+1) AE/L=k/(k-1) R/L=k/(k^2-1) h/L=k^2/(k^2-1)  s/L=1/(k^2-1) h/R=k s=R/k=R^2/h

{別解}アポロニウスの円

◆ 平面上 2点 A,B 点 P AP:BP=k:1〔 k:定数 k>1 〕

線分ABを内分する点 D 外分する点 E 並び順 A,D,B,E

xy平面上で次のように定める A(0,0) , B(1,0) AB=1

■【 内分点D、外分点E 】

 AD=k/(k+1) AE=k/(k-1) DE=2*k/(k^2-1)

■【 点Pの軌跡 】

 root[x^2+y^2] : root[(x-1)^2+y^2]=k:1

 k*root[(x-1)^2+y^2]=root[x^2+y^2]

 k^2*[(x-1)^2+y^2]=x^2+y^2

 (k+1)*(k-1)*x^2-2*k^2*x+k^2+(k+1)*(k-1)*y^2=0

 x^2-2*[k^2/(k^2-1)]*x+y^2=-k^2/(k^2-1)

 [x-k^2/(k^2-1)]^2+y^2=k^4/(k^2-1)^2-k^2/(k^2-1)

 右辺=[k^2/(k^2-1)^2]*[k^2-(k^2-1)]=[k/(k^2-1)]^2

 [x-k^2/(k^2-1)]^2+y^2=[k/(k^2-1)]^2 .アポロニウスの円

円の中心 (k^2/(k^2-1) , 0) (円の半径)=k/(k^2-1)

.  アポロニウスの円  .

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