☆ 三角関数 ☆
〇 三角関数の定義 ラジアン trigonometric function 2023.6-2011 Yuji.W ★
◇ 2*3=6 Ten(3)=10^3=1000 微分 ; 偏微分 : 積分 $ e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A> 縦ベクトル <A) 単位ベクトル <xu> 内積 * 外積 # 000
〓 ラジアン 〓 ◇ ◎ ● 〇
〇 「ラジアン」は、角度を表す1つの単位である。「円」の代わりに「ドル」を使うのと同じである。記号を 度 ° ラジアン rad とする
変換の割合を次のように定める。円周率 Pi が出てきて、
Pi_rad=180_° ★
3.14_rad~180_° 1_rad~57.3_° 0.0174_rad~1_°
★ 90_°=Pi/2_rad
〇 半径 1 中心角 a_° の扇形の弧の長さ L
L=2*Pi*(a/360)=Pi*a/180
ここで a_°=b_rad のとき b=(a/180)*Pi=Pi*a/180 であるから、
L=b ★
〇 半径 r 中心角 a_° の扇形の弧の長さ L
L=r*Pi*a/180
a_°=b_rad のとき b=Pi*a/180 であるから、
L=r*b ★
▲ 中心角をラジアンで表すと、弧の長さは (半径)*(中心角_rad) で求められる。これが、ラジアンを導入する理由である。
★ 半径 r 中心角 90_°=Pi/2_rad (弧の長さ)=Pi*r/2
※ 一般に、角の大きさは「ラジアン」が使われる。
例えば、半径 r 中心角 a の扇形の弧の長さ L L=r*a ★ などと表される。
〓 三角関数とは 〓 ◇ ◎ ● 〇
◎ 直角三角形を考える。円の直径に対する円周角は 90° だから、その直径を斜辺とする直角三角形を考えると便利。
〇 斜辺の長さが 1 である直角三角形を考える。 ★ {ここが核心!}
三角形ABC ∠C=∠R=90° 斜辺 AB=1 ∠A=a 0<a<90°
a の大きさを変えると、直角三角形の形が変わる。辺の長さが変わる。
a を大きくすると、BC は長くなり、AC は短くなる。
このとき、斜辺以外の2つの辺の長さを次のように表す。
BC=sin(a) AC=cos(a) BC/AC=tan(a)=sin(a)/cos(a)
また、次のように呼ぶ。 sin 正弦 cos 余弦 tan 正接
0<a<90° において sin(a) と tan(a) は増加関数、cos(a) は減少関数である。
▲ 直角三角形 1つの鋭角 a 斜辺 1 他の2辺 sin(a) , cos(a) ★
〇 三平方の定理より sin(a)^2+cos(a)^2=BC^2+AC^2=AB^2=1^2=1
sin(a)^2+cos(a)^2=1 ★
〇 直角千角形で ∠A+∠B=90° だから、
sin(90°-a°)=sin(∠B)=AC=cos(a°)
sin(90°-a°)=cos(a°) ★
同様に cos(90°-a°)=sin(a°) ★
また tan(90°-a°)=sin(90°-a°)/cos(90°-a°)=cos(a°)/sin(a°)=1/tan(a°)
tan(90°-a°)=1/tan(a°) ★
{高校に入学してすぐ習ったような気がする。全然わからなかったなあ!23.6}
▲ 以上、斜辺の長さが 1 である直角三角形について考えた。斜辺の長さが 1 でない場合は、次のようにする。∠a が同じである直角三角形はすべて相似であり、辺の比は変わらない。
sin(a)=BC/AB cos(a)=AC/AB tan(a)=BC/AC
▲ 直角三角形 1つの鋭角 a 斜辺 L 他の2辺 L*sin(a) , L*cos(a) ★
〇 sin(a)^2+cos(a)^2
=BC^2/AB^2+AC^2/AB^2
=(BC^2+AC^2)/AB^2
=AB^2/AB^2
=1
sin(a)^2+cos(a)^2=1 ★
〇 直角千角形で ∠A+∠B=90° だから、
sin(90°-a°)=sin(∠B)=AC/AB=cos(a°)
sin(90°-a°)=cos(a°) ★
同様に cos(90°-a°)=sin(a°) tan(90°-a°)=1/tan(a°) ★
〓 三角関数-2- 〓 ◇ ◎ ● 〇
◎ 以上の定義は、考える角は、0°～90° に限られる。これを、360°までに拡張する。あとは、周期関数になり、すべての角に適用することができるようになる。
〇 xy座標で、原点O を中心に、半径 r の円を考える。
円周上の任意の点 P(x,y) -r≦x≦r -r≦y≦r
直線 OP とx軸とが作る角(左回り) a 0°≦a°<360° または -180°≦a°<180°
※ 周期関数にして、任意の実数 a を考えてもよい
次のように三角関数を定める cos(a)=x/r sin(a)=y/r tan(a)=sin(a)/cos(a)=y/x ★
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