☆お勉強しようUz☆ 数学.三角関数

2016/3-2011 Yuji.W

三角関数

◎ 三角関数の定義 ラジアン trigonometric function

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数 .

◇三角関数◇

◎ 三角関数は、次のことをまず覚えるべきである。

「三角関数」

◆ 直径1の円 AB=1 円周上の点 C ∠C=∠R ∠A=a

■ a に向かい合う辺の長さ BC=sin(a) 正弦

 もう1つの辺の長さ CA=cos(a) 余弦

 BC/CA=sin(a)/cos(a)=tan(a) 正接

■ a~0 のとき sin(a)~0 cos(a)~1

a が増加 ⇒ sin(a) は増加、cos(a) は減少

a~Pi/2 のとき sin(a)~1 cos(a)~0

■ 斜辺の長さは1であるから、三平方の定理より、

 sin(a)^2+cos(a)^2=1

■ sin(Pi/2-a)=cos(a) cos(Pi/2-a)=sin(a)

■ 3つの角が、Pi/2 , a , Pi/2-a と定まっている直角三角形は、すべて相似であるから、

斜辺の長さが r であれば、他の2辺は、r*sin(a) , r*cos(a)

◇ラジアン◇

◎ ラジアンの定義もわかりにくい。

◆ ラジアンも、角度の大きさを表す、ただの単位に過ぎない。ラジアンと°の関係も、ただの換算と思えばよい。1ドル=100円などと同じ。

■ Piラジアン=180°〔

 1ラジアン=180/Pi=57.…° 1°=Pi/180ラジアン

■ なぜそのように換算値にしたのか。

半径1、中心角 a_ラジアン の扇形の弧の長さ L を考える。

 a_ラジアン=a*180/Pi_° であるから、

 L=2Pi*(a*180/Pi)/360=a

角度の大きさをラジアンで表しておけば、その値が則、弧の長さになる。(半径1のとき)〔

次に、中心角は同じで、半径が r の扇形の弧の長さ L を考える。元の半径1の扇形と相似であるから、

 L=r*a

角度の大きさをラジアンで表しておけば、半径*中心角 で、弧の長さが求められる。〔〕これが、ラジアンを導入する理由である。

「ラジアン」

■ 1ラジアンとは、60°よりちょっと小さい角度であって、

 Pi_ラジアン=180_° という関係がある。

半径 r 、中心角 a_ラジアンの扇形の弧の長さ L=r*a

◇三角関数の拡張◇

◎ 以上の定義は、考える角は、0°〜90° に限られる。これを、360°までに拡張する。あとは、周期関数になり、すべての角に適用することができるようになる。

◆ xy座標で、原点を中心に、半径 1 の円を考える。{ここも、半径 1 にするのが、ポイント!長さ r にして、比を考えると、わかりにくい。}

■ x軸の正の方向からの角度(左回り) a {注}単位は、° でも ラジアン でもよい。

 sin(a)=(高さ)=(y座標の値) x軸より上で正、下で負

 cos(a)=(横)=(x座標の値) y軸より右で正、左で負

■ 定義より、次の関係は明か、

a と -a は、上下対称の関係だから、

 sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cos(a)

a と Pi-a は、左右対称の関係だから、

 sin(Pi-a)=sin(a) cos(Pi-a)=-cos(a)

90°から引くと、

 sin(Pi/2-a)=cos(a) cos(Pi/2-a)=sin(a)

90°足すと、

 sin(Pi/2+a)=cos(a) cos(Pi/2+a)=-sin(a)

☆三角関数と平面座標☆

◆ xy平面上の任意の点 (x,y) その点とx軸との作る角 a r.=root(x^2+y^2)

■ cos(a)=x/r. sin(a)=y/r. tan(a)=y/x

 cos(a)^2+sin(a)^2=(x/r.)^2+(y/r.)^2=(x^2+y^2)/r.^2=r.^2/r.^2=1

 sin(a)/cos(a)=(y/r.)/(c/r.)=y/x=tan(a)

 1+tan(a)^2=1+(y/x)^2=(x^2+y^2)/x^2=(r./x)^2=1/cos(a)^2

  三角関数  

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