数学-積分  2014/1-2011  Yuji.W

積分-道のり,エネルギー  

◎ 積分の利用 道のり エネルギー 星の重力エネルギー 〔

〔表示のお約束140710〕cos(a)=Ca sin(b)=Sb tan(x)=Tx 10^x=Ten(x)
ベクトル<> 単位ベクトル<-u> 縦ベクトル<) 成分<>:x 内積* 外積#
e^(x)=exp(x)=E(x) e^(i*x)=expi(x)=Ei(x) 微分;x 
時間微分' 物理定数

◇道のり◇

■ 速さを v(t) ただし、時間 t の関数

ある時間、 t から t+dt まで(ただし、dtは小さい)動いたときの道のりは、v(t) は一定であるとみなせると考えて、v(t)*dt

これをある時刻からある時刻まですべて集めれば、道のりが求められる。

 s=${v(t)*dt}[t:t1~t2] 

★ 物体の落下運動

地表面からあまり離れていない場所からモノを自由落下させる。ただし、空気の抵抗を考えない。

重力加速度は一定であるとみなせる。その値をgとすると、物体が自由落下するときの速さは、時間に比例する。

 v(t)=g*t

 s
=${g*t*dt}[t:t1~t2]
=(1/2)*g*[t^2][t:t1~t2]
=(1/2)*g*[t2^2-t1^2] 

◇エネルギー◇

■ 力F(x)をかけたまま、短い距離 dx を動かすときに、加えたエネルギーは、F(x)が一定であると考えて、F(x)*dx

したがって、加えたエネルギーすべては、 E=${F(x)*dx}[x:x1~x2]

★ バネが平衡状態にある。長さ x だけ縮めた時の力は、その長さに比例する(フックの法則)から、F(x)=k*x

x 縮めたときの、バネに蓄えられたエネルギーEは、

 E
=${k*x*dx}[x:x1~x2]
=(1/2)*k*[x^2][x:x1~x2]
=(1/2)*k*(x2^2-x1^2) 

★ 地球の引力に逆らって、モノを上に持ち上げていくときに必要なエネルギーU

G:万有引力定数 M:地球の質量 中心からの距離:r モノの質量:m 引力F(r)

 F(r)=G*M*m/r^2

※ 重力加速度が一定であるとは、見なせない場合を考えている。

短い距離 dr で、得るエネルギーは、F(r)*dr

 U
=${[G*M*m/r^2]*dr}[r:∞~r]
=G*M*m*[-1/r][r:∞~r]
=-G*M*m/r 

▲ 力が、逆2乗の法則で働くモノは、すべて、そのエネルギーは 1/r で、効いてくる。電磁石の力もそうである。

◇星の重力エネルギー◇

◆半径 R 質量 M 密度一定 すなわち球対称 重力エネルギー U

 密度 ρ=M/(4Pi*R^3/3)=3*M/(4Pi*R^3)=一定

■半径 r の球に含まれる質量 m(r) r<R

 m(r)=M*r^3/R^3

半径 r〜r+dr の球殻の質量 dm

 dm=ρ*4Pi*r^2*dr=3*M/(4Pi*R^3)*4Pi*r^2*dr=(3*M/R^3)*r^2*dr

球対称に分布する総質量 m(r) の物体から、r だけ離れた所にある、質量 dm の物体が持つ、重力エネルギー dU は、総質量が原点にあるとした場合に同じになるから、

 dU
=-G*m(r)*dm/r
=-G*M*r^3/R^3*(3*M/R^3)*r^2*dr/r
=-(3*G*M^2/R^6)*r^4

 U
=${dU*dr}[r:0->R]
=-(3*G*M^2/R^6)*${r^4*dr}[r:0->R]
=-(3*G*M^2/R^6)*[r^5/5][r:0->R]
=-(3/5)*G*M^2/R 
…重力エネルギーはマイナス

※ 積分定数を 0 としている

☆ Yuji Watanabe ☆

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