☆ 合成関数の2階微分係数 ☆

☆ お勉強しよう 数学 2022.3-2018.7 Yuji.W

〇 {知らなかった事が多い!}　★　☆

【数学】2*3=6　6/2=3　3^2=9　1000=10^3=Ten(3)　　　000　py-　0table
微分 ;　偏微分 :　積分 $　ネイピア数 e　虚数単位 i　e^(i*x)=expi(x)　

ベクトル <A>　縦ベクトル <A)　単位ベクトル <Au>　内積 *　外積 #　　

〓　合成関数の微分係数　〓　◇ 微分 ;　

▢ t の関数 x=g(t)　xの関数 y=f(x)　合成関数 y=f(g(t))

　x の t=t0 における微分係数 {x;t|t0}

　y の x=g(t0)=x0 における微分係数 {y;x|x0}

　y の t=t0 における微分係数 {y;t|t0}

▷ {y;t|t0}={y;x|x0}*{x;t|t0}　★　

{この公式は見たことがない!当たり前なのかなあ?2018/7}

〓　合成関数の2階微分係数　〓　◇ 微分 ;

▢ t の関数 x=g(t)　xの関数 y=f(x)　合成関数 y=f(g(t))

t=t0　のとき　x=f(t0)=x0　{y;;t|t0}？

▷ y;t=(y;x)*(x;t)

　y;;t

=(y;t);t

=[(y;x);t]*(x;t)+(y;x)*(x;;t)

=(y;;x)*(x;t)*(x;t)+(y;x)*(x;;t)

=(y;;x)*(x;t)^2+(y;x)*(x;;t)

　y;;t=(y;;x)*(x;t)^2+(y;x)*(x;;t)　★　合成関数の2階微分

{知らなかった!22.03}

▷ {y;;t|t0}={y;;x|x0}*{x;t|t0}^2+{y;x|x0}*{x;;t|t0}　★　合成関数の2階微分係数

〓　合成関数の2階微分係数　〓　◇ 微分 ;

▢ t の関数 x=g(t)　xの関数 y=f(x)　合成関数 y=f(g(t))

t=t0　のとき　x=f(t0)=x0　

▷ y;;t=(y;;x)*(x;t)^2+(y;x)*(x;;t)

　{y;;t|t0}={y;;x|x0}*{x;t|t0}^2+{y;x|x0}*{x;;t|t0}　

〓　{計算例}合成関数の2階微分係数　〓　◇

▢ x=t^2　y=3*x^2+4*x+1=3*t^4+4*t^2+1　t=10 のときの2階微分係数？

t=10 のとき x=100

▷ y;t=12*t^3+8*t　y;;t=36*t^2+8　{y;;t|10}=36*10^2+8=3608

▷ y;x=6*x+4=6*t^2+4　y;;x=6

　{y;x|100}=6*100+4=604　{y;;x|100}=6

また　x;t=2*t　x;;t=2

　{x;t|10}=2*10=20　{x;;t|10}=2

⇒　{y;;t|10}
={y;;x|100}*{x;t|10}^2+{y;x|100}*{x;;t|10}
=6*20^2+604*2
=2400+1208
=3608　{おもしろい!22.3}

〓　合成関数の積の2階微分係数　〓　◇

▢ tの関数 T(t)　Tの関数 A(T) , B(T)　t=t0 のとき T=T0

● y;;t=(y;;x)*(x;t)^2+(y;x)*(x;;t)

▷ (A*B);T=(A;T)*B+A*(B;T)

　(A*B);;T=(A;;T)*B+2*(A;T)*(B;T)+A*(B;;T)

　(A*B);;t=[(A*B);;T]*(T;t)^2+[(A*B);T]*(T;;t)　★　

▷ {(A*B);;t|t0}={[(A*B);;T]|T0}*{T;t|t0}^2+{(A*B);T|T0}*{T;;t|t0}　★　

{知らなかった!22.3}

〓　合成関数の積の2階微分係数　〓　◇

▢ tの関数 T(t)　Tの関数 A(T) , B(T)　

t=t0 のとき T=T0

▷ (A*B);;t=[(A*B);;T]*(T;t)^2+[(A*B);T]*(T;;t)　

　{(A*B);;t|t0}={[(A*B);;T]|T0}*{T;t|t0}^2+{(A*B);T|T0}*{T;;t|t0}

〓　{計算例} 合成関数の積の2階微分係数　〓　◇

▢ T=t^2　A=3*T+4=3*t^2+4　B=5*T=5*t^2　

t=4 , T=16　{(A*B);;t|4}？

▷ A*B=(3*t^2+4)*(5*t^2)=15*t^4+20*t^2

　(A*B);t=60*t^3+40*t　(A*B);;t=180*t^2+40

　{(A*B);;t|4}=180*4^2+40=2920　★　

▷ A*B=(3*T+4)*(5*T)=15*T^2+20*T

　(A*B);T=30*T+20　(A*B);;T=30

　{(A*B);T|16}=30*16+20=500　{(A*B);;T|16}=30

また　T;t=2*t　T;;t=2

　{T;t|4}=2*4=8　{T;;t|4}=2

⇒　{(A*B);;t|4}
={(A*B);;T|16}*{T;t|4}^2+{(A*B);T|16}*{T;;t|4}
=30*8^2+500*2
=2920　★　

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