☆お勉強しようUz☆ 数学.三角関数

2016/4-2013/10 Yuji.W

逆三角関数

◎ inverse trigonometric function

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数.

◇逆三角関数◇

■ y=arccos(x) ⇔ x=cos(y) y=arcsin(x) ⇔ x=sin(y) y=arctan(x) ⇔ x=tan(y)

0≦x≦1 に限定すれば 0≦arccos(x)≦1 & 0≦arcsin(x)≦1

 arccos(x):減少関数 arcsin(x):増加関数

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0.95

1

arcsin(x)

0

0.10

0.20

0.30

0.41

0.52

0.64

0.78

0.93

1.12

1.25

1.57

■ If[ 0≦x<<1 ] sin(x)~x arcsin(x)~x {わかってなかった!2016/1}

◇逆三角関数の微分◇

■ y=arcsin(x)

 x=sin(y) x;y=cos(y)=root[1-sin(y)^2]=root(1-x^2)

 arcsin(x);x=1/(x;y)=1/root(1-x^2) .

■ 同様にして arccos(x);x=-sin(y)=-1/root(1-x^2) .

■ y=arctan(x)

 x=tan(y)

 x;y=[sin(y)/cos(y)];y=1/cos(y)^2=1+tan(y)^2=1+x^2

 arctan(x);x=1/(x;y)=1/(1+x^2) .


■ A=定数 arcsin(x/A);x=1/root(A^2-x^2) .

■ A=定数 arccos(x/A);x=-(1/A)/root[1-(x/A)^2]=-1/root(A^2-x^2) .

■ A=定数 arctan(x/A);x=(1/A)/[1+(x/A)^2)]=A/(x^2+A^2) .

◇逆三角関数が出てくる積分◇

■【 逆三角関数になる積分 】 積分定数 C,C1,C2

 ${dx/root(1-x^2)}=-arccos(x)+C1=arcsin(x)+C2

 ${dx/root(A^2-x^2)}=-arccos(x/A)+C1=arcsin(x/A)+C2

 ${[1/(x^2+1)]*dx}=arctan(x)+C

 ${[1/(x^2+A^2)]*dx}=(1/A)*arctan(x/A)+C

◇答が双曲線関数になる積分◇

■ -1<x<1 で ${[1/root(1-x^2)]*dx}=arccosh(x)=ln[x+root(1-x^2)]

x>1 で ${[1/root(x^2-1)]*dx}=arccosh(x)=ln[x+root(x^2-1)]

x<-1 で ${[1/root(x^2-1)]*dx}=arccosh(-x)=ln[-x+root(x^2-1)]

■ ${1/root(x^2+1)}=arcsinh(x)=ln[x+root(x^2+1)]

■ ${[1/(x^2+1)]*dx}=arctanh(x)=(1/2)*ln[(1+x)/(1-x)]

◇1/root(A^2-x^2) の積分◇

「${1/root(A^2-x^2)}dx」

◆ f(x)=1/root(A^2-x^2) A>0

 -A<x<A f(0)=1/A f(±A)=∞ y軸に対して対称

■ x=A*sin(s) と置く。-Pi/2<s<Pi/2 s は単調増加関数 Cs>0

 ${1/root(A^2-x^2)}dx=s=arcsin(x/A)

■ ${1/root(A^2-x^2)}dx[x:0->A]=Pi/2

「広義積分」

●x=b で発散している関数 f(x) に対して、${f(x)*dx}[x:b~c] を考える。

b<a<c となる値 a を選んで、発散しない範囲 a~c で、定積分を求める。

 a->b の極限を求める。その極限値を、定積分の値とする。

 ${f(x)}*dx}[x:b~c]=lim[a->b]{${f(x)}*dx}[x:a~c]}  

その極限値が必ず有限の値をとるわけではない。発散してしまうこともある。

c で発散しているときも、同様に定義できる。

◆ f(x)=1/root(A^2-x^2) A>0

 -A<x<A f(0)=1/A f(±A)=∞ y軸に対して対称

■ x=A*sin(s) と置く。-Pi/2<s<Pi/2 s は単調増加関数 Cs>0

 dx=A*Cs*ds root(A^2-x^2)=A*Cs だから、

 ${1/root(A^2-x^2)}dx=${[1/(A*Cs)]*A*Cs}ds=${1}ds=s

{注}ds/dx=d[arcsin(x)]/dx=1/root(1-x^2)

■ x=A*sin(s) と置く。-Pi/2<s<Pi/2 s は単調増加関数 Cs>0

 x=0 ⇔ s=0 x=A ⇔ s=Pi/2

 dx=A*Cs*ds root(A^2-x^2)=A*Cs だから、

 ${1/root(A^2-x^2)}dx[x:0->A]=${[1/(A*Cs)]*A*Cs}ds[s:0->Pi/2]
=${1}ds[s:0->Pi/2]=[s][s:0->Pi/2]=Pi/2

▲∞になるのに、積分値があるのもおもしろい。

A の値に依らず、同じ値になるのもおもしろい。

 A が大きくなる⇒縦に縮む⇒横は広がる⇒相殺される

■ x1=A*sin(s1) x2=A*sin(s2)

 ${1/root(A^2-x^2)}dx[x:x1->x2]=[s][s:s1->s2]=s2-s1

■ d{arcsin(x)}/dx=1/root(1-x^2)

{証明}arcsin(x)=y sin(y)=x

 dx/dy=cos(y) だから、

 dy/dx=1/(dy/dx)=1/cos(y)=1/root(1-sin(y)^2)=1/root(1-x^2)

◇1/root[(x-A)*(B-x)] の定積分◇

◆ f(x)=1/root[(x-A)*(B-x)] A<B

 A<x<B f(A)=f(B)=∞

■ ${1/root[(x-A)(B-x)]dx[x:A->B]=Pi A,B の値に依らない{!}2*[1+tan(t)^2]=a^2/cos(t)^2

dx=a*{d[tan(t)]/dt}dt={a/cos(t)^2}dt 

■ ${root(1^2-x^2)}dx=(1/2)*arcsin(x)+(1/2)*x*root(1-x^2) 

 ${root(A^2-x^2)}dx
=(1/2)*A^2*arcsin(x/A)+(1/2)*x*root[A^2-x^2] 

「分母に x^2+a^2 がある関数の積分 tan を使う」

  逆三角関数  

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