数学-微分方程式

2013/11-2013/5 Yuji.W

☆2階/線型/斉次/常微分-べき級数解☆

ベクトル<A> 単位ベクトル<Au> 成分<A>:y 内積* 外積#
sin(a)=Sa cos(y)=Cy tan(b)=Tb e^(i*x)=expi(x) 10^n=Ten(n)
微分; 偏微分;y
時間微分; 積分$ 表示のお約束 物理定数 .131103

☆べき級数解☆

「べき級数展開」

■微分方程式 f;;x+P(x)*f;x+Q(x)*f=0 P(x) か Q(x) かが、x=a で、確定特異点を持つとき、その解を、べき級数で表すことができる。

 f(x) の一般項=Cn*(x-a)^(n+r) n=0->∞

※r は、微分方程式によって定まる量

■一般項 x^(n+r) の係数を考えると、

 f(x)…Cn f;x…(n+r+1)*C(n+1) f;;x…(n+r+2)*(n+r+1)*C(n+2)

●Sx=x-x^3/6+…+(-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)!+…

 Cx=1-x^2/2+…+(-1)^n*x^(2n)/(2n)!+…

◆4*x*f;;x+2*f;x+f=0

■f;;x+f;x/(2*x)+f/(4*x)=0 x=0 で、特異点を持つ。

一般項 x^(n+r) の係数を考えると、

 f(x)…Cn

 f;x…(n+r+1)*C(n+1)

 f;;x…(n+r+2)*(n+r+1)*C(n+2)

 x*f;;x…(n+r+1)*(n+r)*C(n+1)

微分方程式の一般項の係数を考えて、

 4*(n+r+1)*(n+r)*C(n+1)+2*(n+r+1)*C(n+1)+Cn=0

 2*(n+r+1)*(2*n+2*r+1)*C(n+1)+Cn=0

すなわち、C(-1)=0 として、

 2*r*(2*r-1)*C0=0

 2*(r+1)*(2*r+1)*C1+C0=0 2*(r+2)*(2*r+3)*C2+C1=0

 2*(r+3)*(2*r+5)*C3+C2=0 …

not[C0=0] とすれば、r=0 or r=1/2

r=0 のとき、

 2*1*1*C1+C0=0 2*2*3*C2+C1=0

 2*3*5*C3+C2=0 … だから、

 C1=-C0/2 C2=-C1/12=+C0/24=+C0/4! C3=-C2/30=-C0/720=-C0/6!

 解 f(x)
=C0*[1-x/2+x^2/4!-x^3/6!+…]
=C0*cos[root(x)]

r=1/2 のとき、

 3*2*C1+C0=0 5*4*C2+C1=0

 7*6*C3+C2=0 … だから、

 C1=-C0/6=-C0/3! C2=-C1/20=+C0/120=+C0/5! C3=-C0/7!

解 f(x)
=C0*root(x)*[1-x/3!+x^2/5!-x^3/7!+…]
=C0*sin[root(x)]

一般解 f(x)=C1*cos[root(x)]+C2*sin[root(x)]

{なるほどねえ、便利だなあ!2013/5}

{確かめ} f(x)=cos[root(x)] のとき、

 f(x);x=+(1/2)*sin[root(x)]/root(x)

 f(x);;x=+(1/4)*cos[root(x)]/x-(1/4)*sin[root(x)]/[x*root(x)]

 4*x*f;;x+2*f;x+f
=cos[root(x)]-sin[root(x)]/[root(x)]+sin[root(x)]/root(x)-cos[root(x)]
=0 {素晴らしい!2013/5}

☆  2013  Yuji.W  ☆

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